簡支梁在移動荷載下的振動分析

簡支梁在移動荷載下的振動分析

共振條件及振動影響隨著列車速度的提高，列車負(fù)荷的動力問題越來越受到重視。其中列車過橋時(shí)引發(fā)的共振現(xiàn)象一直是國內(nèi)外相關(guān)學(xué)者關(guān)注的重點(diǎn),人們對這個(gè)問題進(jìn)行了較為深入系統(tǒng)的研究,取得了很多有意義的成果[1~6]。單個(gè)移動荷載過橋時(shí)可以分為兩個(gè)階段:荷載在橋上的強(qiáng)迫振動時(shí)期以及出橋后的自由振動時(shí)期。當(dāng)荷載的加載頻率等于橋梁的某階自振頻率時(shí),則可能引起強(qiáng)迫振動期間的共振,文獻(xiàn)稱其為第二種共振條件。對于由多個(gè)軸重組成的移動列車荷載列,如果軸重間的時(shí)間差等于簡支梁某階振型的自振周期或其整數(shù)倍時(shí),橋梁也將出現(xiàn)較大響應(yīng),文獻(xiàn)稱其為第一種共振條件。第一種共振是由于荷載的周期性加載產(chǎn)生的:軸重引起的橋梁自由振動互相疊加,響應(yīng)隨著通過橋梁的軸重?cái)?shù)增加而不斷累積增大。這種由于自由振動疊加引起的共振現(xiàn)象較強(qiáng)迫振動期間的共振更為不利。Pesterev等發(fā)現(xiàn):單個(gè)荷載以不同的速度通過簡支梁時(shí),上述自由振動的幅值也將改變,并出現(xiàn)一系列的零值點(diǎn)。這可用來解釋Savin和Yang等提出的消振現(xiàn)象,即當(dāng)單個(gè)荷載以消振速度通過簡支梁時(shí),其過橋后殘留在橋梁的自由振動為零。消振發(fā)生時(shí)橋梁的振動響應(yīng)相對較小,并將抑制自由振動的累積,有利于行車安全和橋梁服役,因此研究這一問題同樣具有重要的積極意義。本文從單個(gè)荷載過橋后橋梁的自由振動出發(fā),對簡支梁在單個(gè)移動力、等間距移動荷載列及列車荷載作用下的振動進(jìn)行了理論分析。通過分析橋梁振動響應(yīng)的解析解,推導(dǎo)出了任一模態(tài)下簡支梁共振及兩類不同消振效應(yīng)的發(fā)生條件。此外,研究了消振對共振的影響,得到了共振消失現(xiàn)象的發(fā)生條件,并結(jié)合數(shù)值計(jì)算闡明了共振與消振效應(yīng)的發(fā)生機(jī)理和此時(shí)橋梁的響應(yīng)特點(diǎn)。1鋼支架梁在移動荷載下的振動響應(yīng)參數(shù)1.1橋上荷載時(shí)簡支梁振動跨度為L的簡支梁在單個(gè)勻速集中力P作用下的分析模型如圖1所示,忽略阻尼作用,其運(yùn)動方程為橋梁在集中力P通過時(shí),將經(jīng)歷強(qiáng)迫振動與自由振動兩個(gè)階段。采用振型分解法求解式(1),橋梁位移可寫成。當(dāng)荷載位于橋上時(shí)(0≤t≤L/V),簡支梁的強(qiáng)迫振動響應(yīng)為式中,為簡支梁第n階圓頻率;表示荷載對橋梁第n階振型的激勵(lì)圓頻率;,這里假設(shè)βn≠1,當(dāng)βn=1時(shí)為第二種豎向共振條件,在此不予重點(diǎn)討論。當(dāng)荷載出橋后(t>L/V),簡支梁處于自由振動狀態(tài),此時(shí)橋梁的振動響應(yīng)為式中yn(x,L/V)和可由式(2)在t=L/V處的取值得到。將它們代入上式,得到移動集中力離開簡支梁后橋梁的自由振動,為對上式進(jìn)行三角函數(shù)和差化積變換后可得從上式可看出,單個(gè)移動荷載離開簡支梁后的自由振動解表現(xiàn)為正弦波(奇數(shù)階振型)或余弦波(偶數(shù)階振型)的形式。1.2,哌nt個(gè)荷載入橋的時(shí)間及振動響應(yīng)考慮由Nt個(gè)相距為d、大小為P的集中力組成的移動荷載列通過簡支梁的情況,如圖2所示。假設(shè)第一個(gè)集中力進(jìn)入橋梁時(shí)為初始零時(shí)刻,則第k(k=1,2,3,…Nt)個(gè)荷載入橋的時(shí)間可表示為tk=(k-1)d/V。此時(shí),橋梁的運(yùn)動微分方程為考慮前N-1個(gè)集中力已經(jīng)離開橋梁,僅第N個(gè)集中力(N=1,2,3,…,Nt)在橋上時(shí)的情況。此時(shí)簡支梁的振動響應(yīng)可分解為兩部分:由第N個(gè)集中力所引起的橋梁振動(包括穩(wěn)態(tài)反應(yīng)和瞬態(tài)反應(yīng))和已經(jīng)離開橋梁的前N-1個(gè)力所殘余的自由振動,其表達(dá)式可分別由式(2)以及對式(5)進(jìn)行求和運(yùn)算得到。這樣,橋梁的振動響應(yīng)可表示成(βn≠1)1.3移動集中力列車對橋梁的作用可簡化為一系列移動軸重荷載。荷載間存在如下幾種排列間距:車輛全長Lv、轉(zhuǎn)向架中心距Lc、輪對的固定軸距Lw。將每節(jié)車的軸重荷載用4個(gè)集中力P表示,并按照各輪對的實(shí)際位置布置。這樣,一輛由Nv節(jié)車組成的列車可簡化為4Nv個(gè)集中力組成的移動荷載列。按列車行進(jìn)方向編號為Pkj(k=1,2,3,…,Nv;j=1,2,3,4),下標(biāo)k表示輪對所在的車廂數(shù),j表示輪對在車廂所處的位置。由此列車荷載簡化為4組等間距的移動集中力系列,分別為Pk1,Pk2,Pk3和Pk4,同一組內(nèi)移動集中力之間相距Lv。如圖3所示。各組集中力Pk2,Pk3,Pk4與Pk1之間存在時(shí)間差,第j組中第k個(gè)移動集中力進(jìn)入橋梁的時(shí)間tkj可通過下式確定此處令tk=(k-1)Lv/V,k=1,2,3,…,Nv。此時(shí),簡支梁運(yùn)動微分方程如下考慮前N-1(N=1,2,3,…,Nv)節(jié)車廂已經(jīng)離開橋梁,第N節(jié)車廂正在橋上時(shí)的情況。參照式(8)和(9),可得式(11)的解為(βn≠1)其中,令上式等號右端等于A-B,利用三角函數(shù)和差化積公式對B進(jìn)行進(jìn)一步整理,可得從上式不易直接看出其物理意義,為此,引入如下所示的三角級數(shù)變換關(guān)系:將式(10)代入式(14)再結(jié)合式(15),可得:上式表明,移動列車軸重荷載離開橋梁后自由振動的解也可用一個(gè)正弦函數(shù)(奇數(shù)階振型)或余弦函數(shù)(偶數(shù)階振型)來表示。2在移動列車的負(fù)荷下，共振和消振效應(yīng)2.1lhospical法從式(16)可看出,當(dāng)式中sin(ωnLv/2V)=0時(shí),等號右邊的第二項(xiàng)成為“0/0”型的不定式,利用L′Hospital法則對其進(jìn)行處理后可得:式(17)表明,橋梁的位移響應(yīng)隨著通過的車廂數(shù)N的增加而被不斷放大,進(jìn)而可能形成共振現(xiàn)象。此時(shí),由ωnLv/2V=iπ得到共振車速Vres(km/h)為式中fn為橋梁的第n階自振頻率(Hz)。式(18)為文獻(xiàn)中的第一種共振條件。2.2抗疲勞效果2.2.1類消振效應(yīng)當(dāng)cos(ωnL/2V)=0或sin(ωnL/2V)=0時(shí),式(16)所示的表達(dá)式只剩下第一項(xiàng),即從式(4)中可看出,當(dāng)式(20)成立時(shí),其等號右邊第二項(xiàng)中所包含的2個(gè)正弦項(xiàng)的相位恰好相差(2i-1)π或2iπ,此時(shí)單個(gè)荷載離開橋梁后所引起簡支梁自由振動的兩部分自身相互抵消為零,這稱為簡支梁的第一類消振效應(yīng)。由式(20)可求出發(fā)生第一類消振效應(yīng)時(shí)的列車速度Vcan(km/h)為為滿足βn≠1的假設(shè)條件,上式還應(yīng)該加上如下限定條件:n≠2i-1(n=1,3,5,…)或n≠2i(n=2,4,6,…)。從式(21)可看出,當(dāng)荷載通過橋梁的速度滿足一定條件時(shí)便會發(fā)生消振效應(yīng)。此類消振為單個(gè)荷載的行為,與荷載個(gè)數(shù)及排列間距無關(guān)。消振速度表達(dá)式與振型階數(shù)n有關(guān),但對于簡支梁跨中位移響應(yīng)來說,往往考慮基階振型便可得出足夠精確的結(jié)果,此時(shí)可采用式(21a)(n=1)來預(yù)測消振車速。2.2.2兩組債權(quán)結(jié)構(gòu)的消振效應(yīng)當(dāng)式(16)中的cos(ωnLw/2V)=0或cos(ωnLc/2V)=0時(shí),同樣可得式(19),此時(shí)也將發(fā)生消振效應(yīng)。對應(yīng)的消振車速Vcan(km/h)為式(22)表示了與列車固定軸距Lw和轉(zhuǎn)向架中心距Lc有關(guān)的消振效應(yīng),但此時(shí)的消振機(jī)理與第一類消振不同。從對式(13)的整理過程可得,它是由于隸屬于不同組別的集中力所引起簡支梁自由振動間相互抵消而發(fā)生的。式(22a)表示同一轉(zhuǎn)向架中相距為Lw的2個(gè)軸重荷載所引起的橋梁自由振動相互抵消,而式(22b)則表示相距為Lc的前后2個(gè)軸重荷載所引起的橋梁自由振動相互抵消,這樣1節(jié)車廂過橋后在橋上的殘余自由振動便為零。此類消振效應(yīng)發(fā)生在2個(gè)荷載之間,并與荷載排列間距有關(guān)。顯然,對于2個(gè)相距為Lv的軸重荷載,在一定速度之下同樣將發(fā)生消振效應(yīng)。由此可對式(22)所表示的消振條件進(jìn)行推廣,設(shè)荷載列的特征間距為Lch,則消振車速Vcan(km/h)為這稱為簡支梁的第二類消振效應(yīng)。上式中荷載列的特征間距Lch具有這樣的性質(zhì):可將荷載列分為若干組,使得組內(nèi)相鄰荷載間距相同,且均等于Lch。對于常見的4軸鐵路車輛,其軸重荷載特征間距Lch可取Lv,Lc和Lw。第二類消振車速表達(dá)式與振型的階數(shù)n無關(guān)。當(dāng)只關(guān)心基階振型下的跨中位移響應(yīng)時(shí),上述兩類消振效應(yīng)的發(fā)生條件可寫成如下以簡支梁跨度L表示的統(tǒng)一形式式中f1為簡支梁基階自振頻率,α為無量綱參數(shù),可取值1或Lch/L。當(dāng)α=1時(shí)表示第一類消振效應(yīng);當(dāng)α=Lch/L時(shí)表示第二類消振效應(yīng)。2.3共振消失及消振階數(shù)從式(16)注意到,當(dāng)車速同時(shí)滿足共振和消振的要求時(shí),表達(dá)式仍將如式(19)所示。此時(shí)共振將受到抑制,出現(xiàn)共振消失現(xiàn)象。若令Vcan=Vres,由式(18)與式(24)可得式中m,n分別為基階振型下的共振與消振階數(shù)。理論上,當(dāng)調(diào)整列車車廂長度Lv與橋跨L的比值滿足上式的關(guān)系時(shí),橋梁將發(fā)生消振效應(yīng),從而避免基階振型下豎向共振現(xiàn)象的發(fā)生。3u2004荷載模型為了對理論推導(dǎo)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證,使用MAT-LAB語言編制有限元計(jì)算程序,分析了某一高速鐵路簡支梁橋設(shè)計(jì)方案在移動列車荷載作用下的振動響應(yīng)。分析中運(yùn)用Newmark-β法逐步積分求解橋梁運(yùn)動方程,Newmark參數(shù)取γ=0.5,β=0.25,積分步長取為0.001s。橋梁跨度為19.1m,質(zhì)量,截面剛度EI=9.03×107kN·m2。由結(jié)構(gòu)動力學(xué)的基本公式,計(jì)算得到梁的1階自振頻率f1為9.669Hz?？紤]國產(chǎn)CRH3高速列車荷載,采用4節(jié)車輛編組,軸重取14t,簡化成由4組共16個(gè)集中力組成的移動軸重荷載列,以Pkj(k=1,2,3,4;j=1,2,3,4)表示,如圖3所示。移動荷載的特征長度Lch可取Lv,Lc和Lw,分別為25.535,17.375和2.5m。此時(shí),無量綱長度系數(shù)α分別為1.0,Lw/L=0.131,Lc/L=0.910,Lv/L=1.337。根據(jù)式(18)及式(24)計(jì)算了對應(yīng)19.1m簡支梁橋1階振型的共振及消振效應(yīng)列車速度Vres和Vcan,并將前7階結(jié)果列于表1。3.1橋響應(yīng)時(shí)間的消振分析3.1.1自由振動疊加由前文的理論分析可得,當(dāng)α=1時(shí)對應(yīng)第一類消振效應(yīng),選取第5階消振速度148km/h進(jìn)行計(jì)算分析。圖4是CRH3列車第1節(jié)車4個(gè)軸重荷載所引起的橋梁跨中位移時(shí)程?？梢钥闯?每一個(gè)輪對離開后橋梁的自由振動響應(yīng)均等于零,所以在第1節(jié)車離開后,橋梁的自由振動位移響應(yīng)為零。這是因?yàn)?在Vcan=148km/h時(shí)發(fā)生了第一類消振效應(yīng)。此時(shí)發(fā)生的消振效應(yīng)僅與荷載通過橋梁的速度有關(guān),而與荷載的數(shù)量和排列方式無關(guān)。其他各節(jié)車也是如此,因此整列車所引起的橋梁自由振動也為零。從表1中注意到,148km/h的消振速度與第6階共振速度相等,此時(shí)共振現(xiàn)象將受到抑制。這是由于每個(gè)輪對離開后橋梁殘余的自由振動均為零,多個(gè)荷載過橋后,自由振動之和仍為零。因此,由于自由振動疊加而產(chǎn)生的第一種共振現(xiàn)象將不會發(fā)生。類似的共振消失現(xiàn)象還將發(fā)生在444km/h,此時(shí)共振速度與消振速度443km/h接近,自由振動的累積也將受到抑制,橋梁不會出現(xiàn)共振時(shí)的峰值響應(yīng)。3.1.2載荷作用下的分化當(dāng)車速為對應(yīng)α=0.131和α=0.910的消振車速時(shí),將會發(fā)生與列車固定軸距Lw及轉(zhuǎn)向架中心距Lc相關(guān)的第二類消振效應(yīng)。以Vcan=174km/h為例進(jìn)行數(shù)值分析,得到了橋梁跨中位移時(shí)程曲線如圖5所示,圖中還給出了第1節(jié)車所引起的位移響應(yīng)時(shí)程?？梢钥闯?第1節(jié)車離開橋梁后所引起橋梁的自由振動為零。這是因?yàn)?174km/h為與Lw相關(guān)的第1階消振速度(α=0.131)。此時(shí),P11,P12以及P13,P14所引起的橋梁自由振動分別相互抵消。因此,每節(jié)車離開后,橋梁都沒有殘留的自由振動,其響應(yīng)完全由正在橋上的車輛所決定。以此類推,當(dāng)最后一節(jié)車離開橋梁后,橋梁總的響應(yīng)為零。圖6進(jìn)一步說明了第二類消振效應(yīng)的機(jī)理。圖6(a)顯示了與固定軸距Lw相關(guān)的第二類消振效應(yīng)的機(jī)理:當(dāng)Vcan=174km/h,第1節(jié)車中第1,2兩個(gè)軸重荷載P11和P12所引起的橋梁自由振動響應(yīng)大小相等、符號相反,相位恰好相差π,疊加后為零。圖6(b)顯示了與轉(zhuǎn)向架中心距Lc相關(guān)的第二類消振效應(yīng)的機(jī)理:當(dāng)Vcan=173km/h時(shí),第1節(jié)車廂中第1,3兩個(gè)軸重荷載P11和P13所引起的橋梁自由振動相位相差7π,亦恰好互相抵消。同樣的情況發(fā)生在P12和P14之間。以此類推,當(dāng)每節(jié)車離開后,橋梁都將沒有殘留的自由振動反應(yīng)。消振時(shí)2個(gè)軸重荷載的延遲時(shí)間tlcagan由荷載間距和移動速度(此時(shí)即消振速度)決定:式中Tb為橋梁的自振周期。從圖6可以看出,在174和173km/h的消振速度下,2個(gè)荷載間的延遲時(shí)間分別為Tb/2(i=1)和7Tb/2(i=4),因此,它們所引起的橋梁自由振動正好相互抵消了。3.1.3軸重荷載和共振這里從單個(gè)軸重荷載引起的橋梁振動響應(yīng)出發(fā),說明移動列車荷載作用下第一種豎向共振是如何發(fā)生的。由式(18)可得,共振時(shí)2個(gè)荷載的延遲時(shí)間tlagres由荷載間距和移動速度(此時(shí)即共振速度)決定,即上式表明,相距為Lv的2個(gè)軸重荷載所引起的自由振動恰好相差整數(shù)倍周期,因此二者將會相互疊加,并隨著通過橋梁的軸重?cái)?shù)的增加使得自由振動之和越來越大,最終導(dǎo)致共振的發(fā)生。選取第3階共振速度296km/h作為研究對象,圖7(a)給出了相距為Lv的第1組軸重荷載列P11,P21,P31和P41所引起自由振動的疊加結(jié)果。從圖中可看出,由于前后2個(gè)軸重荷載間的自由振動時(shí)程均相差3Tb,因此各自由振動同相,疊加后的總和T1隨著通過的軸重?cái)?shù)而增大。另外3組等間距的軸重荷載Pk2,Pk3和Pk4(k=1,2,3,4)有著相同的疊加過程,4組荷載的作用之和便是整列車所引起的位移響應(yīng)。如圖7(b)所示,列車過橋期間,橋梁振動幅值隨著通過的車廂數(shù)的增多而被不斷放大;當(dāng)列車離開橋梁后,其處于自由振動狀態(tài),由于沒有考慮阻尼效應(yīng),振動幅值維持穩(wěn)定。值得注意的是,如果此時(shí)的共振速度與式(23)所表示的第二類消振速度相等或接近時(shí),則不會出現(xiàn)上圖所示的自由振動相互疊加累積,而是消振時(shí)的疊加后相互抵消,因而也將不會發(fā)生共振效應(yīng)。例如,表1中第5階共振速度178km/h與消振速度174km/h接近,可預(yù)測此時(shí)將出現(xiàn)共振消失現(xiàn)象?？梢钥闯?當(dāng)車速為296,222,127km/h時(shí),對應(yīng)表1中的共振車速,相應(yīng)的動力放大系數(shù)DAF均較大,恰位于曲線波峰附近,說明此時(shí)確實(shí)發(fā)生了共振現(xiàn)象。當(dāng)車速為對應(yīng)表1中的消振車速時(shí),動力放大系數(shù)均較小,且包含了該曲線的幾個(gè)波谷位置。這說明當(dāng)列車以消振車速通過簡支梁時(shí),橋梁的動力響應(yīng)相對較小。當(dāng)共振車速為444,178,148km/h時(shí),出現(xiàn)了與之相等或相近的消振車速443,174,148km/h。從圖8可看出,DAF在這些車速下并沒有出現(xiàn)共振時(shí)應(yīng)有的峰值,這與3.1中的分析預(yù)測一致。這說明:當(dāng)車速同時(shí)滿足消振和共振條件時(shí),由于消振效應(yīng),將阻止共振的出現(xiàn),即發(fā)生了共振消失現(xiàn)象。因此,當(dāng)車輛長度Lv與橋跨L的比值滿足式(25)的關(guān)系時(shí),有Vres=Vcan,理論上可以避免共振的發(fā)生。對于所分析的19.1m簡支梁橋和CRH3高速列車來說,由于消振對共振的抑制作用,橋梁的動力響應(yīng)在500km/h以內(nèi)均保持在較小的值(動力放大系數(shù)小于2),這有利于高速鐵路橋梁的使用和保證列車運(yùn)行安全。4ei和m式中V為荷載移動速度,δ為Dirac函數(shù);y(x,t)為簡支梁