概率論與數(shù)理統(tǒng)計數(shù)學(xué)期望

設(shè)某射擊手在同樣的條件下,瞄準(zhǔn)靶子相繼射擊90次,(命中的環(huán)數(shù)是一個隨機變量).射中次數(shù)記錄如下引例射擊問題試問:該射手每次射擊平均命中靶多少環(huán)?命中環(huán)數(shù)k命中次數(shù)頻率一、數(shù)學(xué)期望的概念解平均射中環(huán)數(shù)平均射中環(huán)數(shù)頻率隨機波動隨機波動隨機波動穩(wěn)定值“平均射中環(huán)數(shù)”的穩(wěn)定值“平均射中環(huán)數(shù)”等于射中環(huán)數(shù)的可能值與其概率之積的累加1.離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望關(guān)于定義的幾點說明(1)E(X)是一個實數(shù),而非變量,它是一種加權(quán)平均,與一般的平均值不同,它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機變量X取可能值的真正的平均值,也稱均值.(2)級數(shù)的絕對收斂性保證了級數(shù)的和不隨級數(shù)各項次序的改變而改變,之所以這樣要求是因為數(shù)學(xué)期望是反映隨機變量X取可能值的平均值,它不應(yīng)隨可能值的排列次序而改變.例1（常見離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望）若X~b(1,p)：X~π(λ),2.連續(xù)型隨機變量數(shù)學(xué)期望的定義解因此,顧客平均等待5分鐘就可得到服務(wù).例2

顧客平均等待多長時間?

設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時間X(以分計)服從指數(shù)分布,其概率密度為試求顧客等待服務(wù)的平均時間?例3（均勻分布的數(shù)學(xué)期望）設(shè)X~exp(λ)，則EX=1/λ例41.離散型隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望二、隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望若Y=g(X),且則有例5，P94，62.連續(xù)型隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望若X是連續(xù)型的,它的分布密度為f(x),則例6：P94，10例7

解例10：P94,123.二維隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望例9，P94，111.設(shè)C是常數(shù),則有證明2.設(shè)X是一個隨機變量,C是常數(shù),則有證明例如三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)4.設(shè)X,Y是相互獨立的隨機變量,則有3.設(shè)X,Y是兩個隨機變量,則有證明說明連續(xù)型隨機變量X的數(shù)學(xué)期望與離散型隨機變量數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)類似.解例5四、小結(jié)數(shù)學(xué)期望是一個實數(shù),而非變量,它是一種加權(quán)平均,與一般的平均值不同,它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機變量X取可能值的真正的平均值.2.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)一、隨機變量方差的概念及性質(zhì)三、例題講解二、重要概率分布的方差四、小結(jié)第二節(jié)方差1.概念的引入方差是一個常用來體現(xiàn)隨機變量取值分散程度的量.實例有兩批燈泡,其平均壽命都是E(X)=1000小時.

一、隨機變量方差的概念及性質(zhì)2.方差的定義方差是一個常用來體現(xiàn)隨機變量X取值分散程度的量.如果D(X)值大,表示X取值分散程度大,E(X)的代表性差;而如果D(X)值小,則表示X的取值比較集中,以E(X)作為隨機變量的代表性好.3.方差的意義離散型隨機變量的方差連續(xù)型隨機變量的方差4.隨機變量方差的計算

(1)利用定義計算

證明(2)利用公式計算證明5.方差的性質(zhì)(1)設(shè)C是常數(shù),則有(2)設(shè)X是一個隨機變量,C是常數(shù),則有證明(3)設(shè)X,Y相互獨立,D(X),D(Y)存在,則證明推廣1.

兩點分布已知隨機變量X的分布律為則有二、重要概率分布的方差2.二項分布則有設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為n,p二項分布,其分布律為3.泊松分布

則有所以4.

均勻分布則有結(jié)論

均勻分布的數(shù)學(xué)期望位于區(qū)間的中點.5.指數(shù)分布

則有6.正態(tài)分布則有分布參數(shù)數(shù)學(xué)期望方差兩點分布二項分布泊松分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布契比雪夫不等式證明取連續(xù)型隨機變量的情況來證明.

切比雪夫不等式契比雪夫得四、小結(jié)1.方差是一個常用來體現(xiàn)隨機變量X取值分散程度的量.如果D(X)值大,表示X取值分散程度大,E(X)的代表性差;而如果D(X)值小,則表示X的取值比較集中,以E(X)作為隨機變量的代表性好.2.方差的計算公式3.方差的性質(zhì)4.契比雪夫不等式一、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的概念及性質(zhì)二、相關(guān)系數(shù)的意義三、小結(jié)第三節(jié)協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)1.問題的提出一、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的概念及性質(zhì)協(xié)方差2.定義3.說明(2)相關(guān)系數(shù)描述的是隨機變量X和Y之間的線性相關(guān)關(guān)系，相關(guān)系數(shù)的絕對值越大，說明兩者之間線性相關(guān)程度越大，否則若相關(guān)系數(shù)等于0，說明兩者之間不存在線性相關(guān)關(guān)系，稱之為不相關(guān)。即X，Y不相關(guān)。不相關(guān)獨立但在二維正態(tài)中獨立和不相關(guān)是等價的證明：利用柯西-施瓦茲不等式該不等式的證明可通過定義t的函數(shù)g(t)作為t的二次函數(shù)應(yīng)有即由此得而相關(guān)系數(shù)令X1=X-EX，Y1=Y-EY有4.協(xié)方差的計算公式證明5.性質(zhì)

解例2一、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的概念及性質(zhì)二、相關(guān)系數(shù)的意義三、小結(jié)第三節(jié)協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)1.問題的提出一、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的概念及性質(zhì)協(xié)方差2.定義3.說明(2)相關(guān)系數(shù)描述的是隨機變量X和Y之間的線性相關(guān)關(guān)系，相關(guān)系數(shù)的絕對值越大，說明兩者之間線性相關(guān)程度越大，否則若相關(guān)系數(shù)等于0，說明兩者之間不存在線性相關(guān)關(guān)系，稱之為不相關(guān)。即X，Y不相關(guān)。不相關(guān)獨立但在二維正態(tài)中獨立和不相關(guān)是等價的證明：利用柯西-施瓦茲不等式該不等式的證明可通過定義t的函數(shù)g(t)作為t的二次函數(shù)應(yīng)有即由此得而相關(guān)系數(shù)令X1=X-EX，Y1=Y-EY有4.協(xié)方差的計算公式證明5.性質(zhì)

解例2一、基本概念二、n維正態(tài)變量的性質(zhì)三、小結(jié)第四節(jié)矩、協(xié)方差矩陣一、基本概念1.定義2.說明3.協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣的應(yīng)用協(xié)方差矩陣可用來表示多維隨機變量的概率密度，從而可通過協(xié)方差矩陣達(dá)到對多維隨機變量的研究由于引入矩陣由此可得由于推廣二、n維正態(tài)變量的性質(zhì)線性變換不變性三、小結(jié)2.正態(tài)變量是最重要的隨機變量，其性質(zhì)一定要熟練掌握.一、重點與難點二、主要內(nèi)容三、典型例題第四章隨機變量的數(shù)字特征

習(xí)題課一、重點與難點1.重點數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)和計算2.難點數(shù)字特征的計算方差的性質(zhì)和計算相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)和計算二、主要內(nèi)容數(shù)學(xué)期望方差離散型連續(xù)型性質(zhì)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)二維隨機變量的數(shù)學(xué)期望定義計算性質(zhì)隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定義協(xié)方差的性質(zhì)相關(guān)系數(shù)定理離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望離散型隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望為則有則有數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)1.設(shè)C是常數(shù),則有2.設(shè)X是一個隨機變量,C是常數(shù),則有3.設(shè)X,Y是兩個隨機變量,則有4.設(shè)X,Y是相互獨立的隨機變量,則有二維隨機變量的數(shù)學(xué)期望同理可得則則方差的定義方差的計算離散型隨機變量的方差連續(xù)型隨機變量的方差方差的性質(zhì)1.設(shè)C是常數(shù),則有2.設(shè)X是一個隨機變量,C是常數(shù),則有協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的定義協(xié)方差的性質(zhì)相關(guān)系數(shù)定理三、典型例題解例1解從數(shù)字0,1,2,…,n中任取兩個不同的數(shù)字,求這兩個數(shù)字之差的絕對值的數(shù)學(xué)期望.一般的例2解例3某銀行開展定期定