小學(xué)奧數(shù)-抽屜原理

PAGE4小學(xué)奧數(shù)－抽屜原理（一）先了解一下抽屜原理的概念，然后結(jié)合一些較復(fù)雜的抽屜原理問(wèn)題，討論如何構(gòu)造抽屜。抽屜原理1將多于n件物品任意放到n個(gè)抽屜中，那么至少有一個(gè)抽屜中的物品不少于2件。抽屜原理2將多于m×n件物品任意放到到n個(gè)抽屜中，那么至少有一個(gè)抽屜中的物品不少于（m+1）件。理解抽屜原理要注意幾點(diǎn)：(1)抽屜原理是討論物品與抽屜的關(guān)系，要求物品數(shù)比抽屜數(shù)或抽屜數(shù)的倍數(shù)多，至于多多少，這倒無(wú)妨。（2）“任意放”的意思是不限制把物品放進(jìn)抽屜里的方法，不規(guī)定每個(gè)抽屜中都要放物品，即有些抽屜可以是空的，也不限制每個(gè)抽屜放物品的個(gè)數(shù)。（3）抽屜原理只能用來(lái)解決存在性問(wèn)題，“至少有一個(gè)”的意思就是存在，滿足要求的抽屜可能有多個(gè)，但這里只需保證存在一個(gè)達(dá)到要求的抽屜就夠了。（4）將a件物品放入n個(gè)抽屜中，如果a÷n=m……b，其中b是自然數(shù)，那么由抽屜原理2就可得到，至少有一個(gè)抽屜中的物品數(shù)不少于（m+1）件。例1五年級(jí)有47名學(xué)生參加一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，成績(jī)都是整數(shù)，滿分是100分。已知3名學(xué)生的成績(jī)?cè)?0分以下，其余學(xué)生的成績(jī)均在75～95分之間。問(wèn)：至少有幾名學(xué)生的成績(jī)相同？分析與解：關(guān)鍵是構(gòu)造合適的抽屜。既然是問(wèn)“至少有幾名學(xué)生的成績(jī)相同”，說(shuō)明應(yīng)以成績(jī)?yōu)槌閷?，學(xué)生為物品。除3名成績(jī)?cè)?0分以下的學(xué)生外，其余成績(jī)均在75～95分之間，75～95共有21個(gè)不同分?jǐn)?shù)，將這21個(gè)分?jǐn)?shù)作為21個(gè)抽屜，把47-3=44（個(gè)）學(xué)生作為物品。例2夏令營(yíng)組織2000名營(yíng)員活動(dòng)，其中有爬山、參觀博物館和到海灘游玩三個(gè)項(xiàng)目。規(guī)定每人必須參加一項(xiàng)或兩項(xiàng)活動(dòng)。那么至少有幾名營(yíng)員參加的活動(dòng)項(xiàng)目完全相同？分析與解：本題的抽屜不是那么明顯，因?yàn)閱?wèn)的是“至少有幾名營(yíng)員參加的活動(dòng)項(xiàng)目完全相同”，所以應(yīng)該把活動(dòng)項(xiàng)目當(dāng)成抽屜，營(yíng)員當(dāng)成物品。營(yíng)員數(shù)已經(jīng)有了，現(xiàn)在的問(wèn)題是應(yīng)當(dāng)搞清有多少個(gè)抽屜。例3把125本書分給五（2）班學(xué)生，如果其中至少有1人分到至少4本書，那么，這個(gè)班最多有多少人？分析與解：這道題一下子不容易理解，我們將它變變形式。因?yàn)槭前褧纸o學(xué)生，所以學(xué)生是抽屜，書是物品。本題可以變?yōu)椋?25件物品放入若干個(gè)抽屜，無(wú)論怎樣放，至少有一個(gè)抽屜中放有4件物品，求最多有幾個(gè)抽屜。這個(gè)問(wèn)題的條件與結(jié)論與抽屜原理2正好相反，所以反著用抽屜原理2即可。例4五（1）班張老師在一次數(shù)學(xué)課上出了兩道題，規(guī)定每道題做對(duì)得2分，沒做得1分，做錯(cuò)得0分。張老師說(shuō)：可以肯定全班同學(xué)中至少有6名學(xué)生各題的得分都相同。那么，這個(gè)班最少有多少人？分析與解：由“至少有6名學(xué)生各題的得分都相同”看出，應(yīng)該以各題得分情況為抽屜，學(xué)生為物品。例3與例4盡管都是求學(xué)生人數(shù)，但因?yàn)閱?wèn)題不同，所以構(gòu)造的抽屜也不同，例3中將學(xué)生作為抽屜，例4中則將學(xué)生作為物品?？梢娎贸閷显斫忸}，應(yīng)根據(jù)問(wèn)題靈活構(gòu)造抽屜。一般地，當(dāng)問(wèn)“最少有多少××”時(shí)，應(yīng)將××作為物品，如例1，2，4；當(dāng)問(wèn)“最多有多少××?xí)r，應(yīng)將××作為抽屜，如例3。例5任意將若干個(gè)小朋友分為五組。證明：一定有這樣的兩組，兩組中的男孩總數(shù)與女孩總數(shù)都是偶數(shù)。分析與解：因?yàn)橐唤M中的男孩人數(shù)與女孩人數(shù)的奇偶性只有下面四種情況：（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶）。練習(xí)2：1、布袋里有組都多的5種不同顏色的球。最少取出多少個(gè)球才能保證其中一定有3個(gè)顏色一樣的球？2、一個(gè)容器里放有10塊紅木塊、10塊白木塊、10塊藍(lán)木塊，它們的形狀、大小都一樣。當(dāng)你被蒙上眼睛去容器中取出木塊時(shí)，為確保取出的木塊中至少有4塊顏色相同，應(yīng)至少取出多少塊木塊？3、一副撲克牌共54張，其中1—13點(diǎn)各有4張，還有兩張王的撲克牌。至少要取出幾張牌，才能保證其中必有4張牌的點(diǎn)數(shù)相同？例題3：某班共有46名學(xué)生，他們都參加了課外興趣小組。活動(dòng)內(nèi)容有數(shù)學(xué)、美術(shù)、書法和英語(yǔ)，每人可參加1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)或4個(gè)興趣小組。問(wèn)班級(jí)中至少有幾名學(xué)生參加的項(xiàng)目完全相同？參加課外興趣小組的學(xué)生共分四種情況，只參加一個(gè)組的有4種類型，只參加兩個(gè)小組的有6個(gè)類型，只參加三個(gè)組的有4種類型，參加四個(gè)組的有1種類型。把4+6+4+1=15（種）類型看做15個(gè)抽屜，把46個(gè)學(xué)生放入這些抽屜，因?yàn)?6=3×15+1，所以班級(jí)中至少有4名學(xué)生參加的項(xiàng)目完全相同。練習(xí)3：1、某班有37個(gè)學(xué)生，他們都訂閱了《小主人報(bào)》、《少年文藝》、《小學(xué)生優(yōu)秀作文》三種報(bào)刊中的一、二、三種。其中至少有幾位同學(xué)訂的報(bào)刊相同？2、學(xué)校開辦了繪畫、笛子、足球和電腦四個(gè)課外學(xué)習(xí)班，每個(gè)學(xué)生最多可以參加兩個(gè)（可以不參加）。某班有52名同學(xué)，問(wèn)至少有幾名同學(xué)參加課外學(xué)習(xí)班的情況完全相同？3、庫(kù)房里有一批籃球、排球、足球和鉛球，每人任意搬運(yùn)兩個(gè)，問(wèn)：在31個(gè)搬運(yùn)者中至少有幾人搬運(yùn)的球完全相同？例題4：從1至30中，3的倍數(shù)有30÷3=10個(gè)，不是3的倍數(shù)的數(shù)有30—10=20個(gè)，至少要取出20+1=21個(gè)不同的數(shù)才能保證其中一定有一個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)。練習(xí)4：1、在1，2，3，……49，50中，至少要取出多少個(gè)不同的數(shù)，才能保證其中一定有一個(gè)數(shù)能被5整除？2、從1至120中，至少要取出幾個(gè)不同的數(shù)才能保證其中一定有一個(gè)數(shù)是4的倍數(shù)？3、從1至36中，最多可以取出幾個(gè)數(shù)，使得這些數(shù)中沒有兩數(shù)的差是5的倍數(shù)？例題5：將400張卡片分給若干名同學(xué)，每人都能分到，但都不能超過(guò)11張，試證明：找少有七名同學(xué)得到的卡片的張數(shù)相同。這題需要靈活運(yùn)用抽屜原理。將分得1，2，3，……，11張可片看做11個(gè)抽屜，把同學(xué)人數(shù)看做元素，如果每個(gè)抽屜都有一個(gè)元素，則需1+2+3+……+10+11=66（張）卡片。而400÷66=6……4（張），即每個(gè)周體都有6個(gè)元素，還余下4張卡片沒分掉。而這4張卡片無(wú)論怎么分，都會(huì)使得某一個(gè)抽屜至少有7個(gè)元素，所以至少有7名同學(xué)得到的卡片的張數(shù)相同。練習(xí)5：1、把280個(gè)桃分給若干只猴子，每只猴子不超過(guò)10個(gè)。證明：無(wú)論怎樣分，至少有6只猴子得到的桃一樣多。2、把61顆棋子放在若干個(gè)格子里，每個(gè)格子最多可以放5顆棋子。證明：至少有5個(gè)格子中的棋子數(shù)目相同。3、汽車8小時(shí)行了310千米，已知汽車第一小時(shí)行了25千米，最后一小時(shí)行了45千米。證明：一定存在連續(xù)的兩小時(shí)，在這兩小時(shí)內(nèi)汽車至少行了80千米。習(xí)題1．木箱里裝有紅色球3個(gè)、黃色球5個(gè)、藍(lán)色球7個(gè)，若蒙眼去摸，為保證取出的球中有兩個(gè)球的顏色相同，則最少要取出多少個(gè)球？2．一幅撲克牌有54張，最少要抽取幾張牌，方能保證其中至少有3張牌有相同的點(diǎn)數(shù)？3．有11名學(xué)生到老師家借書，老師的書房中有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四類書，每名學(xué)生最多可借兩本不同類的書，最少借一本。試證明：必有兩個(gè)學(xué)生所借的書的類型相同4．有50名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行某個(gè)項(xiàng)目的單循環(huán)賽，如果沒有平局，也沒有全勝。試證明：一定有兩個(gè)運(yùn)動(dòng)員積分相同。5．體育用品倉(cāng)庫(kù)里有許多足球、排球和籃球，某班50名同學(xué)來(lái)倉(cāng)庫(kù)拿球，規(guī)定每個(gè)人至少拿1個(gè)球，至多拿2個(gè)球，問(wèn)至少有幾名同學(xué)所拿的球種類是一致的？6．某校有55個(gè)同學(xué)參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，已知將參賽人任意分成四組，則必有一組的女生多于2人，又知參賽者中任何10人中必有男生，則參賽男生的人數(shù)為多少人？7．有黑色、白色、藍(lán)色手套各5只（不分左右手），至少要拿出多少只（拿的時(shí)候不許看顏色），才能使拿出的手套中一定有兩雙是同顏色的。8．一些蘋果和梨混放在一個(gè)筐里，小明把這筐水果分成了若干堆，后來(lái)發(fā)現(xiàn)無(wú)論怎么分，總能從這若干堆里找到兩堆，把這兩堆水果合并在一起后，蘋果和梨的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，那么小明至少把這些水果分成了多少堆？9．從1，3，5，……，99中，至少選出多少個(gè)數(shù)，其中必有兩個(gè)數(shù)的和是100。10．某旅游車上有47名乘客，每位乘客都只帶有一種水果。如果乘客中有人帶梨，并且其中任何兩位乘客中至少有一個(gè)人帶蘋果，那么乘客中有多少人帶蘋果。