人教版五年級數(shù)學(xué)上冊【課本】5年級第22講-物不知數(shù)與同余

第二十二講物不知數(shù)與同余----------------------------------------------------------------------------------故事中的余數(shù)問題就是我們今天要研究的“物不知數(shù)”問題，也稱為中國古余數(shù)問題．簡單來說，這類問題就是先知道了除數(shù)和余數(shù)，反求被除數(shù)的問題．通常在不同的題目中，余數(shù)限制條件的數(shù)量也是不同的，但都是從一個(gè)條件入手，逐個(gè)條件的去滿足．------------------------------------------------------------------------------------例題1．（1）一個(gè)數(shù)除以21余17，除以20也余17．這個(gè)數(shù)最小是多少？第二小是多少？

（2）一個(gè)數(shù)除以11余7，除以10余6．這個(gè)數(shù)最小是多少？第二小是多少？「分析」（1）這個(gè)數(shù)除以21和20都余17，那么減去17以后得到的差跟21和20有什么關(guān)系呢：（2）除以11和10的余數(shù)不一樣，所以不能同時(shí)減去一個(gè)數(shù)了．反方向考慮一下？練習(xí)1．（1）一個(gè)自然數(shù)除以4余3，除以5也余3，這個(gè)自然數(shù)最小是多少？（2）一個(gè)自然數(shù)除以5余1，除以7余3，這個(gè)自然數(shù)最小是多少？例題2．（1）一個(gè)三位數(shù)除以8余3，除以12也余3．這個(gè)三位數(shù)最小是多少？

（2）一個(gè)三位數(shù)除以6余1，除以10余5．這個(gè)三位數(shù)最小是多少？「分析」看起來和例題1沒有太多區(qū)別．不過要小心哦，8和12的最小公倍數(shù)是嗎？練習(xí)2．一個(gè)三位數(shù)除以4余3，除以6也余3．這個(gè)三位數(shù)最大是多少？例題3．（1）一個(gè)數(shù)除以7余2，除以11余1．這個(gè)數(shù)最小是多少？

（2）有一隊(duì)解放軍戰(zhàn)士，人數(shù)在150人到200人之間，從第一個(gè)開始依次按1，2，3，，9的順序報(bào)數(shù)，最后一名戰(zhàn)士報(bào)的數(shù)是3；如果按1，2，3，，7的順序報(bào)數(shù)，最后一名戰(zhàn)士報(bào)的數(shù)是4．請問：一共有多少名戰(zhàn)士？「分析」所求自然數(shù)要滿足兩個(gè)余數(shù)條件，直接處理并不容易，但我們可以先讓它滿足其中一個(gè)余數(shù)條件，在此前提下滿足另一個(gè)余數(shù)條件．練習(xí)3．一個(gè)三位數(shù)除以5余2，除以7余3．這個(gè)三位數(shù)最小是多少？

如果兩個(gè)數(shù)除以同一個(gè)數(shù)，所得的余數(shù)相同，我們稱這兩個(gè)數(shù)同余．例如195除以9余6，15除以9也余6，我們就說“195和15除以9同余”．我們之前總結(jié)的余數(shù)性質(zhì)以及余數(shù)的可替代性都是在同余的前提下進(jìn)行的，例如195與它的數(shù)字和除以9是同余的，1135與它的末兩位數(shù)字除以4是同余的．而處理余數(shù)問題的方法，除了用余數(shù)性質(zhì)、余數(shù)可替代性以及分解求余幾種方法以外，我們還有一個(gè)極其有用的手段：轉(zhuǎn)化成整除問題！195與15除以9的時(shí)候同余，則是9的倍數(shù)；1135與35除以4的時(shí)候同余，則是4的倍數(shù)．也就是說：如果兩個(gè)數(shù)除以第三個(gè)數(shù)余數(shù)相同，則這兩個(gè)數(shù)的差能被第三個(gè)數(shù)整除．反之亦然．---------------------------------------------------------------------------------------例題4．（1）1024除以一個(gè)兩位數(shù)，余數(shù)為23，那么這個(gè)兩位數(shù)可能是多少？（2）100和84除以同一個(gè)數(shù)，得到的余數(shù)相同，但余數(shù)不為0．這個(gè)除數(shù)可能是多少？「分析」（1）由，被除數(shù)是1024，余數(shù)是23，說明除數(shù)和商要滿足什么條件？（2）利用同余的定義就可以解決這個(gè)問題．練習(xí)4．（1）用150除以一個(gè)整數(shù)，所得余數(shù)是15，請問：這個(gè)除數(shù)可能是多少？（2）80和56除以同一個(gè)數(shù)，得到的余數(shù)相同，但余數(shù)不為0．這個(gè)除數(shù)可能是多少？例題5．劉叔叔養(yǎng)了400多只兔子．如果每3只兔子關(guān)在一個(gè)籠子里，那么最后一個(gè)籠子里有2只；如果每5只兔子關(guān)在一個(gè)籠子里，那么最后一個(gè)籠子里也有2只；如果每7只兔子關(guān)在一個(gè)籠子里，那么最后一個(gè)籠子里有5只．請問：劉叔叔一共養(yǎng)了多少只兔子？「分析」兔子數(shù)量要滿足哪些余數(shù)條件？例題6．把63個(gè)蘋果，90個(gè)桔子，130個(gè)梨平均分給一些同學(xué)，最后一共剩下25個(gè)水果沒有分出去．請問：剩下個(gè)數(shù)最多的水果剩下多少個(gè)？「分析」這些同學(xué)一共分了多少個(gè)水果？人數(shù)和分掉的水果數(shù)有什么關(guān)系？

未來的數(shù)學(xué)家——節(jié)選自《怎樣解題》喬治·波利亞未來的數(shù)學(xué)家應(yīng)該是一個(gè)聰明的解題者，但僅僅做一個(gè)聰明的解題者是不夠的．在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候，他應(yīng)該去解答重大的數(shù)學(xué)題目，而首先他應(yīng)該搞清楚他的天資特別適合于哪種類型的題目．對他來說，工作中最重要的那部分就是回去再看一下完整的解答．通過考察他的工作過程和最后的解答形式，他會(huì)發(fā)現(xiàn)要認(rèn)識的東西真是千變?nèi)f化，層出不窮．他可以深思題目的困難之處及決定性的觀念，他可以嘗試去了解是什么阻礙了他，又是什么最后幫助了他．他可以注意尋找簡單直觀的念頭：你能一眼就看出它來嗎？他可以比較和發(fā)展各種方法：你能以不同的方式推導(dǎo)這個(gè)結(jié)果嗎？他可以嘗試通過將當(dāng)前的題目和以前的解過的題目作比較以使當(dāng)前的題目更加清晰．他可以嘗試創(chuàng)造一些新題目，而這些新題目可以根據(jù)他剛剛完成的工作解答出來：你能在別的什么題目中利用這個(gè)結(jié)果或這種方法嗎？如果他對解答過的題目盡可能地完全消化吸收，他就可以獲得井然有序的知識，以備今后隨時(shí)調(diào)用．和其他所有人一樣，未來的數(shù)學(xué)家通過模仿和練習(xí)來學(xué)習(xí)．他應(yīng)該注意尋找正確的模范；他應(yīng)該覺察到一個(gè)能激勵(lì)人心的教師；他應(yīng)該和一位能干的朋友競賽．然后，可能最重要的是，他不僅應(yīng)該閱讀通用的教材，還應(yīng)閱讀優(yōu)秀作者的作品，直到他找到一個(gè)作者，其方式是他天生傾向于模仿的．他應(yīng)該欣賞和尋求在他看來簡單的或有啟發(fā)性的或美的東西．他應(yīng)該解題，選擇適合他思路的那些題目，思考它們的解答，并創(chuàng)造新的題目．他應(yīng)該通過這些方法及所有其他方法來努力做出他的第一個(gè)重大發(fā)現(xiàn)：他應(yīng)該發(fā)現(xiàn)自己的好惡、趣味以及自己的思路．陶哲軒（1975-）澳籍華裔數(shù)學(xué)家，“菲爾茲”獎(jiǎng)獲得者．13歲成為國際奧林匹克數(shù)學(xué)金牌得主．20歲獲得普林斯頓大學(xué)博士學(xué)位．24歲成為加利福尼亞大學(xué)洛杉磯分校有史以來最年輕的正教授．2006年，31歲時(shí)獲得數(shù)學(xué)界的諾貝爾獎(jiǎng)“菲爾茲”獎(jiǎng)．目前已發(fā)表超過230篇學(xué)術(shù)論文．在小于50的數(shù)中，與67除以1