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文檔簡介
2023-2024學(xué)年廣東省佛山市順德區(qū)拔萃實驗學(xué)校九年級(上)開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題(本大題共10小題,共30分。在每小題列出的選項中,選出符合題目的一項)1.對角線互相垂直平分的四邊形是(
)A.平行四邊形、菱形 B.矩形、菱形 C.矩形、正方形 D.菱形、正方形2.如圖,一個矩形紙片,剪去部分后得到一個三角形,則圖中∠1+∠2的度數(shù)是(
)
A.30° B.60° C.90° D.120°3.如圖,在矩形ABCD中,對角線AC、BD相交于點O,若AB=6,∠AOD=120°,則AC的長為(
)
A.6 B.9 C.12 D.64.要使分式4xx?5有意義,則x的取值范圍是(
)A.x≠0 B.x≠?5 C.x≠5 D.x>55.如圖,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),正方形ABCD中的頂點B,D的坐標(biāo)分別是(0,0),(2,0),且A,C兩點關(guān)于x軸對稱,則C點對應(yīng)的坐標(biāo)是(
)
A.(1,1) B.(1,?1) C.(1,?2) D.(2,?2)6.已知菱形的面積為120cm2,一條對角線長為10cm,則這個菱形的周長為cm.(
)A.13 B.24 C.52 D.607.下列命題中,真命題是(
)A.兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
B.兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形
C.兩條對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形
D.兩條對角線相等的四邊形是矩形8.如圖,平行四邊形ABCD,從下列四個條件①AB=BC,②∠ABC=90°,③AC=BD,④AC⊥BD中選兩個作為補充條件,不能確定平行四邊形ABCD為正方形的是(
)A.①② B.②③ C.①③ D.②④9.如圖,D、E、F分別是△ABC各邊中點,則以下說法錯誤的是(
)A.△BDE和△DCF的面積相等
B.四邊形AEDF是平行四邊形
C.若AB=BC,則四邊形AEDF是菱形
D.若∠A=90°,則四邊形AEDF是矩形
10.如圖,在矩形AOBC中,O為坐標(biāo)原點,OA、OB分別在x軸、y軸上,點B的坐標(biāo)為(0,33),∠ABO=30°,將△ABC沿AB所在直線對折后,點C落在點D處,則點D的坐標(biāo)為(
)A.(32,323)
二、填空題(本大題共6小題,共24分)11.因式分解:a3?a=
.12.若一個正方形的對角線的長為6cm,則這個正方形的面積是______cm2.13.菱形的周長為20?cm,兩鄰角的比為2:1,則較短的對角線的長為______cm.14.如圖,在菱形ABCD中,對角線AC、BD相交于點O,E為BC中點,則與OE相等的線段有______.
15.如圖,四邊形ABCD是正方形,延長AB到點E,使AE=AC,則∠BCE的度數(shù)是______.
16.如圖,矩形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,AD=23,∠COB=60°,BF⊥AC,交AC于點M,交CD于點F,延長FO交AB于點E,則下列結(jié)論:①FO=FC;②四邊形EBFD是菱形;③△OBE≌△CBF;④MB=3.其中結(jié)論正確的是______.三、解答題(本大題共8小題,共70分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟)17.(本小題6.0分)
解不等式組:2x?1<x+1x?43≤x并把它的解集表示在數(shù)軸上.
18.(本小題6.0分)
先化簡,再求值:[(x+2y)2?(3x+y)(3x?y)?5y2]÷(2x)19.(本小題6.0分)
已知:如圖,在正方形ABCD中,E為CD邊上的一點,F(xiàn)為BC的延長線上一點,且CE=CF.△BCE與△DCF全等嗎?請說明理由.20.(本小題8.0分)
如圖,在平行四邊形ABCD中,E是AD邊上一點,且AE=AB,連接BE.
(1)尺規(guī)作圖:作∠A的平分線AF交BC于F,交BE于G(不需要寫作圖過程,保留作圖痕跡);
(2)若BE=8,AB=5,求AF的長.21.(本小題8.0分)
如圖,在平行四邊形ABCD中,兩條對角線相交于點O,EF經(jīng)過O且垂直于AC,分別與邊AD、BC交于點F、E.
(1)求證:四邊形AECF為菱形;
(2)若AD=3,CD=2,且∠ADC=45°,求平行四邊形的面積;
(3)在(2)的條件下求菱形AECF的周長.22.(本小題8.0分)
如圖,在矩形ABCD中,E、F分別是邊AB、CD上的點,AE=CF,連接EF,BF,EF與對角線AC交于O點,且BE=BF,∠BEF=2∠BAC.
(1)求證:OE=OF;
(2)若BC=23,求AB23.(本小題14.0分)
如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,過點C的直線MN//AB,D為AB邊上一點,過點D作DE⊥BC,交直線MN于E,垂足為F,連接CD、BE.
(1)求證:CE=AD;
(2)當(dāng)D在AB中點時,四邊形BECD是什么特殊四邊形?說明你的理由;
(3)若D為AB中點,則當(dāng)∠A的大小滿足什么條件時,四邊形BECD是正方形?請說明你的理由.
24.(本小題14.0分)
已知正方形ABCD的邊長為4..
(1)如圖1,點P在直線AD上運動,連接PC,將線段PC繞點C按順時針旋轉(zhuǎn)90°得到CE,連接BE.
①若點P與A重合,則BE=______.
②若BE=9,求AP的長.
(2)如圖2,點P在邊AD上(P不與A,D重合)運動,且PA>PD,連接PB、PC.將線段PB繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到PM,將線段PC繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到PN,設(shè)PD=x,MN=y,求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式.
答案和解析1.【答案】D
【解析】【分析】
根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分,正方形的對角線互相垂直平分性質(zhì)進(jìn)行分析從而得到正確答案.
本題考查平行四邊形及特殊平行四邊形的性質(zhì),熟練掌握平行四邊形,矩形,菱形,正方形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.
【解答】
解:A、不正確,平行四邊形的對角線不一定互相垂直;
B、不正確,矩形的對角線不一定互相垂直;
C、不正確,矩形的對角線不一定互相垂直;
D、正確,兩者的對角線均具有此性質(zhì);
故選D.2.【答案】C
解:由題意得,剩下的三角形是直角三角形,
所以,∠1+∠2=90°.
故選:C.
根據(jù)直角三角形兩銳角互余解答.
本題考查了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì),熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.3.【答案】C
解:∵四邊形ABCD是矩形,
∴AO=BO=CO=DO.
∵∠AOD=120°,
∴∠AOB=60°.
∴△AOB是等邊三角形.
∴AO=AB=6,
∴AC=2AO=12,
故選:C.
依據(jù)矩形的性質(zhì)可知△AOB是等邊三角形,所以AO=AB=6,則AC=2AO=12.
本題主要考查了矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì),矩形中對角線相等且互相平分,進(jìn)而得到等邊三角形是解本題的關(guān)鍵.4.【答案】C
解:∵x?5≠0,
∴x≠5.
故選:C.
根據(jù)分式有意義的條件:分母不等于0即可得出答案.
本題考查了分式有意義的條件,掌握分式有意義的條件:分母不等于0是解題的關(guān)鍵.5.【答案】B
解:∵A,C兩點關(guān)于x軸對稱
∴AC和BD互相垂直平分
∴BD=2
∴AC=2
∵點C在第四象限
∴點C的坐標(biāo)為:(1,?1)
故選B.
因為正方形ABCD,所以AC和BD互相垂直平分,易知BD=2,則AC=2,而點C在第四象限,所以點C的坐標(biāo)為:(1,?1).
本題考查了對角線的性質(zhì):正方形的對角線相等且互相垂直平分,是基礎(chǔ)知識要熟練掌握.6.【答案】C
解:∵菱形的一條對角線長為10cm,面積為120cm2,
∴另一對角線長為120×210=24(cm),
根據(jù)勾股定理,菱形的邊長為122+52=13(cm),則菱形的周長7.【答案】A
解:A、兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形是正確的,符合題意;
B、兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形,錯誤,不符合題意;
C、兩條對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形,錯誤,不符合題意;
D、兩條對角線相等的四邊形是矩形,錯誤,不符合題意.
故選:A.
分別根據(jù)平行四邊形,菱形,正方形,矩形的判定定理解答即可.
此題考查的是命題與定理,正確把握矩形、菱形、正方形以及平行四邊形的區(qū)別是解題關(guān)鍵.8.【答案】B
解:A、∵四邊形ABCD是平行四邊形,
當(dāng)①AB=BC時,平行四邊形ABCD是菱形,
當(dāng)②∠ABC=90°時,菱形ABCD是正方形,故此選項正確,不合題意;
B、∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴當(dāng)②∠ABC=90°時,平行四邊形ABCD是矩形,
當(dāng)AC=BD時,這是矩形的性質(zhì),無法得出四邊形ABCD是正方形,故此選項錯誤,符合題意;
C、∵四邊形ABCD是平行四邊形,
當(dāng)①AB=BC時,平行四邊形ABCD是菱形,
當(dāng)③AC=BD時,菱形ABCD是正方形,故此選項正確,不合題意;
D、∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴當(dāng)②∠ABC=90°時,平行四邊形ABCD是矩形,
當(dāng)④AC⊥BD時,矩形ABCD是正方形,故此選項正確,不合題意.
故選:B.
利用矩形、菱形、正方形之間的關(guān)系與區(qū)別,結(jié)合正方形的判定方法分別判斷得出即可.
此題主要考查了正方形的判定以及矩形、菱形的判定方法,正確掌握正方形的判定方法是解題關(guān)鍵.9.【答案】C
解:A.連接EF,
∵D、E、F分別是△ABC各邊中點,
∴EF/?/BC,BD=CD,
設(shè)EF和BC間的距離為?,
∴S△BDE=12BD??,S△DCE=12CD??,
∴S△BDE=S△DCF,
故本選項不符合題意;
B.∵D、E、F分別是△ABC各邊中點,
∴DE/?/AC,DF/?/AB,
∴DE/?/AF,DF/?/AE,
∴四邊形AEDF是平行四邊形,
故本選項不符合題意;
C.∵D、E、F分別是△ABC各邊中點,
∴DE=12AC,DF=12AB,EF=12BC
若AB=BC,則DF=EF,無法判斷DE與DF是否相等,
∴10.【答案】A
解:∵四邊形AOBC是矩形,∠ABO=30°,點B的坐標(biāo)為(0,33),
∴AC=OB=33,∠CAB=30°,
∴BC=AC?tan30°=33×33=3,
∵將△ABC沿AB所在直線對折后,點C落在點D處,
∴∠BAD=30°,AD=33,
過點D作DM⊥x軸于點M,
∵∠CAB=∠BAD=30°,
∴∠DAM=30°,
∴DM=12AD=332,
11.【答案】a(a+1)(a?1)
【解析】【分析】
此題考查了提公因式與公式法的綜合運用,熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵.
原式提取a,再利用平方差公式分解即可.【解答】
解:原式=a(a2?1)=a(a+1)(a?1),
12.【答案】18
解:∵正方形的對角線長為6cm,
∴正方形面積為12×6×6=18cm2,
故答案為:18.13.【答案】5
解:因為兩鄰角的比為2:1,得到菱形的較小的角為60°,可得較短的對角線與菱形的兩鄰邊組成等邊三角形.則較短的對角線的長為等于菱形的邊長20÷4=5cm.
故答案為5
根據(jù)已知可求得較小的內(nèi)角為60°,從而可得到較短的對角線與菱形的一組邊組成一個等邊三角形,則較短的對角線的長等于菱形的邊長.
此題主要考查的知識點:(1)菱形的兩個鄰角互補;(2)菱形的四邊相等;(3)等邊三角形的判定:有一角等于60°的等腰三角形是等邊三角形.14.【答案】EC、EB
解:∵菱形對角線垂直平分
∴△OCD為直角三角形,
∵E為CD的中點,
∴OE=12CD=EC=EB.
故答案為EC、EB.
根據(jù)菱形對角線垂直平分的性質(zhì),可以得△OCD為直角三角形,又由E為CD的中點,可得OE=15.【答案】22.5°
解:∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠CAE=45°=∠ACB.
∵AE=AC,
∴∠ACE=(180°?45°)÷2=67.5°.
∴∠BCE=∠ACE?∠ACB=67.5°?45°=22.5°.
故答案為22.5°.
根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠CAE=∠ACB=45°,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求∠ACE度數(shù),最后用∠BCE=∠ACE?45°即可.
本題主要考查了正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì),解決正方形的角度問題一般會涉及對角線平分對角得到45°.16.【答案】①②③④
解:∵四邊形ABCD是矩形,
∴AC=BD,
∴OA=OC=OD=OB,
∵∠COB=60°,
∴△OBC是等邊三角形,
∴OB=BC=OC,∠OBC=60°,
∵BF⊥AC,
∴OM=MC,
∴FM是OC的垂直平分線,
∴FO=FC,故①正確;
∵OB=CB,F(xiàn)O=FC,F(xiàn)B=FB,
∴△OBF≌△CBF(SSS),
∴∠FOB=∠FCB=90°,
∵∠OBC=60°,
∴∠ABO=30°,
∴∠OBM=∠CBM=30°,
∴∠ABO=∠OBF,
∵AB/?/CD,
∴∠OCF=∠OAE,
∵OA=OC,∠AOE=∠FOC,
∴△AOE≌△COF(ASA),
∴OE=OF,
∵OB⊥EF,
∴四邊形EBFD是菱形,故②正確;
∵△OBE≌△OBF≌△CBF,
∴③正確;
∵BC=AD=23,F(xiàn)M⊥OC,∠CBM=30°,
∴BM=3,故④正確;
故答案為:①②③④.
根據(jù)矩形的性質(zhì)和等邊三角形的判定得出△OBC是等邊三角形,進(jìn)而判斷①正確;根據(jù)ASA證明△AOE與△COF全等,進(jìn)而判斷②正確;根據(jù)全等三角形的性質(zhì)判斷③④正確即可.17.【答案】解:2x?1<x+1①x?43≤x②,
解不等式①得:x<2,
解不等式②得:x≥?2,
∴原不等式組的解集為:?2≤x<2,
該不等式組的解集在數(shù)軸上表示如圖所示:【解析】按照解一元一次不等式組的步驟進(jìn)行計算,即可解答.
本題考查了解一元一次不等式組,在數(shù)軸上表示不等式的解集,熟練掌握解一元一次不等式組的步驟是解題的關(guān)鍵.18.【答案】解:原式=(x2+4xy+4y2?9x2+y2?5y2)÷2x
=(?8x2+4xy)÷2x【解析】先計算括號內(nèi)的乘方和乘法,再合并括號內(nèi)的同類項,最后計算除法即可得.
本題主要考查整式的化簡求值能力,熟練掌握整式的混合運算順序及運算法則是解題的關(guān)鍵.19.【答案】解:△BCE≌△DCF,理由如下:
∵四邊形ABCD是正方形,
∴BC=DC,∠BCD=90°,
則:∠BCE=∠DCF=90°
在△BCE與△DCF中,
BC=DC∠BCD=∠DCFCE=CF,
∴△BCE≌△DCF(SAS)【解析】利用正方形的性質(zhì)即可得到△BCE與△DCF全等的條件,在利用SAS可證其全等.
本題考查了正方形的性質(zhì),全等三角形的判定,熟練掌握并靈活運用正方形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.20.【答案】解:(1)射線AF如圖所示.
(2)∵AE=AB,AF平分∠BAE,
∴AG⊥BE,
∴EG=BG=4,
在Rt△AGB中,∵AB=5,BG=4,
∴AG=52?42=3,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD/?/BC,
∴∠EAG=∠AFB,
∵AF平分∠BAE,
∴∠EAF=∠BAF,
∴∠EAF=∠BAG=∠AFB,
∴BA=BF,
∵BG⊥AF,
【解析】本題考查作圖?基本作圖,平行四邊形的性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識,屬于中考??碱}型.
(1)利用尺規(guī)作出∠BAD的角平分線即可.
(2)利用勾股定理求出AG,證明BA=BF,AG=GF即可解決問題.21.【答案】(1)證明:∵EF是對角線AC的垂直平分線,
∴AF=CF,AE=CE,OA=OC,
∴∠EAC=∠ECA,∠FAC=∠FCA,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD/?/BC,
∴∠EAC=∠FCA,
∴∠FAO=∠ECO,
在△AOF和△COE中,
∠FAO=∠ECOOA=OC∠AOF=∠COE,
∴△AOF≌△COE(ASA),
∴AF=CE,
∵AF=CF,AE=CE,
∴AE=EC=CF=AF,
∴四邊形AECF為菱形;
(2)解:過C作CH⊥AD于H,
則∠CHD=∠CHF=90°,
∵∠ADC=45°,
∴△CDH是等腰直角三角形,
∴CH=DH=22CD=1,
∴平行四邊形ABCD是面積=AD×CH=3×1=3;
(3)解:∵AD=3,DH=1,
∴AH=2,
∵四邊形AECF是菱形,
∴AF=CF,
設(shè)AF=CF=x,則FH=2?x,
在Rt△CHF中,由勾股定理得:CF2=FH2+CH2,
即x2=(2?x)【解析】(1)由線段垂直平分線的性質(zhì)得AF=CF,AE=CE,再證△AOF≌△COE,得AF=CE,則AE=EC=CF=AF,即可得出結(jié)論;
(2)證△CDH是等腰直角三角形,得CH=DH=1,由平行四邊形的面積可求解;
(3)先求AH=2,由菱形的性質(zhì)得AF=CF,設(shè)AF=CF=x,則FH=2?x,在Rt△CHF中,由勾股定理得出方程,解方程,進(jìn)而求解即可.
本題考查了菱形的判定和性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì),垂直平分線的性質(zhì),勾股定理,全等三角形的判定和性質(zhì),靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵.22.【答案】(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,
∴AB/?/CD,
∴∠BAC=∠FCO.
在△AOE和△COF中,
∠BAC=∠FCO,∠AOE=∠COF,AE=CF,
∴△AOE≌△COF(AAS),
∴OE=OF.
(2)解:如圖,連接OB.
∵BE=BF,OE=OF,
∴BO⊥EF,
在Rt△BEO中,∠BEF+∠ABO=90°.
∵△AOE≌△COF,
∴OA=OC.
∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠ABC=90°
∴OA=OB=OC,
∴∠BAC=∠ABO.
∵∠BEF=2∠BAC,∠BEF+∠ABO=90°,
∴2∠BAC+∠BAC=90°,
∴∠BAC=30°.
∵BC=23,
∴AC=2BC=43,
【解析】(1)仔細(xì)審題,根據(jù)矩形的對邊平行可得AB/?/CD,再根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯角相等得出∠BAC=∠FCO,然后利用“角角邊”證明△AOE和△COF全等,即可證明OE=OF;
(2)連接OB,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BO⊥EF,再根據(jù)矩形的性質(zhì)得到直角三角形,利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即可證明OA=OB,根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)可得∠BAC=∠ABO;在Rt△BEO中利用三角形的內(nèi)角和定理,結(jié)合已知即可得到∠BAC=30°,根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC,接下來運用勾股定理即可求出AB的長.
此題考查的是矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì),掌握其性質(zhì)定理是解決此題的關(guān)鍵.23.【答案】(1)證明:∵DE⊥BC.
∴∠DFB=90°.
∵∠ACB=90°,
∴∠ACB=∠DFB,
∴AC/?/DE,
∵M(jìn)N/?/AB,即CE/?/AD,
∴四邊形ADEC是平行四邊形,
∴CE=AD.
(2)解:四邊形BECD是菱形.
理由是:∵D為AB中點,
∴AD=BD,
∵CE=AD,
∴BD=CE.
∵BD/?/CE,
∴四邊形BECD是平行四邊形.
∵∠ACB=90°,D為AB中點,
∴CD=BD,
∴平行四邊形BECD是菱形.
(3)解:當(dāng)∠A=45°時,四邊形BECD是正方形.
理由是:∵∠ACB=90°,∠A=45°,
∴∠ABC=∠A=45°,
∴AC=BC.
∵D為BA中點,
∴CD⊥AB,
∴∠CDB=90°,
∵四邊形BECD是菱形,
∴菱形BECD是正方形,
即當(dāng)∠A=45°時,四邊形BECD是正方形.
【解析】本題主要考查平行四邊形的判定和性質(zhì),菱形的判定和性質(zhì)以及正方形的判定,掌握相關(guān)判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
(1)先證出四邊形ADEC是平行四邊形,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出即可;
(2)先證明四邊形BECD是平行四邊形,再證明CD=BD,根據(jù)菱形的判定推出即可;
(3)證出∠CDB=90°,再根據(jù)正方形的判定推出即可.24.【答案】4解:(1)①當(dāng)點P與點A重合時,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:AC=EC,∠ACE=90°,
過點E作BC的垂線交BC的延長線于F,則∠AFE=90°,
∵四邊形ABCD為正方形,且邊長為4,
∴∠BCA=∠DCA=45°,∠ABC=∠D=90°,AB=BC=CD=4,
∴∠DCE=∠ACE?∠DCA=45°,
∴∠ECF=∠DCF?∠DCE=45°,
∴∠ECF=∠ACB=45°,
在△ABC和△ECF中,
∠ECF=∠ACB=45°∠F=∠ABC=90°AC=EC,
∴△ABC≌△ECF(AAS),
∴CF=BC=4,EF=AB=4,
∴BF=BC+CF=8,
在Rt△BEF中,BF=8,EF=4,
由勾股定理得:BE=BF2+EF2=45.
②∵點P在直線AD上運動,
∴有以下兩種情況:
(i)當(dāng)點P在DA的延長線上時,設(shè)AP=a,
過點E作BC的垂線交BC的延長線于F,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:EC=CP,∠PCE=90°,
∴∠F=∠D=90°,EF//CD,
∴∠P+∠PCD=90°,∠PCD+∠DCE=90°,∠CEF=∠DCE,
∴∠P=∠CEF,
在△CEF和△CPD中,
∠P=∠CEF∠F=∠D=90°EC=CP,
∴△CEF≌△CPD(AAS),
∴EF=DP=4+a,CF=CD=4,
∴BF=BC+CF=8,
在Rt△BEF中,EF=a+4,BF=8,BE=9,
由勾股定理得:EF2=BE2?BF2,
即:(a+4)2=92?82=17,
∴a+4=±17,
∴a=17?4或a=?17?4<0(不合題意,舍去),
∴AP=a=17?4.
(ii)當(dāng)點P在AD的延長線上時,
過點E作BC的垂線交BC的延長線于F,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:EC=CP,∠PCE=90°,
∴∠ECF+∠PCF=90°,∠PCD+∠PCF=90°,
∴∠ECF=∠PCD,
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