江蘇省鎮(zhèn)江市2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（教師版含解析）

2022-2023學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市高一(上)期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，集合，，則()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出，進(jìn)而求出.【詳解】，故故選：B2.命題“對(duì)任意，都有”的否定為()A.存在，使得 B.不存在，使得C.存在，使得 D.存在，使得【答案】D【解析】【分析】利用全稱量詞命題的否定是特稱命題可得出結(jié)論.【詳解】由全稱量詞命題的否定可知，原命題的否定為“存在，使得”.故選：D.3.冪函數(shù)為偶函數(shù)，且在上為減函數(shù)是()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)A：，則，故為偶函數(shù)，且在上為減函數(shù)，A正確；對(duì)B：的定義域?yàn)?，即定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故為非奇非偶函數(shù)，B錯(cuò)誤；對(duì)C：，故為偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)，C正確；對(duì)D：，故為奇函數(shù)，D錯(cuò)誤.故選：A.4.已知方程解在內(nèi)，則()A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在性定理分析運(yùn)算.【詳解】構(gòu)建，則在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，故在定義域內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn)，∵，∴僅在內(nèi)存在零點(diǎn)，即方程的解僅在內(nèi)，故.故選：B.5.中國(guó)折扇有著深厚的文化底蘊(yùn).用黃金分割比例設(shè)計(jì)一把富有美感的紙扇，如圖所示，在設(shè)計(jì)折扇的圓心角時(shí)，可把折扇考慮為從一圓形(半徑為)分割出來(lái)的扇形，使扇形的面積與圓的面積的乘積等于剩余面積的平方.則扇形的圓心角為()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】計(jì)算出、，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于的方程，結(jié)合可求得的值.【詳解】由題意可知，，則且，即，整理可得，由題意可知，，解得.故選：C.6.若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，根據(jù)三角函數(shù)的有界性可判斷，即可求解.【詳解】，，，所以，故選：B7.函數(shù)的圖象大致是()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】分析函數(shù)的奇偶性及其在上的增長(zhǎng)速度，結(jié)合排除法可得出合適的選項(xiàng).【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，故對(duì)任意的，，所以，函數(shù)為偶函數(shù)，排除BD選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在的增長(zhǎng)速度快于函數(shù)的增長(zhǎng)速度，排除C選項(xiàng).故選：A.8.已知函數(shù)，正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為()A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】【分析】先證明函數(shù)為奇函數(shù)，由可得，再利用基本不等式求的最小值.【詳解】，函數(shù)定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以為奇函數(shù)，有，由解析式可以看出單調(diào)遞增，由，得，即，為正實(shí)數(shù)，則有，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，則有，所以，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則的最小值為4.故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列命題為真命題的是()A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，，則【答案】BC【解析】【分析】對(duì)A、B、D：根據(jù)不等式的性質(zhì)結(jié)合作差法分析判斷；對(duì)C：根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性分析判斷.【詳解】對(duì)A：當(dāng)時(shí)，若，則；當(dāng)時(shí)，則，A為假命題；對(duì)B：∵，若，則，∴，即，B為真命題；對(duì)C：∵在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，若，則，C為真命題；對(duì)D：∵，若，則，即，當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則；D為假命題.故選：BC.10.已知，，則下列等式正確的是()A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可判斷AB選項(xiàng)；求出、的值，可判斷CD選項(xiàng)的正誤.【詳解】因?yàn)椋瑒t.對(duì)于A選項(xiàng)，，可得，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可知，，則，所以，，則，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，，可得，則，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，，D對(duì).故選：ABD.11.已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是()A.函數(shù)恒滿足B.直線為函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸C.點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心D.函數(shù)在上為增函數(shù)【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式可判斷A選項(xiàng)；利用正切型函數(shù)的對(duì)稱性可判斷BC選項(xiàng)；利用正切型函數(shù)的單調(diào)性可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，函數(shù)無(wú)對(duì)稱軸，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，由可得，當(dāng)時(shí)，可得，所以，點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在上不單調(diào)，D錯(cuò).故選：AC.12.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有()A.若為銳角，則B.C.方程有且只有一個(gè)根D.方程的解都在區(qū)間內(nèi)【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)A：利用放縮可得；對(duì)B：利用做差法分析判斷；對(duì)C：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性分析判斷；對(duì)D：分類討論，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理分析判斷.【詳解】對(duì)A：若為銳角，則，可得，故，A錯(cuò)誤；對(duì)B：當(dāng)時(shí)，，故，即，B正確；對(duì)C：∵，且在上單調(diào)遞增，∴，解得，C正確；對(duì)D：構(gòu)建，則在上連續(xù)不斷，則有：當(dāng)時(shí)，則，故，可得在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，則，故，可得在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，則，故在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)；綜上所述：只在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，即方程的解都在區(qū)間內(nèi)，D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判斷函數(shù)零點(diǎn)的方法(1)直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，則方程解的個(gè)數(shù)即為零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．(2)零點(diǎn)存在性定理：利用該定理不僅要求函數(shù)在[a，b]上是連續(xù)曲線，且f(a)·f(b)<0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)(如單調(diào)性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)．(3)數(shù)形結(jié)合：對(duì)于給定的函數(shù)不能直接求解或畫出圖形，常會(huì)通過(guò)分解轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合，看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)有幾個(gè)，其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13._________.【答案】##【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算可得所求代數(shù)式的值.【詳解】原式.故答案：.14.已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的范圍為__________.【答案】【解析】【分析】對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則，討論與0的大小可得答案.【詳解】因?qū)θ我鈱?shí)數(shù)恒成立，則.當(dāng)時(shí)，符合題意；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.綜上，.故答案為：15.已知某種果蔬的有效保鮮時(shí)間(單位：小時(shí))與儲(chǔ)藏溫度(單位：℃)近似滿足函數(shù)關(guān)系(a，b為常數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)底數(shù))，若該果蔬在7℃的保鮮時(shí)間為216小時(shí)，在28℃的有效保鮮時(shí)間為8小時(shí)，那么在14℃時(shí)，該果蔬的有效保鮮時(shí)間大約為_______小時(shí).【答案】72【解析】【分析】根據(jù)題意列出方程組，求出，確定函數(shù)解析式，再代入求值即可.【詳解】由題意得：，①÷②得：，故，則，，故故當(dāng)時(shí)，.故答案為：7216.已知函數(shù)，則的值域?yàn)開_______﹔函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為_________.【答案】①.②.【解析】【分析】將函數(shù)的解析式變形為，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)可求得的值域；利用函數(shù)對(duì)稱性的定義可求得函數(shù)的對(duì)稱中心的坐標(biāo).【詳解】因?yàn)?，則，所以，，所以，函數(shù)的值域?yàn)椋驗(yàn)?，則，因此，函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為.故答案為：；.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知集合，.(1)若，求；(2)若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)分別解出集合中的不等式，得到兩個(gè)集合，再取交集；(2)依題意有有，列方程組求實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】，若，，，.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件，有A是B的真子集可得等號(hào)不同時(shí)取，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為18.已知，.(1)求的值；(2)若角的終邊與角關(guān)于軸對(duì)稱，求的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用平方關(guān)系式求出和，再根據(jù)商數(shù)關(guān)系式求出；(2)根據(jù)角的終邊與角關(guān)于軸對(duì)稱，推出，，，，再根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)所求式子，代入可求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，由，得，得，得，得或，?dāng)時(shí)，由得，不符合題意；當(dāng)時(shí)，由得，所以.小問(wèn)2詳解】若角的終邊與角關(guān)于軸對(duì)稱，則，，即，，所以,,,,.19.用“五點(diǎn)法”作函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表計(jì)算了部分?jǐn)?shù)據(jù)：0020d0(1)請(qǐng)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求出函數(shù)的表達(dá)式并寫出表內(nèi)實(shí)數(shù)a，b，c，d的值；(2)請(qǐng)?jiān)诮o定的坐標(biāo)系內(nèi)，作出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象；(3)若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，(2)圖象見詳解(3)【解析】【分析】(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)運(yùn)算求解；(2)根據(jù)題意結(jié)合五點(diǎn)作圖法作圖；(3)以為整體，結(jié)合正弦函數(shù)求的值域，再結(jié)合存在性問(wèn)題分析求解.【小問(wèn)1詳解】由題意可得：，即，設(shè)函數(shù)的最小正周期為，則，即，可得，∵，解得，故，.【小問(wèn)2詳解】補(bǔ)全表格得：00200則函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示：【小問(wèn)3詳解】∵，則，可得，∴，若存在，使得成立，則，即，故實(shí)數(shù)的取值范圍.20.已知函數(shù)(且).(1)求函數(shù)的奇偶性；(2)若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)奇函數(shù)(2)【解析】【分析】(1)求出函數(shù)的定義域，利用函數(shù)奇偶性的定義可得出結(jié)論；(2)由可得出，求出函數(shù)在上的值域，可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】解：對(duì)于函數(shù)，有，則，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，，故函?shù)為奇函數(shù).【小問(wèn)2詳解】解：由可得，則，令，其中，因?yàn)楹瘮?shù)、在上為增函數(shù)，故函數(shù)在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.21.某企業(yè)參加國(guó)際商品展覽會(huì)，向主辦方申請(qǐng)了平方米的矩形展位，展位由展示區(qū)(圖中陰影部分)和過(guò)道(圖中空白部分)兩部分組成，其中展示區(qū)左右兩側(cè)過(guò)道寬度都為米，前方過(guò)道寬度為米.后期將對(duì)展位進(jìn)行裝修，其中展示區(qū)的裝修費(fèi)為元/平方米，過(guò)道的裝修費(fèi)為元/平方米.記展位的一條邊長(zhǎng)為米，整個(gè)展位的裝修總費(fèi)用為元.(1)請(qǐng)寫出裝修總費(fèi)用關(guān)于邊長(zhǎng)的表達(dá)式；(2)如何設(shè)計(jì)展位的邊長(zhǎng)使得裝修總費(fèi)用最低?并求出最低費(fèi)用.【答案】(1)，其中(2)當(dāng)展位區(qū)域是邊長(zhǎng)為米的矩形區(qū)域時(shí)，裝修費(fèi)用最低為元【解析】【分析】(1)設(shè)展位靠墻的一邊邊長(zhǎng)為米，則展示區(qū)靠墻的一邊的邊長(zhǎng)為米，計(jì)算出展示區(qū)的面積，即可得出裝修總費(fèi)用關(guān)于邊長(zhǎng)的表達(dá)式；(2)利用基本不等式可求得的最小值，利用等號(hào)成立的條件可得出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)展位靠墻的一邊邊長(zhǎng)為米，則展示區(qū)靠墻的一邊的邊長(zhǎng)為米，展示區(qū)另一邊邊長(zhǎng)為米，由可得，所以，，即，其中.【小問(wèn)2詳解】解：由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，當(dāng)展位區(qū)域是邊長(zhǎng)為米的矩形區(qū)域時(shí)，裝修費(fèi)用最小為元.22.已知函數(shù)，.(1)判斷并證明在上的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若方程在上有個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)函數(shù)在上為增函數(shù)，證明見解析(2)(3)【解析】【分析】(1)判斷出函數(shù)在上為增函數(shù)，然后任取、且，作差，因式分解后判斷的符號(hào)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義可證得結(jié)論成立；(2)令，由可得出，利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可求得實(shí)數(shù)的取值范