考慮剪切變形的梁體撓度計(jì)算

考慮剪切變形的梁體撓度計(jì)算

1鋼腹板組合箱梁撓度結(jié)果分析波形鋼腹部組合箱梁是一種新型的鋼-混凝土組合結(jié)構(gòu)。其結(jié)構(gòu)特征是，剖面中的彎曲角由由混凝土底板的軸力組成的內(nèi)力臂組成，切割力主要由波形鋼腹部板支撐。鋼腹板的剪切模量雖比混凝土大,但其提供的抗剪面積卻很少,同時(shí)由于波形鋼腹板中的斜板段剪切剛度不直接,因此褶皺形鋼腹板組合箱梁中剪切變形產(chǎn)生的撓度比混凝土腹板箱梁顯著增大。針對(duì)剪切變形對(duì)波形鋼腹板組合箱梁橋撓度的影響,目前已有學(xué)者進(jìn)行了相關(guān)研究。文獻(xiàn)按靜力法推導(dǎo)了簡(jiǎn)支梁承受跨中集中荷載時(shí)的撓度計(jì)算公式;文獻(xiàn)運(yùn)用結(jié)構(gòu)力學(xué)中的單位荷載法原理討論撓度計(jì)算方法,但未給出一般的解析表達(dá)式;文獻(xiàn)通過(guò)假定位移場(chǎng),提出了考慮剪切變形的波形鋼腹板箱梁位移計(jì)算方法,但計(jì)算公式很復(fù)雜;文獻(xiàn)提出了基于彈性的G3理論;文獻(xiàn)在文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上提出了基于彈塑性的G3理論,分別對(duì)考慮剪切變形時(shí)簡(jiǎn)支梁的撓度進(jìn)行分析,但過(guò)程復(fù)雜且沒(méi)有給出計(jì)算的顯式。此外,文獻(xiàn)、通過(guò)試驗(yàn)也說(shuō)明剪切變形對(duì)撓度有很大的影響?？紤]到簡(jiǎn)支梁是一種基本的結(jié)構(gòu)形式,同時(shí)懸臂梁是大跨度橋梁懸臂施工中必須經(jīng)歷的一種受力工況。筆者運(yùn)用能量法推導(dǎo)了波形鋼腹板組合箱梁在簡(jiǎn)支、懸臂兩種情形下,考慮剪切變形的撓度計(jì)算公式,據(jù)此可以定量研究剪切變形對(duì)總撓度的貢獻(xiàn)程度。2變能與剪切應(yīng)變能根據(jù)結(jié)構(gòu)能量原理,外力功等于梁的彎曲應(yīng)變能與剪切應(yīng)變能之和?？疾旒羟凶冃螌?duì)波形鋼腹板組合箱梁撓度計(jì)算的影響,首先需確定波形鋼腹板組合箱梁的彎曲與剪切應(yīng)變能。2.1混凝土彈性模量計(jì)算方法梁的彎曲應(yīng)變能在數(shù)值上等于作用在梁上的彎矩所做的功,因此梁內(nèi)彎曲應(yīng)變能為:UΜ=∫l0Μ2x2EcΙdx(1)UM=∫l0M2x2EcIdx(1)式中:Mx為任意位置處的彎矩;Ec為混凝土的彈性模量;I為抗彎慣性矩,這里僅計(jì)入頂板、底板面積至截面形心的二次矩,其精度可滿足要求,計(jì)算式如下:Ι=Auγ2(h-to)2+Abβ2(h-to)2(2)I=Auγ2(h?to)2+Abβ2(h?to)2(2)式中:h為梁高;Au和Ab分別為頂、底板面積;γ=Ab/(Au+Ab)γ=Ab/(Au+Ab);β=Au/(Au+Ab);to=(tu+tb)/2?tu和tb分別為頂、底板厚度(圖1)。2.2斜板段在表達(dá)波形鋼腹板的剪切應(yīng)變能時(shí),引入兩點(diǎn)假定:1)截面內(nèi)剪力完全由波形鋼腹板承擔(dān);2)由于實(shí)橋中波形鋼腹板的直板段和斜板段長(zhǎng)度一般相等,同時(shí)為使解析公式簡(jiǎn)潔,假定b1=b2,如圖2所示。波形鋼腹板內(nèi)的剪切應(yīng)變能密度為:u=12τ2Gs=12Q2xGsA2(3)式中:Qx為任意位置處的剪力;Gs為波形鋼腹板的剪切模量;A為抗剪面積,A=2tw(h-tu-tb)?tw為波形鋼腹板板厚。于是,直板段微元體內(nèi)(圖3)的剪切應(yīng)變能為:ˉUQez=tw2Q2xGsA2dydz(4)斜板段對(duì)豎向撓度的貢獻(xiàn)與直板段有所不同。首先將斜板段修正為等效厚度為tw′=tw/cosθ的直板段,如圖4所示,θ為波折角(圖2),則它的計(jì)算剪應(yīng)力減少到τcosθ。為了與等效前斜板段的能量密度相同,即有u′=u=τ2/(2Gs),對(duì)斜板段的剪切模量進(jìn)行修正,Gs′=Gs(cosθ)2。則斜板段微元體內(nèi)的剪切應(yīng)變能為:ˉUQex=12Q2xGs′(A/cosθ)2twcosθdydz=tw2cosθQ2xGsA2dydz(5)則波形鋼腹板組合箱梁在豎向剪力作用下,梁內(nèi)總的剪切應(yīng)變能UQ為腹板直板段總剪切應(yīng)變能UQz與腹板斜板段總剪切應(yīng)變能UQx之和:UQ=UQz+UQx=2∫l0∫hfx0Q2x2GsA22tw1+cosθdxdy=2∫l0∫hfx0twQ2xGsA2(1+cosθ)dxdy(6)3考慮剪切變形作用的波形鋼腹板組合箱梁挑戰(zhàn)變形歸因在確定波形鋼腹板組合箱梁的彎曲與剪切應(yīng)變能的基礎(chǔ)上,運(yùn)用能量法,對(duì)波形鋼腹板組合箱梁撓度計(jì)算公式進(jìn)行推導(dǎo)分析,集中力作用下為:12Ρδ=UΜ+UQ(7)式中:δ為集中力作用位置的撓度。均布力作用下為:∫l0qx2ydx=UΜ+UQ(8)即為應(yīng)用瑞利-里茲法求解均布荷載下的撓度。對(duì)簡(jiǎn)支梁選取滿足邊界條件的形函數(shù):y=a1x(l-x)(9)對(duì)懸臂梁選取滿足邊界條件的形函數(shù):y=a1(x-x33l2)(10)將形函數(shù)代入式(8),求出待定常數(shù)a1,即可得到所需位移。以下建立在簡(jiǎn)支和懸臂兩種情況下考慮剪切變形的波形鋼腹板組合箱梁撓度計(jì)算公式。主要考慮兩種荷載情況:集中荷載作用,剪力沿梁縱向不變;線荷載作用,剪力沿梁縱向變化。具體如圖5～8所示。上述4種情況下,利用式(7)、(8),推導(dǎo)得到簡(jiǎn)支梁的跨中位移以及懸臂梁的端部位移的計(jì)算公式:(1)跨中集中力作用下的簡(jiǎn)支梁跨中位移δ=Ρl348EcΙ+Ρl2GsA(1+cosθ)=Ρl348EcΙ(1+ηp,s)(11)(2)均布力作用下的簡(jiǎn)支梁跨中位移δ=5ql4384EcΙ+ql24GsA(1+cosθ)=5ql4384EcΙ(1+ηq,s)(12)(3)端部集中力作用下的懸臂梁端部位移δ=Ρl33EcΙ+2ΡlGsA(1+cosθ)=Ρl33EcΙ(1+ηp,c)(13)(4)均布力下的懸臂梁端部位移δ=ql48EcΙ+16ql215GsA(1+cosθ)=ql48EcΙ(1+ηq,c)(14)上述各公式中:η為剪切變形與彎曲變形的比值,下標(biāo)i和j分別表示荷載形式和結(jié)構(gòu)形式,其中:ηp,s=24EcΙ/[GsAl2(1+cosθ)];ηq,s=96EcΙ/[5GsAl2(1+cosθ)];ηp,c=6EcΙ/[GsAl2(1+cosθ)];ηq,c=128EcΙ/[15GsAl2(1+cosθ)]。4質(zhì)量分?jǐn)?shù)和長(zhǎng)度為了驗(yàn)證上述公式的準(zhǔn)確性及進(jìn)行相關(guān)參數(shù)分析,分別運(yùn)用上述公式和有限元建模計(jì)算在承受集中力和均布力時(shí)的撓度。模型頂板寬16m,底板寬7.4m,梁高6m,頂板、底板厚度分別為0.4、0.5m,波形鋼腹板板厚0.01m,直板段與斜板段均為41cm,波高24cm,波折角為36°。為比較不同的跨度和懸臂長(zhǎng)度,考慮以下跨度和懸臂長(zhǎng)度:10.5、18、25.5、33、40.5、48m。簡(jiǎn)支狀態(tài)時(shí),跨中集中力P為100000kN,均布力q為4000kN/m。懸臂狀態(tài)時(shí),端部集中力P為10000kN,均布力q為400kN/m。4.1模型1:波形鋼腹板單元模型頂、底板以及墩頂橫隔板采用實(shí)體單元Solid45模擬,波形鋼腹板采用彈性板殼單元Shell63模擬。在建模時(shí)注意波形鋼腹板的波折線與頂、底板的波折線完全重合,保證腹板與上、下翼板的節(jié)點(diǎn)吻合。波形鋼腹板與混凝土頂?shù)装逯g通過(guò)共用節(jié)點(diǎn)來(lái)連接,由于實(shí)體單元沒(méi)有轉(zhuǎn)動(dòng)自由度,如果僅用一排節(jié)點(diǎn)來(lái)耦合兩者,則彎矩?zé)o法有效在兩者間傳遞,因此需將波形鋼腹板單元嵌入實(shí)體單元,通過(guò)幾排節(jié)點(diǎn)共同耦合。整個(gè)模型均采用映射網(wǎng)格劃分。為提高效率,簡(jiǎn)支梁和懸臂梁均只建立整個(gè)結(jié)構(gòu)模型的1/2,邊界采用對(duì)稱約束,以符合實(shí)際情況,如圖9所示。4.2桿系有限元模型的建立運(yùn)用上文所推導(dǎo)的公式以及有限元進(jìn)行計(jì)算分析,主要結(jié)果如圖10～15所示。由圖10～13可見(jiàn),公式(11)～公式(14)的計(jì)算結(jié)果和實(shí)體有限元的計(jì)算結(jié)果總體上很接近,誤差基本上在10%之內(nèi),說(shuō)明推導(dǎo)的計(jì)算公式具有足夠的計(jì)算精度。由圖14、15可見(jiàn),η隨著跨高比的增大而減小,在正常的跨高比范圍內(nèi),其數(shù)值大于10%,說(shuō)明了剪切變形不能忽略,且相對(duì)懸臂結(jié)構(gòu),剪切變形在簡(jiǎn)支結(jié)構(gòu)中所占比例更大。此外,隨著波折角的增加,剪切變形的影響也有所增加。由于目前橋梁設(shè)計(jì)一般采用桿系有限元建模,對(duì)波形鋼腹板組合箱梁進(jìn)行分析時(shí),經(jīng)常按照重量等效和彈性模量等效的原則,將波形鋼腹板轉(zhuǎn)化成混凝土腹板來(lái)考慮。這里針對(duì)簡(jiǎn)支梁和懸臂梁建立桿系有限元模型(MIDAS)進(jìn)行計(jì)算,并與公式計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較,如圖16、17所示。從圖16、17可見(jiàn),桿系有限元的計(jì)算結(jié)果和公式的計(jì)算結(jié)果很接近。實(shí)際上,波折角是反映褶皺效應(yīng)的一個(gè)有效參數(shù),在不改變直板段和斜板段長(zhǎng)度的前提下,選取一系列波折角,分別運(yùn)用公式(14)和桿系有限元進(jìn)行計(jì)算,結(jié)果如表1所示。由表1可見(jiàn),在波折角較小時(shí),公式計(jì)算結(jié)果和桿系有限元的計(jì)算結(jié)果很接近,但當(dāng)波折角大于60°時(shí),公式與桿系有限元的計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)較大偏差,隨著波折角的增大,撓度不斷增加,且波折角越大,撓度增加的幅度越大。5鋼腹板組合箱梁彎管變形響應(yīng)分析結(jié)果(1)運(yùn)用能量法探討了考慮剪切變形的波形鋼腹板箱梁的撓度計(jì)算方法。針對(duì)簡(jiǎn)支梁和懸臂梁兩種基本結(jié)構(gòu),具體建立了在跨中集中力和均布荷載作用下的撓度計(jì)算公式,即公式(11)至公式(14),公式簡(jiǎn)潔且精度較高,能為工程設(shè)計(jì)所使用。(2)參數(shù)分析表明:隨著簡(jiǎn)支梁跨度或懸臂梁長(zhǎng)度減小,剪切變形撓度所占比例增大,在