高考數(shù)學(xué)經(jīng)典二級(jí)結(jié)論解讀與應(yīng)用訓(xùn)練：專(zhuān)題12 圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題（解析版）

結(jié)論十二：圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題結(jié)論1.在橢圓E:x2a2(1)如圖①所示,若直線y=kx(k≠0)與橢圓E交于A,B兩點(diǎn),過(guò)A,B兩點(diǎn)作橢圓的切線l,l',有l(wèi)∥l',設(shè)其斜率為k0,則k0·k=-b2(2)如圖②所示,若直線y=kx與橢圓E交于A,B兩點(diǎn),P為橢圓上異于A,B的點(diǎn),若直線PA,PB的斜率存在,且分別為k1,k2,則k1·k2=-b2(3)如圖③所示,若直線y=kx+m(k≠0且m≠0)與橢圓E交于A,B兩點(diǎn),P為弦AB的中點(diǎn),設(shè)直線PO的斜率為k0,則k0·k=-b22.在雙曲線E:x2a2(1)k0·k=b2a2.(2)k1·k2=b2a解讀這些結(jié)論中的第（1）（3）個(gè)可以利用“點(diǎn)差法”來(lái)完成：①設(shè)出弦的兩端點(diǎn)的坐標(biāo)；②代入圓錐曲線方程；③兩式相減，在用平方差公式展開(kāi)；④整理、轉(zhuǎn)化為弦所在直線的斜率與弦中點(diǎn)和原點(diǎn)連線的斜率的關(guān)系，然后求解．典例已知雙曲線，斜率為的直線交雙曲線于、，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若的斜率為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．解析【答案】A【詳解】設(shè)點(diǎn)、，則，由題意，得，，兩式相減，得，整理得，所以，因此，雙曲線的離心率為反思本題先設(shè)點(diǎn)、，利用點(diǎn)差法求得，進(jìn)而可得出雙曲線的離心率為，即可得解.主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線與雙曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題．求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過(guò)已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；（3）特殊值法：通過(guò)取特殊位置或特殊值，求得離心率.針對(duì)訓(xùn)練*舉一反三1．已知拋物線，過(guò)其焦點(diǎn)且斜率為的直交拋物線于?兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，焦點(diǎn)坐標(biāo)是，則直線的方程是，與拋物線方程聯(lián)立得，，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，所以，得，所以該拋物線方程，則準(zhǔn)線方程.2．已知橢圓，點(diǎn)為右焦點(diǎn)，為上頂點(diǎn)，平行于的直線交橢圓于，兩點(diǎn)且線段的中點(diǎn)為，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)，直線的斜率為，則，所以，由線段的中點(diǎn)為，所以所以，又，所以，又，所以，∴.3．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，虛軸的上端點(diǎn)為，點(diǎn)，在雙曲線上，且點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，，雙曲線的離心率為，則（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解法一：由題意知，，則.設(shè)，，則兩式相減，得.因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，所以，，又，所以，整理得，所以，即，得.解法二：由題意知，，則.設(shè)直線的方程為，即，代人雙曲線方程，得.設(shè)，，則，所以，又，所以，整理得，所以，即，得，則4．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓的方程為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)，則，，則，兩式相減得：，∴===，又==，∴，聯(lián)立，得.∴橢圓方程為.5．設(shè)橢圓的方程為1，直線AB不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，而且與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)．若直線AB的斜率為1，則直線OM的斜率不可能是（）A． B． C． D．﹣1【答案】D【解析】設(shè),則,又,即.故.即又,故,因?yàn)?故.6．已知直線與圓交于、兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)，則.試用類(lèi)比思想，對(duì)橢圓寫(xiě)出結(jié)論：______.【答案】若橢圓與直線交于、兩點(diǎn)，是線段中點(diǎn)，則【解析】由類(lèi)比思想，可知橢圓與直線交于、兩點(diǎn)，是線段中點(diǎn).設(shè)點(diǎn)，，，中點(diǎn)則，即，將，兩點(diǎn)代入橢圓中，，上下兩式相減得，即，所以即8．已知為拋物線的一條長(zhǎng)度為8的弦，當(dāng)弦的中點(diǎn)離軸最近時(shí)，直線的斜率為_(kāi)__________.【答案】【詳解】由題意得拋物線的準(zhǔn)線方程為：，過(guò)作于，過(guò)作于，設(shè)弦的中點(diǎn)為，過(guò)作于，則，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，則，即(當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立)，所以，解得，即弦的中點(diǎn)到軸的最短距離為：，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，，，，，，∴所以直線的斜率，∴，此時(shí)，當(dāng)弦的中點(diǎn)離軸最近時(shí)，直線的斜率為，9．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，虛軸的上端點(diǎn)為，點(diǎn)，為上兩點(diǎn)，點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，且，記雙曲線的離心率為，則______．【答案】【詳解】解法一由題意知，，則．設(shè)，，則兩式相減，得．因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，所以，，又，所以，整理得，所以，得，得．解法二由題意知，，則．設(shè)直線的方程為，即，代入