山東省青島十五中學(xué)2024屆八上數(shù)學(xué)期末考試試題含解析

山東省青島十五中學(xué)2024屆八上數(shù)學(xué)期末考試試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題（每題4分，共48分）1．如圖，在△ABC與△EMN中，，，∠C=∠M=54°，若∠A=66°，則下列結(jié)論正確的是()A． B．EN=a C．∠E=60° D．∠N=66°2．以下關(guān)于直線的說法正確的是()A．直線與x軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，－4）B．坐標(biāo)為（3，3）的點(diǎn)不在直線上C．直線不經(jīng)過第四象限D(zhuǎn)．函數(shù)的值隨x的增大而減小3．下列一次函數(shù)中，y隨x增大而增大的是（）A．y=﹣3x B．y=x﹣2 C．y=﹣2x+3 D．y=3﹣x4．分式中的字母滿足下列哪個(gè)條件時(shí)分式有意義（）A． B． C． D．5．如圖所示，在矩形ABCD中，垂直于對(duì)角線BD的直線，從點(diǎn)B開始沿著線段BD勻速平移到D．設(shè)直線被矩形所截線段EF的長(zhǎng)度為y，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則y關(guān)于t的函數(shù)的大致圖象是（）A． B． C． D．6．下列因式分解正確的是（）A．x2+2x+1=x(x+2)+1 B．(x2-4)x=x3-4x C．a(chǎn)x+bx=(a+b)x D．m2-2mn+n2=(m+n)27．以下列各組數(shù)據(jù)為邊長(zhǎng)作三角形，其中能組成直角三角形的是（）.A．3，5，3 B．4，6，8 C．7，24，25 D．6，12，138．下列四個(gè)命題中，真命題有（）①兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等．②如果∠1和∠1是對(duì)頂角，那么∠1＝∠1．③三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)內(nèi)角．④如果x1＞2，那么x＞2．A．1個(gè) B．1個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)9．已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0，﹣1)與(﹣2，0)，則不等式kx+b＞0的解集是()A．x＜﹣2 B．x＞﹣2 C．x＜﹣1 D．x＞﹣110．甲從A地到B地要走m小時(shí)，乙從B地到A地要走n小時(shí)，若甲、乙二人同時(shí)從A、B兩地出發(fā)，經(jīng)過幾小時(shí)相遇()A．(m+n)小時(shí) B．小時(shí) C．小時(shí) D．小時(shí)11．如圖，在平行四邊形中，延長(zhǎng)到，使，連接交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．下列結(jié)論①；②；③；④；⑤，其中正確的有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．412．如圖，由8個(gè)全等的小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)大正方形，線段AB的端點(diǎn)都在小長(zhǎng)方形的頂點(diǎn)上，若點(diǎn)C是某個(gè)小長(zhǎng)方形的頂點(diǎn)，連接CA，CB，那么滿足△ABC是等腰三角形的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空題（每題4分，共24分）13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，長(zhǎng)方形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸上：OA＝3，OC＝4，D為OC邊的中點(diǎn)，E是OA邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△BDE的周長(zhǎng)最小時(shí)，E點(diǎn)坐標(biāo)為_____．14．計(jì)算____________．15．已知CD是Rt△ABC的斜邊AB上的中線，若∠A＝35°，則∠BCD＝_____________．16．如圖，邊長(zhǎng)為的等邊中，一動(dòng)點(diǎn)沿從向移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)以同樣的速度從出發(fā)沿的延長(zhǎng)線運(yùn)動(dòng)，連交邊于，作于，則的長(zhǎng)為__________．17．當(dāng)x=______，分式的的值為零。18．三條公路將A、B、C三個(gè)村莊連成一個(gè)如圖的三角形區(qū)域，如果在這個(gè)區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，要使集貿(mào)市場(chǎng)到三條公路的距離相等，那么這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建的位置是_____．三、解答題（共78分）19．（8分）閱讀材料：若，求，的值．解：∵，∴，∴，∴，，∴，．根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：（），則__________，__________．（）已知，求的值．（）已知的三邊長(zhǎng)、、都是正整數(shù)，且滿足，求的周長(zhǎng)．20．（8分）（1）計(jì)算：（a﹣b）（a2+ab+b2）（2）利用所學(xué)知識(shí)以及（1）所得等式，化簡(jiǎn)代數(shù)式21．（8分）如圖，是等邊三角形，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上,且．(1)如圖甲，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求證：(2)如圖乙，若點(diǎn)不的中點(diǎn)，是否成立?證明你的結(jié)論．(3)如圖丙，若點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，試判斷與的大小關(guān)系，并說明理由．22．（10分）閱讀題：在現(xiàn)今“互聯(lián)網(wǎng)+”的時(shí)代，密碼與我們的生活已經(jīng)緊密相連，密不可分，而諸如“123456”、生日等簡(jiǎn)單密碼又容易被破解，因此利用簡(jiǎn)單方法產(chǎn)生一組容易記憶的密碼就很有必要了。有一種用“因式分解”法產(chǎn)生的密碼，方便記憶，其原理是：將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式，如多項(xiàng)式：因式分解的結(jié)果為，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)可以得到數(shù)字密碼1．（1）根據(jù)上述方法，當(dāng)時(shí)，對(duì)于多項(xiàng)式分解因式后可以形成哪些數(shù)字密碼？（寫出三個(gè)）．（2）若一個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)是24，斜邊長(zhǎng)為10，其中兩條直角邊分別為，求出一個(gè)由多項(xiàng)式分解因式后得到的密碼（只需一個(gè)即可）．（3）若多項(xiàng)式因式分解后，利用本題的方法，當(dāng)時(shí)可以得到其中一個(gè)密碼為2434，求的值．23．（10分）某商廈用8萬元購進(jìn)紀(jì)念運(yùn)動(dòng)休閑衫，面市后供不應(yīng)求，商廈又用1．6萬元購進(jìn)了第二批這種襯衫，所購數(shù)量是第一批購進(jìn)數(shù)量的2倍，但單價(jià)貴了8元，商廈銷售這種運(yùn)動(dòng)休閑衫時(shí)每件定價(jià)都是100元，最后剩下的150件按八折銷售，很快售完．（1）商廈第一批和第二批各購進(jìn)休閑衫多少件？（2）請(qǐng)問在這兩筆生意中，商廈共盈利多少元？24．（10分）如圖，直線l1∥l2，直線l3交直線l1于點(diǎn)B，交直線l2于點(diǎn)D，O是線段BD的中點(diǎn)．過點(diǎn)B作BA⊥l2于點(diǎn)A，過點(diǎn)D作DC⊥l1于點(diǎn)C，E是線段BD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，D重合），點(diǎn)E關(guān)于直線AB，AD的對(duì)稱點(diǎn)分別為P，Q，射線PO與射線QD相交于點(diǎn)N，連接PQ．（1）求證：點(diǎn)A是PQ的中點(diǎn)；（2）請(qǐng)判斷線段QN與線段BD是否相等，并說明理由．25．（12分）如圖，ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)E，使∠AEC＝∠DAB．判斷CE與AD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．26．如圖，在四邊形中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，，，垂足為點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．（1）四邊形是平行四邊形嗎？說明理由；（2）求證:；（3）若點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，求證:．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、A【分析】利用，，∠C=∠M=54°證明與全等，利用全等三角形的性質(zhì)可得到答案．【題目詳解】解：在與中，所以：所以B，C，D，都錯(cuò)誤，A正確．故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定方法是關(guān)鍵．2、B【分析】利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出結(jié)論A錯(cuò)誤，把（3，3）代入函數(shù)解析式可得結(jié)論B正確；利用一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系可得出結(jié)論C錯(cuò)誤；利用一次函數(shù)的性質(zhì)可得出結(jié)論D錯(cuò)誤．【題目詳解】解：A、當(dāng)y=0時(shí)，2x-4=0，解得：x=2，∴直線y=2x-4與x軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0），選項(xiàng)A不符合題意；B、當(dāng)x=3時(shí)，y=2x-4=2，∴坐標(biāo)為（3，3）的點(diǎn)不在直線y=2x-4上，選項(xiàng)B符合題意；C、∵k=2＞0，b=-4＜0，∴直線y=2x-4經(jīng)過第一、三、四象限，選項(xiàng)C不符合題意；D、∵k=2＞0，∴函數(shù)y=2x-4的值隨x的增大而增大，選項(xiàng)D不符合題意．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系以及一次函數(shù)的性質(zhì)，逐一判定四個(gè)選項(xiàng)的正誤是解題的關(guān)鍵．3、B【解題分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．【題目詳解】解：A、∵一次函數(shù)y=﹣3x中，k=﹣3＜0，∴此函數(shù)中y隨x增大而減小，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、∵正比例函數(shù)y=x﹣2中，k=1＞0，∴此函數(shù)中y隨x增大而增大，故本選項(xiàng)正確；C、∵正比例函數(shù)y=﹣2x+3中，k=﹣2＜0，∴此函數(shù)中y隨x增大而減小，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、正比例函數(shù)y=3﹣x中，k=﹣1＜0，∴此函數(shù)中y隨x增大而減小，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查的是一次函數(shù)的性質(zhì)，即一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）中，當(dāng)k＞0時(shí)，y隨x的增大而增大，函數(shù)從左到右上升；k＜0，y隨x的增大而減小，函數(shù)從左到右下降．4、B【分析】利用分式有意義的條件是分母不等于零，進(jìn)而求出即可．【題目詳解】x?1≠0時(shí)，分式有意義，即故選B．【題目點(diǎn)撥】此題主要考查了分式有意義的條件，利用分母不等于零求出是解題關(guān)鍵．5、A【解題分析】∵直線l從點(diǎn)B開始沿著線段BD勻速平移到D，∴在B點(diǎn)時(shí)，EF的長(zhǎng)為0，在A點(diǎn)長(zhǎng)度最大，到D點(diǎn)長(zhǎng)為0，∴圖象A符合題意，故選A．6、C【分析】直接利用因式分解法的定義以及提取公因式法和公式法分解因式得出即可．【題目詳解】解：A、x2+2x+1=x（x+2）+1，不是因式分解，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、（x2﹣4）x=x3﹣4x，不是因式分解，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、ax+bx=（a+b）x，是因式分解，故此選項(xiàng)正確；D、m2﹣2mn+n2=（m﹣n）2，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選C．【題目點(diǎn)撥】此題主要考查了提取公因式法和公式法分解因式等知識(shí)，正確把握因式分解的方法是解題關(guān)鍵．7、C【解題分析】試題分析：欲求證是否為直角三角形，這里給出三邊的長(zhǎng)，只要滿足勾股定理的逆定理即可．A、；B、；C、；D、．根據(jù)勾股定理7，24，25能組成直角三角形.故選C．考點(diǎn)：勾股定理的逆定理．8、A【解題分析】利用平行線的性質(zhì)、對(duì)頂角的性質(zhì)、三角形的外角的性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【題目詳解】A、兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等，故A錯(cuò)誤，為假命題；B、如果∠1和∠1是對(duì)頂角，那么∠1=∠1，故B正確，為真命題；C、三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角，故C錯(cuò)誤，為假命題；D、如x=-1時(shí)，x1＞2，但是x<2，故D錯(cuò)誤，為假命題，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解平行線的性質(zhì)、對(duì)頂角的性質(zhì)、三角形的外角的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)知識(shí)，難度不大．9、A【分析】寫出一次函數(shù)圖象在x軸上方所對(duì)應(yīng)的自變量的范圍即可．【題目詳解】解：∵一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，﹣1）與（﹣1，0），∴不等式kx+b＞0的解集為x＜﹣1．故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查關(guān)于一次函數(shù)與一元一次不等式的題目，在解題時(shí)，認(rèn)真體會(huì)一次函數(shù)與一元一次不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系，理解一次函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵．10、D【解題分析】假設(shè)甲、乙經(jīng)過x小時(shí)相遇,令A(yù)、B距離為a,甲從A地到B地要走m小時(shí)，則甲的速度為；乙從B地到A地要走n小時(shí)，則乙的速度為根據(jù)題目中的等量關(guān)系列出方程求解即可.【題目詳解】假設(shè)甲、乙經(jīng)過x小時(shí)相遇,令A(yù)、B距離為a,甲從A地到B地要走m小時(shí)，則甲的速度為；乙從B地到A地要走n小時(shí)，則乙的速度為根據(jù)題意，列方程解得故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查分式方程的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是分析題意，找出題目中的等量關(guān)系.11、B【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和，得到DF是中位線，則，DF=，然后得到，不能得到，，，則正確的只有③⑤，即可得到答案.【題目詳解】解：∵平行四邊形ABCD中，有BC=AD，BC∥AD，又∵，∴DF是△BCE的中位線，∴DF=，，故⑤正確；∴，故③正確；由于題目的條件不夠，不能證明，，，故①②④錯(cuò)誤；∴正確的結(jié)論有2個(gè)；故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和三角形中位線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的性質(zhì)進(jìn)行解題.12、D【分析】根據(jù)等腰三角形的判定即可得到結(jié)論．【題目詳解】解：如圖所示，使△ABP為等腰三角形的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是6，

故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形的判定，正確的找出符合條件的點(diǎn)P是解題的關(guān)鍵．二、填空題（每題4分，共24分）13、(1,0)【分析】本題是典型的“將軍飲馬”問題，只需作D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接D′B交x軸于點(diǎn)E，如圖，則此時(shí)△BDE的周長(zhǎng)最小，易得點(diǎn)B和D′坐標(biāo)，故可利用待定系數(shù)法求出直線BD'的解析式，然后求直線BD'與x軸的交點(diǎn)即得答案．【題目詳解】解：如圖，作D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接D′B交x軸于點(diǎn)E，連接DE，則DE=D′E，此時(shí)△BDE的周長(zhǎng)最小，∵D為CO的中點(diǎn)，∴CD＝OD＝2，∵D和D′關(guān)于x軸對(duì)稱，∴D′（0，﹣2），由題意知：點(diǎn)B（3，4），∴設(shè)直線BD'的解析式為y＝kx+b，把B（3，4），D′（0，﹣2）代入解析式，得：，解得，，∴直線BD'的解析式為y＝2x﹣2，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝1，故E點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）．故答案為：（1，0）．【題目點(diǎn)撥】本題考查的是利用待定系數(shù)法求直線的解析式和兩線段之和最小問題，屬于?？碱}型，熟練掌握求解的方法是解題關(guān)鍵．14、【分析】根據(jù)，進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【題目詳解】====【題目點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的乘除運(yùn)算法則，注意最后結(jié)果化成最簡(jiǎn)二次根式，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．15、55°【分析】這道題可以根據(jù)CD為斜邊AB的中線得出CD=AD，由∠A=35°得出∠A=∠ACD=35°，則∠BCD=90°-35°=55°.【題目詳解】如圖，∵CD為斜邊AB的中線∴CD=AD∵∠A=35°∴∠A=∠ACD=35°∵∠ACD+∠BCD=90°則∠BCD=90°-35°=55°故填：55°.【題目點(diǎn)撥】此題主要考查三角形內(nèi)角度求解，解題的關(guān)鍵是熟知直角三角形的性質(zhì).16、1【分析】作PF∥BC，易證△APF為等邊三角形，可得AE=EF，易證∠Q=∠DPF，即可證明△DPF≌△DQC，可得CD=DF，即可求得DEAC，即可得出結(jié)論．【題目詳解】作PF∥BC交AC于F．∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=60°．∵PF∥BC，∴∠APF=∠B=60°，∠Q=∠DPF，∴∠A=∠APF=60°，∴△APF為等邊三角形，∴PF=AP，∴PF=CQ．∵PE⊥AD，∴AE=EF．在△DPF和△DQC中，∵，∴△DPF≌△DQC(AAS)，∴CD=DF，∴DE=DF+EF=AE+CDAC=1．故答案為：1．【題目點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，證明△DPE≌△DQC是解答本題的關(guān)鍵．17、1.【分析】分式的值為零：分子等于零，且分母不等于零．【題目詳解】解：依題意，得

x-1=2，且x1+1≠2，

解得，x=1．

故答案是：1．【題目點(diǎn)撥】本題考查了分式的值為零的條件．若分式的值為零，需同時(shí)具備兩個(gè)條件：（1）分子為2；（1）分母不為2．這兩個(gè)條件缺一不可．18、∠A、∠B、∠C的角平分線的交點(diǎn)處【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等解答即可．【題目詳解】解：在這個(gè)區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，要使集貿(mào)市場(chǎng)到三條公路的距離相等，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建在∠A、∠B、∠C的角平分線的交點(diǎn)處．故答案為：∠A、∠B、∠C的角平分線的交點(diǎn)處．【題目點(diǎn)撥】本題考查三角形三條角平分線交點(diǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解掌握三角形三條角平分線交點(diǎn)的性質(zhì)．三、解答題（共78分）19、（1）a=－3,b=1;(2)16（3）9【題目詳解】（）∵，∴，∴，∵，，∴，，，；（）∵，∴，∴，∵，，∴，，，，∴，∴；（）∵，∴，∴，∵，，∴，，，，∵，∴，∵，∴，∵、、為正整數(shù)，∴，∴周長(zhǎng)＝．20、（1）a3﹣b3；（2）m+n【分析】（1）根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算即可得；（2）利用（1）種結(jié)果將原式分子、分母因式分解，再約分即可得．【題目詳解】解：（1）原式＝a3+a2b+ab2﹣a2b﹣ab2﹣b3＝a3﹣b3；（2）原式＝＝（m﹣n）?＝m+n．【題目點(diǎn)撥】本題綜合考查了整式乘法及分式的除法，熟練的掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式是解（1）的關(guān)鍵，靈活運(yùn)用（1）中結(jié)論及乘法公式因式分解并進(jìn)行約分是解（2）的關(guān)鍵.21、（1）詳見解析；（2）成立，理由詳見解析；（3），證明詳見解析.【分析】（1）根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)即可求得∠DBC的度數(shù)，根據(jù)BD=DE即可解題；

（2）過D作DF∥BC，交AB于F，證△BFD≌△DCE，推出DF=CE，證△ADF是等邊三角形，推出AD=DF，即可得出答案．（3）如圖3，過點(diǎn)D作DP∥BC，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，證明△BPD≌△DCE，得到PD=CE，即可得到AD=CE．【題目詳解】證明:是等邊三角形，為中點(diǎn)，，,;(2)成立，如圖乙，過作，交于,則是等邊三角形，，，，，在和中，即如圖3，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),是等邊三角形，也是等邊三角形，,，在和中，【題目點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)建全等三角形．22、（1）211428，212814或142128；（2）48100；（3）【分析】(1)將分解因式,再進(jìn)行組合即可;(2)將分解因式,再根據(jù)已知得到即可;(3)根據(jù)密碼是2434,得到飲水分解后的結(jié)果,多項(xiàng)式相乘再使各項(xiàng)系數(shù)相等即可解題.【題目詳解】解：（1），當(dāng)時(shí)，，可得數(shù)字密碼是211428；也可以是212814；142128；（寫出一個(gè)即給分）（2）由題意得：，解得，而，所以可得數(shù)字密碼為48100；（3）∵密碼為2434，∴當(dāng)時(shí)，∴，即：，∴，解得.【題目點(diǎn)撥】本題考查了因式分解的應(yīng)用：利用因式分解解決求值問題；利用因式分解解決證明問題；利用因式分解簡(jiǎn)化計(jì)算問題；考查了用類比的方法解決問題.23、（1）第一批購進(jìn)襯衫1000件，第二批購進(jìn)了2000件；（2）在這兩筆生意中，商廈共盈利41000元．【分析】（1）設(shè)第一批購進(jìn)件休閑衫，則第二批購進(jìn)了件，根據(jù)“第二批購進(jìn)的單價(jià)比第一批購進(jìn)的單價(jià)貴了8元”，列出分式方程，即可求解；（2）設(shè)這筆生意盈利元，根據(jù)等量關(guān)系，列出方程，即可求解．【題目詳解】（1）設(shè)第一批購進(jìn)件休閑衫，則第二批購進(jìn)了件，依題意可得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：是方程的解，且符合題意，，答：第一批購進(jìn)襯衫1000件，第二批購進(jìn)了2000件；（2）設(shè)這筆生意盈利元，可列方程為：，解得：．答：在這兩筆生意中，商廈共盈利41000元．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)等量關(guān)系，列出分式方程，是解題的關(guān)鍵．24、（1）見解析；（2）相等，理由見解析【分析】（1）由點(diǎn)E關(guān)于直線AB，AD的對(duì)稱點(diǎn)分別為P，Q，連接AE，PE，QE，根據(jù)對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)的邊和對(duì)應(yīng)的角相等，即AP＝AE，AQ＝AE，∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根據(jù)垂直的性質(zhì)得出∠2＋∠3＝90°，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，即P，A，Q三點(diǎn)在同一條直線上，根據(jù)中點(diǎn)的定義得出結(jié)論．（2）連接PB，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)得到BP＝BE，DQ＝DE，∠5＝∠6，∠7＝∠8，根據(jù)垂直的性質(zhì)∠7＋∠9＝90°，∠8＋∠10＝90°，得∠9＝∠10，由平行的性質(zhì)得∠6＝∠9從而得到∠OBP＝∠ODN，易證明△BOP≌△DON得到BP＝DN，BE＝DN，等量轉(zhuǎn)換得到QN＝BD．【題目詳解】解：（1）連接AE，PE，QE，如圖∵點(diǎn)E關(guān)于直線AB，AD的對(duì)稱點(diǎn)分別為P，Q∴AP＝AE，AQ＝AE，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴AP＝AQ∵AB⊥l2，∴∠2＋∠3＝90°∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°∴P，A，Q三點(diǎn)在同一條直線上∴點(diǎn)A是PQ的中點(diǎn)．（2）QN＝BD，理由如下：連接PB∵點(diǎn)E關(guān)于直線AB，AD的對(duì)稱點(diǎn)分別為P，Q∴BP＝BE，DQ＝DE，∠5＝∠6，∠7＝∠8∵l1//l2，DC⊥l1，∴DC⊥l2，∴∠7＋∠9＝90°，∴∠8＋∠10＝90°，∴∠9＝∠10又∵AB⊥l2，DC⊥l2，∴AB//CD∴∠6＝∠9，∴∠5＋∠6＝∠9＋∠10即∠OBP＝∠ODN∵O是線段BD的中點(diǎn)，∴OB＝OD在△BOP和△DON中∴△BOP≌△DON∴BP＝DN，∴BE＝DN∴QN＝DQ＋DN＝DE＋BE＝BD【題目點(diǎn)撥】本題考查了對(duì)稱點(diǎn)，平行線的性質(zhì)和判定，三角形全等的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用的輔助線構(gòu)造全等三角形解決問題．25、CE＝2AD，證明詳見解析【分析】延長(zhǎng)AD至點(diǎn)N使DN＝AD，AN交CE于點(diǎn)M，連接CN，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到MA＝ME，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠