高二（上）期中數(shù)學試卷（含答案）

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一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）

1．（5分）已知空間向量，則向量在坐標平面Oyz上的投影向量是（）

A．（0，2，3）B．（0，2，﹣3）C．（1，2，0）D．（1，2，﹣3）

2．（5分）已知過坐標原點的直線l經(jīng)過點，直線n的傾斜角是直線l的2倍，則直線n的斜率是（）

A．B．C．D．

3．（5分）平面α的法向量＝（1，2，﹣1），平面β的法向量＝（λ2，2，8），若α⊥β，則λ的值是（）

A．2B．﹣2C．±2D．不存在

4．（5分）過A（0，1），B（0，3）兩點，且與直線y＝x﹣1相切的圓的方程可以是（）

A．（x+1）2+（y﹣2）2＝2B．（x﹣2）2+（y﹣2）2＝5

C．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2D．（x+2）2+（y﹣2）2＝5

5．（5分）在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M為棱CC1的中點．若＝，＝，＝，則等于（）

A．++B．﹣+C．++D．﹣+

6．（5分）已知直線l與圓C：x2+y2﹣6x+5＝0交于A，B兩點，且線段AB的中點坐標為D（2，），則|AB|＝（）

A．2B．3C．4D．5

7．（5分）如圖1，圓形紙片的圓心為O，半徑為6cm，該紙片上的正方形ABCD的中心為O．點E，F(xiàn)，G，H為圓O上的點，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH分別是以AB，BC，CD，DA為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以AB，BC，CD，DA為折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH，使得E，F(xiàn)，G，H重合得到一個四棱錐P﹣ABCD（如圖2）．當四棱錐P﹣ABCD的側(cè)面積是底面積的2倍時，異面直線PB與CD所成角的余弦值為（）

A．B．C．D．

8．（5分）直線x+y+4＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點，P在圓（x﹣4）2+y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是（）

A．[8，12]B．[8，12]C．[12，20]D．[12，20]

二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

（多選）9．（5分）下列命題正確的有（）

A．若空間向量，與任意一個向量都不能構(gòu)成基底，則∥

B．若向量，所在的直線為異面直線，則向量，一定不共面

C．若構(gòu)成空間的一組基底，則也是空間的一組基底

D．若構(gòu)成空間的一組基底，則，，共面

（多選）10．（5分）已知圓O：x2+y2＝4和圓M：x2+y2+4x﹣2y+4＝0相交于A，B兩點，則（）

A．直線AB的方程為y＝2x+2

B．兩圓有兩條公切線

C．線段AB的長為

D．圓O上點E，圓M上點F，則|EF|的最大值為

（多選）11．（5分）已知直線l：xsinα﹣ycosα﹣1＝0與圓O：x2+y2＝6相交于A，B兩點，則（）

A．△AOB的面積為定值

B．cos∠AOB＝﹣

C．圓O上總存在3個點到直線l的距離為2

D．線段AB中點的軌跡方程是x2+y2＝1

（多選）12．（5分）如圖，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面邊長，側(cè)棱長，P為底面ABCD內(nèi)的動點，且A1P與BB1所成角為30°，則下列命題正確的是（）

A．動點P的軌跡長度為

B．當B1P∥平面A1C1D時，B1P與平面A1C1D的距離為

C．直線C1P與底面ABCD所成角的最大值為

D．二面角P﹣A1C1﹣D的范圍是

三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

13．（5分）已知直線l1：ax+2y+3a﹣2＝0與l2：x+（a+1）y+4＝0平行，則實數(shù)a的值為．

14．（5分）給出以下命題：

①空間任意兩個共起點的向量是共面的；

②兩個相等向量就是相等長度的兩條有向線段表示的向量；

③空間向量的加法滿足結(jié)合律：（+）+＝+（+）；

④首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量．

上述命題中，真命題的序號是．

15．（5分）已知直線l1與直線l2：3x+4y﹣6＝0平行，且與圓x2+y2+2y＝0相切，則直線l1的方程是．

16．（5分）中和殿是故宮外朝三大殿之一，位于紫禁城太和殿與保和殿之間，中和殿建筑的亮點是屋頂為單檐四角攢（cuán）尖頂，體現(xiàn)天圓地方的理念，其屋頂部分的輪廓可近似看作一個正四棱錐．已知此四棱錐的側(cè)棱長為米，側(cè)面與底面的夾角為30°，則此四棱錐相鄰兩個側(cè)面的夾角的余弦值為．

四．解答題（共6小題，滿分70分）

17．（10分）已知圓W經(jīng)過點A（﹣3，0），B（﹣1，2），C（0，﹣）．

（1）求圓W的標準方程；

（2）設(shè)直線l：y＝x+m與圓W交于M，N兩點，求△WMN面積的最大值及取得最大值時m的值．

18．（12分）如圖，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD＝60°，PD⊥平面ABCD，PD∥BQ，且PD＝2BQ＝2．

（1）求證：PQ⊥AC；

（2）求直線AD與平面PAQ所成角的大?。?/p>

19．（12分）如圖，AB，CD是圓柱的上、下底面圓的直徑，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，E是底面圓周上不同于A，B兩點的一點，AE＝1．

（1）求證：BE⊥平面DAE．

（2）求點A到平面DBE的距離．

（3）求二面角C﹣DB﹣E的余弦值．

20．（12分）已知圓C：x2+y2﹣2x﹣4y+m＝0．

（1）若圓C與圓x2+y2﹣8x﹣12y+36＝0外切，求m的值；

（2）當m＝1時，由直線l：x﹣y+4＝0上任意一點P作圓C的兩條切線PA，PB（A，B為切點），試探究四邊形PACB的外接圓是否過定點？若過，求出該點的坐標；若不過，請說明理由．

21．（12分）如圖，四棱錐E﹣ABCD，，CD＝CB＝1，AC＝2，平面EAC⊥平面ABCD，平面ABE∩平面CDE＝l．

（1）若點M為線段AE中點，求證：BM∥l；

（2）若∠ACE＝60°，CE＝1，求直線BC與平面ADE所成角的正弦值．

22．（12分）已知圓C過點A（6，0），B（1，5），且圓心在直線l：2x﹣7y+8＝0上．

（1）求圓C的標準方程；

（2）過點D（0，5）且斜率為k的直線l與圓C有兩個不同的交點M，N，若，其中O為坐標原點，求直線l的方程．

高二（上）期中數(shù)學試卷

參考答案與解析

一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）

1．B．

2．A．

3．C．

4．C．

5．A．

6．A．

7．A．

8．C．

二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

9．AC．

10．BD．

11．ABD．

12．AC．

三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

13．1．

14．①③④．

15．3x+4y﹣1＝0或3x+4y+9＝0．

16．．

四．解答題（共6小題，滿分70分）

17．解：（1）設(shè)圓W的標準方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），

則有，解得，

所以圓W的標準方程為（x+1）2+y2＝4；

（2）圓W的圓心W（﹣1，0），半徑r＝2，圓心W到直線l的距離d＝，

因為直線1：y＝x+m與圓W交于M，N兩點，

所以0＜＜2，解得﹣2+1＜m＜2+1且m≠1，

|MN|＝2＝2，

則S△WMN＝d|MN|＝d＝，

所以令t＝d2，t∈（0，4），

則S△WMN＝＝≤2，

所以當t＝2時，即d＝，此時＝，即m＝3或﹣1時，

△WMN面積取得最大值2，

所以當m＝3或﹣1時，△WMN面積取得最大值2．

18．（1）證明：連接BD，因為四邊形ABCD是菱形，

所以AC⊥BD，

又因為PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，

所以AC⊥PD，

又BD∩PD＝D，所以AC⊥平面PDBQ，

因為PQ平面PDBQ，所以PQ⊥AC．

解：（2）設(shè)AC∩BD＝O，取PQ的中點M，則OM∥PD，

由（1）知，AC⊥BD，AC⊥OM．

以O(shè)為坐標原點，以O(shè)A，OB，OM所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，

則．

所以，，

設(shè)平面PAQ的一個法向量，則，所以，

所以，取．

設(shè)直線AD與平面PAQ夾角為α，

所以，，

所以，

即直線AD與平面PAQ夾角的大小為．

19．解：（1）證明：AB，CD是圓柱的上、下底面圓的直徑，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，

E是底面圓周上不同于A，B兩點的一點，AE＝1．

∴BE⊥AE，BE⊥AD，

∵AE∩AD＝A，∴BE⊥平面DAE．

（2）解法一：∵邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE＝1．

∴BE＝＝，DE＝＝，

設(shè)點A到平面DBE的距離為h，

∵VD﹣ABE＝VA﹣BDE，∴＝，

∴h＝＝＝．

∴點A到平面DBE的距離．

解法二：∵BE⊥平面DAE，∴AE⊥BE，

∴點A到DE的距離即點A到平面BDE的距離，

在Rt△ADE中，點A到BD的距離為：

d＝＝＝，

∴點A到平面DBE的距離為．

（3）解：以E為原點，EB為x軸，EA為y軸，過點E作平面ABE的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，

B（，0，0），D（0，1，2），C（，0，2），E（0，0，0），

＝（﹣，1，2），＝（0，0，2），＝（，0，0），＝（0，1，2），

設(shè)平面BCD的法向量為＝（x，y，z），

則，取x＝1，得＝（1，，0），

設(shè)平面BDE的法向量＝（a，b，c），

則，取b＝2，得＝（0，2，﹣1），

設(shè)二面角C﹣DB﹣E的平面角為θ，

則cosθ＝＝＝．

∴二面角C﹣DB﹣E的余弦值為．

20．解：（1）∵圓C方程可化為：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5﹣m，（m＜5），

∴圓心C（1，2），半徑r＝，

又圓D：x2+y2﹣8x﹣12y+36＝0可化為：（x﹣4）2+（y﹣6）2＝16，

∴圓心D（4，6），半徑R＝4，又兩圓外切，

∴|CD|＝r+R，

∴，（m＜5），

解得m＝4；

（2）當m＝1時，圓C方程可化為：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4，

由圓的切線的性質(zhì)易得：四邊形PACB的外接圓為以PC為直徑的圓，

∴四邊形PACB的外接圓是過定點C（1，2）．

21．解：（1）證明：如圖，設(shè)AD，AC中點分別為F，G，連接MF，F(xiàn)G，GB，又點M為線段AE中點，

∴MF∥ED，F(xiàn)G∥DC，又GC＝AC＝1＝BC，又由，CD＝CB＝1，AC＝2，得cos∠ACD＝cos，∴∠ACD＝，

∴△BCG為等邊三角形，∴，又∠AGF＝∠ACD＝，∴∠AGF＝CGB＝，∴F，G，B三點共線，

∴MF∥ED，F(xiàn)B∥DC，又MF∩FB＝B，∴平面MBG∥平面EDC，又MB平面MBG，

∴MB∥平面EDC，又MB平面ABE，且平面ABE∩平面CDE＝l，

∴BM∥l；

（2）如圖，由題意知AC⊥BD，又平面EAC⊥平面ABCD，過E作EO垂直AC于點O，則EO⊥平面ABCD，

又∠ACE＝60°，CE＝1，∴OE＝CEsin60°＝，OC＝CEcos60°＝＝，∴O為GC的中點，易知四邊形GBCD為一個角為60°的菱形，∴O在BD上，

且AO＝AC﹣OC＝2﹣＝，OD＝OB＝，

分別以直線DB，AC，OE為x，y，z軸建立空間右手直角坐標系，則B（，0，0），C（0，，0），A（0，，0），D（，0，0），E（0，0，），

∴＝（，，0），＝（0，，），＝（，，0），設(shè)平面ADE的一個法向量為：，

則，令，則y＝2，，∴，設(shè)直線BC與平面ADE所成角為θ，

∴sinθ＝＝＝，

∴直線BC與平面ADE所成角的正弦值為．

22．解：（1）∵A（6，0），B（1，5），

∴AB的中點為（，），AB的斜率為＝﹣1，

∴AB的垂直平分線方程為：y﹣＝x﹣，即x﹣y﹣1＝0，

聯(lián)立，解得，

∴圓心C為（3，2），半徑r＝CA＝＝，