《高等數(shù)學(xué)（下冊）》（陽平華）646-1教案 第11章 第19課 二重積分的概念與性質(zhì)

19第19第課二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì)第課19PAGE8 PAGE8PAGE7 PAGE7二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì)第課19

課題二重積分的概念與性質(zhì)課時2課時（90min）教學(xué)目標(biāo)知識技能目標(biāo)：（1）掌握二重積分的概念（2）理解二重積分的幾何意義（3）理解二重積分的性質(zhì)及其應(yīng)用思政育人目標(biāo)：通過講解二重積分的概念與性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、辯證思維和創(chuàng)新思維能力；引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成獨立思考和深度思考的良好習(xí)慣；樹立學(xué)生實事求是、一絲不茍的科學(xué)精神教學(xué)重難點教學(xué)重點：二重積分的概念，二重積分的幾何意義教學(xué)難點：二重積分的性質(zhì)及其應(yīng)用教學(xué)方法講授法、問答法、討論法、演示法、實踐法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)設(shè)計第1節(jié)課：第2節(jié)課：知識講解（20min）（10min）→課堂小結(jié)（5min）教學(xué)過程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟設(shè)計意圖第一節(jié)課考勤

（2min）【教師】清點上課人數(shù)，記錄好考勤【學(xué)生】班干部報請假人員及原因培養(yǎng)學(xué)生的組織紀(jì)律性，掌握學(xué)生的出勤情況知識講解

（33min）【教師】講解二重積分的概念設(shè)有一個三維幾何體，它的底是平面上的有界閉區(qū)域，它的頂是由在上連續(xù)的二元非負(fù)函數(shù)確定的曲面，它的側(cè)面是以的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于軸的柱面，這種幾何體稱為曲頂柱體，如圖11-1．圖11-1對于平頂柱體，其體積等于底面積乘以高．對于曲頂柱體，其高度是的函數(shù)，即曲頂柱體的高度不是常數(shù)，所以不能用計算平頂柱體體積的公式來計算曲頂柱體的體積．那么如何解決這個問題呢？我們可以用之前求曲邊梯形面積的方法來試試，具體過程如下．（1）分割：用任意一組曲線網(wǎng)把區(qū)域分割為個小閉區(qū)域，小閉區(qū)域的面積記作，小閉區(qū)域上任意兩點間距離的最大值稱為該小閉區(qū)域的直徑，記為，每個小閉區(qū)域?qū)?yīng)著一個小的曲頂柱體，它們的體積記作．（2）取近似：在上任取一點，當(dāng)很小時，因為是連續(xù)的，所以變化很小，此時這個小區(qū)域所對應(yīng)的小曲頂柱體體積就可用以為底，為高的平頂柱體體積來近似代替，即．（3）求和：整個曲頂柱體的體積為．（4）取極限：令．顯然，如果這些小區(qū)域的最大直徑趨于0，即曲線網(wǎng)充分細(xì)密，則極限就定義為曲頂柱體的體積，即．定義設(shè)是平面上的有界閉區(qū)域，是定義在上的有界函數(shù)．將區(qū)域分割為個小閉區(qū)域，以表示第個小區(qū)域的面積．在上任取一點，作乘積，并作和．記為的直徑，當(dāng)趨于時，如果極限存在，且此極限與區(qū)域的分法及點的取法無關(guān)，則稱函數(shù)在區(qū)域上可積，并稱此極限為函數(shù)在區(qū)域上的二重積分，記作，即，其中，區(qū)域稱為積分區(qū)域，稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，稱為積分變量，稱為面積元素，稱為積分和．由于極限與區(qū)域的分法無關(guān)，如果我們在直角坐標(biāo)系中用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)分割區(qū)域，那么除了包含邊界點的一些不規(guī)則小閉區(qū)域外，其他小閉區(qū)域都是矩形閉區(qū)域．若把矩形閉區(qū)域的兩邊長度分別記為與，則其面積為．所以在坐標(biāo)系中，面積元素也可表示為．于是．其中，稱為直角坐標(biāo)系中的面積元素．結(jié)論在平面有界閉區(qū)域上定義的二元連續(xù)函數(shù)是可積的．【學(xué)生】掌握二重積分的概念【教師】講解二重積分的幾何意義在平面的有界閉區(qū)域上，如果有界函數(shù)，則二重積分表示以為底、曲面為頂?shù)那斨w體積，這就是二重積分的幾何意義．在平面的有界閉區(qū)域上，如果，相應(yīng)的曲頂柱體位于平面的下方，則二重積分就是該曲頂柱體體積的相反數(shù)．在平面的有界閉區(qū)域上，如果在一部分區(qū)域上為正，另一部分區(qū)域上為負(fù)，則二重積分等于平面上方的體積減去平面下方的體積．【學(xué)生】理解二重積分的幾何意義學(xué)習(xí)二重積分的概念，及其幾何意義。邊做邊講，及時鞏固練習(xí)，實現(xiàn)教學(xué)做一體化課堂測驗（10min）【教師】出幾道測試題目，測試一下大家的學(xué)習(xí)情況【學(xué)生】做測試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題過程【學(xué)生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧通過測試，了解學(xué)生對知識點的掌握情況，加深學(xué)生對本節(jié)課知識的印象第二節(jié)課知識講解

（20min）【教師】講解二重積分的性質(zhì)，并通過例題介紹其應(yīng)用性質(zhì)1設(shè)為常數(shù)，則．性質(zhì)2（被積函數(shù)的可加性）．性質(zhì)3（積分區(qū)域的可加性）若將有界閉區(qū)域分為若干個互不重疊（邊界除外）的區(qū)域，則在上的積分等于在和上的積分之和，即．性質(zhì)4若在有界閉區(qū)域上，，為的面積，則．性質(zhì)5（保序性）若在有界閉區(qū)域上，恒有，則，特別地，由于，因此．例2比較積分與的大小，其中，區(qū)域是一個三角形閉區(qū)域，該三角形的頂點分別為．分析可通過比較被積函數(shù)在同一個區(qū)域內(nèi)的大小，來判斷其積分的大?。馊切涡边叿匠虨?，在內(nèi)有，故，于是，因此．性質(zhì)6設(shè)和分別是在有界閉區(qū)域上的最小值與最大值，表示區(qū)域的面積，則有．域，該橢圓．分析找出被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)的上、下界，再分別乘以區(qū)域的面積即可估算出．解區(qū)域的面積為．在上，由于，所以，由性質(zhì)6知，于是．性質(zhì)7（中值定理）設(shè)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，是區(qū)域的面積，則在上至少存在一點，使得．中值定理的幾何意義：當(dāng)時，曲頂柱體的體積等于以為底，以上某點處的值為高的平頂柱體的體積．性質(zhì)8（偶倍奇零）（1）設(shè)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，區(qū)域關(guān)于軸對稱．那么，當(dāng)是關(guān)于的偶函數(shù)時，即，則有，其中，；當(dāng)是關(guān)于的奇函數(shù)時，即，則有．（2）類似地，當(dāng)區(qū)域關(guān)于軸對稱，是關(guān)于的奇（偶）函數(shù)時，有其中，．（3）如果關(guān)于原點對稱，，則有其中，同上．【學(xué)生】理解二重積分的8個性質(zhì)及其應(yīng)用學(xué)習(xí)二重積分的性質(zhì)。邊做邊講，及時鞏固練習(xí)，實現(xiàn)教學(xué)做一體化問題討論

（10min）【教師】組織學(xué)生討論以下問題嗎？2．積分區(qū)域的可加性是否適用于把區(qū)域分割成兩個以上互不重疊小區(qū)域的情況？【學(xué)生】討論、發(fā)言通過課堂討論，活躍課堂氣氛，加深學(xué)生對知識點的理解課堂測驗（10min）【教師】出幾道測試題目，測試一下大家的學(xué)習(xí)情況【學(xué)生】做測試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題過程【學(xué)生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧通過測試，了解學(xué)生對知識點的掌握情況，加深學(xué)生對本節(jié)課知識的印象課堂小結(jié)

（5min）【教師】簡要總結(jié)本節(jié)課的要點本節(jié)課介紹了二重積分的概念及性質(zhì)．二重積分是定積分在平面區(qū)域上的推廣，其概念及性質(zhì)與定積分類似，不同的是定積分的被積函數(shù)是一元函數(shù)，積分域是數(shù)軸上一個區(qū)間；而二重積分的被積函數(shù)是二元函數(shù)，積分域是平面上的一個有界閉區(qū)域．當(dāng)給定被積函數(shù)和積分域時，二重積分是一個確定的數(shù)值。課后