基于eoq模型的供應鏈協(xié)調(diào)優(yōu)化研究

基于eoq模型的供應鏈協(xié)調(diào)優(yōu)化研究

作為“極其有害的”，整個供應鏈都存在于庫存中，只消耗20%40%的價值。因此，科學的管理方法可以維持低庫存水平，這對降低供應鏈的運營成本非常重要。為了緩解供需矛盾，可以說需求是影響庫存水平的主要因素。對于某些產(chǎn)品，展示供應鏈中的數(shù)量越多，越能刺激顧客的消費，提高產(chǎn)品的需求率。人們稱之為，這是由于庫存影響的需求率。早在1972年,Levin就對這一現(xiàn)象進行了描述,1988年BakerandUrban首次對這一現(xiàn)象進行研究并建立模型,此后又有許多學者對此進行了大量的研究,2005年Timothy.LandUrban歸納了從1986年到2004年間描述這一類現(xiàn)象的60多篇論文,這些文章從周期回顧或者連續(xù)盤點等角度對庫存影響銷售率這一現(xiàn)象進行了深入的分析,并分別建立起了自己的模型.在這些模型當中,庫存影響銷售率的方式有兩種:一種是需求率只受初始庫存的影響;另外一種是需求率受即時庫存的影響.如文獻中討論了需求率是即時庫存的冪函數(shù)的情形;文獻中對需求率受初始庫存影響和受即時庫存影響的兩種類型進行了討論,并對需求率是庫存量的冪函數(shù)的情形分析了兩種影響方式的等效關(guān)系,通過建立利潤最大化模型得出了最佳訂購批量;文獻中在需求率受即時庫存影響的前提下,分別給出了需求率與庫存量為分段函數(shù)、冪函數(shù)關(guān)系時的EOQ模型,并在此基礎上作了進一步的擴展;文獻中討論了在變庫存費用和庫存影響需求率的條件下,分別建立起了最小化平均費用和最大化平均利潤的變質(zhì)物品的EOQ模型.然而,上述都是以單一的銷售商作為研究對象,沒有考慮到庫存影響需求率對整個供應鏈的影響.事實上,銷售商需求率的變化勢必會影響到它對生產(chǎn)商的訂購量,這就增加了需求和庫存的不確定性,這種不確定性沿著供應鏈自下向上層層放大造成信息失真,最終導致庫存積壓,成本增加,影響到供應鏈的整體競爭力.為了降低這些不良影響,鏈中各個成員就需要進行合作,實現(xiàn)信息共享,共同決策.這里,試圖在垂直管理的供應鏈聯(lián)盟中,考慮庫存影響銷售率的前提下,建立起以平均利潤最大化為目標的供應鏈集成決策的EOQ模型,并利用整數(shù)因子法對模型的周期時間作進一步的協(xié)調(diào),目的是發(fā)揮供應鏈的整體優(yōu)勢,減少鏈中各個成員及整個供應鏈的庫存水平,增加供應鏈的總利潤.1初始庫存c為便于研究,只討論一個供應商、一個生產(chǎn)商和一個銷售商的3層供應鏈情形.供應商將單價為C2的原材料加工成初級產(chǎn)品,并以價格C1銷售給生產(chǎn)商,生產(chǎn)商將初級產(chǎn)品加工成最終產(chǎn)品,并以價格C0將最終產(chǎn)品銷售給銷售商,銷售商再以價格P將最終產(chǎn)品賣給消費者,并且有C2<C1<C0<P.假設銷售商將每周期的訂購量S全部擺在貨架上,以刺激顧客的消費,并在一個周期T內(nèi)將其全部售出,不允許缺貨,訂貨瞬時到達,因此銷售商的初始庫存即為其周期訂購量S.前面提到庫存影響需求率有兩種方式,一是需求率只受初始庫存的影響,對于這種情況,在整個周期里,需求率將保持一個恒定值,所以銷售商的庫存水平將以一個固定的速率減少;另一種方式是需求率受即時庫存的影響,當庫存減少時需求率也隨之減少,并且當庫存減少到一定水平時(如S0),需求率不再變化,固定在一個常數(shù)上.根據(jù)以上分析,庫存影響需求率的兩種方式,它們的庫存水平的變化曲線如圖一所示.由圖1可知,第1種影響方式是第2種影響方式的特殊情形(即S0=S當時),所以只對第2種方式進行討論.2供應鏈模型的構(gòu)建2.1庫存s結(jié)構(gòu)如圖1(b)所示,因為需求率受即時庫存的影響,所以當庫存減少時,需求率也隨之減少,當庫存降至S0時,需求率達到穩(wěn)定.假設在時刻t,銷售商的庫存為I(t),此時的需求率為D(I(t)),討論需求率為庫存量的冪函數(shù)的情形,即D(I(t))=αIβ(t),其中0<α,β<1,取需求率是庫存量的冪函數(shù)是因為需求率隨著庫存量的增加而增加,且增加的幅度逐漸變小,亦即有D′(I(t))>0,D″(I(t))<0.當庫存降至S0時,此后需求率保持恒定值αSβ0,直到庫存水平變?yōu)?.令tI(t)=T-t為銷售完庫存I(t)所用的時間,那么有:tΙ(t)={∫Ι(t)S01αμβdμ+S0αSβ0?Ι(t)＞S0Ι(t)αSβ0?Ι(t)≤S0(1)由式(1)與初始條件,即當庫存為S時,剩余時間為T,于是得到:Τ=S1-β-S1-β0α(1-β)+S0αSβ0=S1-β-βS1-β0α(1-β)(2)Ι(t)={(S1-β-α(1-β)t)11-β?Ι(t)＞S0Sβ0(S1-β-βS1-β0)1-β-αSβ0t?Ι(t)≤S0(3)由圖1(b)知,銷售商的周期庫存費用分為兩部分,一是當庫存I(t)>S0時的庫存費用:∫S1-β-S1-β0α(1-β)0h0(S1-β-α(1-β)t)11-βdt=S2-β-S2-β0α(2-β)h0(4)二是當庫存I(t)≤S0時的庫存費用:S2-β02αh0.所以銷售商的周期利潤為:V′0=(Ρ-C0)S-Κ0-(S2-β-S2-β0α(2-β)+S2-β02α)h0(5)其中,k0為銷售商每次訂購固定費用,h0為銷售商單位產(chǎn)品單位時間的庫存費用.對生產(chǎn)商,用k1表示其每次固定訂購費用,h1、h2分別表示生產(chǎn)商的單位原材料和單位制成品在單位時間里的庫存費用.假設生產(chǎn)商的生產(chǎn)率P1大于銷售商的需求率(P1>D(S)),那么如果h1≤h2,生產(chǎn)商在時刻Τ-SΡ1開始生產(chǎn);如果h1>h2,則生產(chǎn)商從周期初便開始生產(chǎn)(在此只討論h1≤h2的情形,對h1>h2的情形用同樣的方法可得出結(jié)論).生產(chǎn)商的庫存水平變化曲線如圖2所示,因此生產(chǎn)商的周期利潤為:V1=(C0-C1)S-Κ1-(Τ-SΡ1)Sh1-S22Ρ1(h1+h2)(6)式(6)右邊第1項是銷售商品的毛利潤,第2項是訂購費,第3項是非生產(chǎn)期間原材料的庫存費用,第4項是生產(chǎn)期間原材料與成品的庫存費用.同理,供應商的周期利潤為:V′2=(C1-C2)S-Κ2-(Τ-SΡ2)Sh3-S22Ρ2(h3+h4)(7)其中,k2為供應商的固定訂購費用,P2為供應商的生產(chǎn)率,h3、h4分別表示供應商的單位原材料和單位制成品在單位時間里的庫存費用.所以供應鏈的周期利潤為:V′=V′0+V′1+V′2=(Ρ-C2)S-Κ0-Κ1-Κ2-SΤ(h1+h3)-(S2-β-S2-β0α(2-β)+S2-β02α)h0-[Ρ2(h2-h1)+Ρ1(h4-h3)]S22Ρ1Ρ2(8)注意到式(2),得供應鏈的最大平均周期利潤EOQ模型為:maxAV′=V′Τ=α(1-β)(Ρ-C2)SS1-β-βS1-β0-α(1-β)(Κ0+Κ1+Κ2)S1-β-βS1-β0-(h1+h3)S-(1-β)(2S2-β-βS2-β0)2(2-β)(S1-β-βS1-β0)h0-α(1-β)[Ρ2(h2-h1)+Ρ1(h4-h3)]S22Ρ1Ρ2(S1-β-βS1-β0)(9)stS>02.2成品的庫存變化利用整數(shù)因子法對上述模型作進一步的協(xié)調(diào),研究協(xié)調(diào)前后供應鏈整體利潤的變化情況.所謂整數(shù)因子法協(xié)調(diào)機制是在供應鏈中,同層企業(yè)的周期相等,而上層企業(yè)的周期是相鄰下層企業(yè)周期的整數(shù)倍.現(xiàn)在假設銷售商的周期為T,生產(chǎn)商的周期為N1T,供應商的周期為N2N1T,其中協(xié)調(diào)因子N1、N2均為正整數(shù).仍假設銷售商的需求率為D(I(t))=αIβ(t),I(t)為銷售商在時刻t的即時庫存量.所以銷售商的周期利潤仍然由式(5)給出.對于生產(chǎn)商,假設從周期初開始生產(chǎn),經(jīng)過時間Ν1SΡ1后停止生產(chǎn).因為有P1≥D(S),所以必存在一個正整數(shù)m,使得(m-1)Τ＜Ν1SΡ1≤mΤ.并且,生產(chǎn)商每經(jīng)過一段時間T,就向銷售商發(fā)送數(shù)量為S單位的產(chǎn)品,那么在N1T時間內(nèi),生產(chǎn)商的原材料與成品的庫存變化情況如圖3所示.圖3的庫存變化過程可分為4個部分,第1部分為△SOt3部分,表示原材料的庫存變化過程;從O到t2為第2部分,表示生產(chǎn)過程中制成品的庫存變化過程;t2到t4為第3部分,表示從生產(chǎn)向停產(chǎn)過渡時的制成品庫存變化過程;t4到N1T為第4部分,表示停止生產(chǎn)期間制成品的庫存變化過程.這4個部分所產(chǎn)生的庫存費用分別為:c1=Ν12S22Ρ1h1(10)c2=(12(m-1)2Ρ1Τ2-12(m-1)(m-2)SΤ)h2(11)c3=(mΝ1SΤ-(m-1)SΤ-Ν12S22Ρ1-(m-1)2Ρ1Τ22)h2(12)c4=12SΤ(Ν1-m+1)(Ν1-m)h2(13)因此生產(chǎn)商的周期庫存費用為:c1+c2+c3+c4=12SΤ(Ν12+Ν1)h2-Ν12S22Ρ1(h2-h1)(14)生產(chǎn)商的周期利潤為:V″1=Ν1S(C0-C1)-Κ1-12SΤ(Ν12+Ν1)h2+Ν12S22Ρ1(h2-h1)(15)同理,可以得到供應商的周期利潤為:V″2=Ν2Ν1S(C1-C2)-Κ2-12Ν12SΤ(Ν22+Ν2)h4+Ν12Ν22S22Ρ2(h4-h3)(16)由式(5)(15)(16)得,協(xié)調(diào)后供應鏈的最大平均利潤EOQ模型為:maxAV″=V′Τ+V″1Ν1Τ+V″2Ν2Ν1Τ=(Ρ-C2)SΤ-Ν1Ν2Κ0+Ν2Κ1+Κ2Ν1Ν2Τ-(2S2-β-βS02-β)h02α(2-β)Τ-12S(Ν1h2+h2+Ν1Ν2h4+Ν1h4)+Ν1S2[Ρ2(h2-h1)+Ν2Ρ1(h4-h3)]2Ρ1Ρ2Τ(17)stS>0其中,T由式(2)確定.為了得到供應鏈的平均利潤最大值,求解?AV″?Ν2=0,得:Ν2=1Ν12Ρ2Κ2SΡ2Τh4-S2(h4-h3)(18)將式(18)代入AV″并求解?AV″?Ν1=0得:Ν1=2Ρ1Κ1SΡ1Τ(h2+h4)-S2(h2-h1)(19)再將N1、N2代入AV″,并令f(s)=?AV″?S=0,由于方程的復雜性,難以求出S的解釋表達式,但是可以求出它的數(shù)值解.求出S的初值后,將其回代到式(18)(19),得N2、N1的初值,注意到N1、N2為整數(shù),所以對N1、N2取其最近的整數(shù),將取整后的值代入f(S)=0,計算得到的S值即為協(xié)調(diào)后的最佳訂購批量S*,再將S*代入式(2)便可得到最佳訂購周期T*.3庫存費用的存貨費用結(jié)合數(shù)值實例,比較模型協(xié)調(diào)前后供應鏈最大平均利潤的變化情況.例1乙加工1kg產(chǎn)品A,需要以70元/kg的價格向甲訂購1kg初級產(chǎn)品B,甲每生產(chǎn)1kg產(chǎn)品B需要50元的原材料;乙以100元/kg的價格將產(chǎn)品A出售給經(jīng)銷商丙,丙再以150元/kg的價格銷售給顧客.已知甲、乙、丙每次采購的固定費用為500元/次、600元/次、800元/次,甲對原材料和產(chǎn)品B的庫存費用均為每天0.5元/kg,乙對產(chǎn)品B和產(chǎn)品A的庫存費用均為每天2元/kg,丙對產(chǎn)品A的庫存費用為每天3元/kg,甲、乙的生產(chǎn)率分別為10kg/d、20kg/d,丙的銷售率受其庫存量的影響,且存在關(guān)系D(I(T))=αIβ(t),其中D(I(t))表示在時刻t、庫存量為I(t)時丙的銷售率,α=0.75,β=0.5,問如何安排訂購才能使甲、乙、丙三者的總平均利潤最大?對于上述例子,結(jié)果如表1所示:數(shù)據(jù)結(jié)果表明:通過協(xié)調(diào),模型AV′的周期縮短了1.3115d,初始庫存降低了7.2098kg,下降幅度為12.56%,而平均最大利潤卻增長了2.8941元,增長幅度達11.36%.其中N1=0.6181、N2=2.0412,取整后的值為N1=1、N2=2.即丙和乙每隔14.6735d訂購50.1786kg產(chǎn)品,甲每隔29.347d訂購100.3572kg原材料可使三者的總平均利潤最大.實例說明,在供應鏈中,根據(jù)鏈中各企業(yè)的實際情況,靈活安排它們的訂購時間和訂購量,可以起到優(yōu)化供應鏈庫存、提高供應鏈利潤的作用.由式(18)(19)可知,鏈中某層企業(yè)的固定訂購費越高,對應的協(xié)調(diào)因子就越大,訂購周期就越長,單次訂購量也就越大.4基于模型的供應鏈協(xié)調(diào)傳統(tǒng)的