人教版五年級數(shù)學上冊【課本】5年級第22講-物不知數(shù)與同余

第二十二講物不知數(shù)與同余----------------------------------------------------------------------------------故事中的余數(shù)問題就是我們今天要研究的“物不知數(shù)”問題，也稱為中國古余數(shù)問題．簡單來說，這類問題就是先知道了除數(shù)和余數(shù)，反求被除數(shù)的問題．通常在不同的題目中，余數(shù)限制條件的數(shù)量也是不同的，但都是從一個條件入手，逐個條件的去滿足．------------------------------------------------------------------------------------例題1．（1）一個數(shù)除以21余17，除以20也余17．這個數(shù)最小是多少？第二小是多少？

（2）一個數(shù)除以11余7，除以10余6．這個數(shù)最小是多少？第二小是多少？「分析」（1）這個數(shù)除以21和20都余17，那么減去17以后得到的差跟21和20有什么關系呢：（2）除以11和10的余數(shù)不一樣，所以不能同時減去一個數(shù)了．反方向考慮一下？練習1．（1）一個自然數(shù)除以4余3，除以5也余3，這個自然數(shù)最小是多少？（2）一個自然數(shù)除以5余1，除以7余3，這個自然數(shù)最小是多少？例題2．（1）一個三位數(shù)除以8余3，除以12也余3．這個三位數(shù)最小是多少？

（2）一個三位數(shù)除以6余1，除以10余5．這個三位數(shù)最小是多少？「分析」看起來和例題1沒有太多區(qū)別．不過要小心哦，8和12的最小公倍數(shù)是嗎？練習2．一個三位數(shù)除以4余3，除以6也余3．這個三位數(shù)最大是多少？例題3．（1）一個數(shù)除以7余2，除以11余1．這個數(shù)最小是多少？

（2）有一隊解放軍戰(zhàn)士，人數(shù)在150人到200人之間，從第一個開始依次按1，2，3，，9的順序報數(shù)，最后一名戰(zhàn)士報的數(shù)是3；如果按1，2，3，，7的順序報數(shù)，最后一名戰(zhàn)士報的數(shù)是4．請問：一共有多少名戰(zhàn)士？「分析」所求自然數(shù)要滿足兩個余數(shù)條件，直接處理并不容易，但我們可以先讓它滿足其中一個余數(shù)條件，在此前提下滿足另一個余數(shù)條件．練習3．一個三位數(shù)除以5余2，除以7余3．這個三位數(shù)最小是多少？

如果兩個數(shù)除以同一個數(shù)，所得的余數(shù)相同，我們稱這兩個數(shù)同余．例如195除以9余6，15除以9也余6，我們就說“195和15除以9同余”．我們之前總結的余數(shù)性質以及余數(shù)的可替代性都是在同余的前提下進行的，例如195與它的數(shù)字和除以9是同余的，1135與它的末兩位數(shù)字除以4是同余的．而處理余數(shù)問題的方法，除了用余數(shù)性質、余數(shù)可替代性以及分解求余幾種方法以外，我們還有一個極其有用的手段：轉化成整除問題！195與15除以9的時候同余，則是9的倍數(shù)；1135與35除以4的時候同余，則是4的倍數(shù)．也就是說：如果兩個數(shù)除以第三個數(shù)余數(shù)相同，則這兩個數(shù)的差能被第三個數(shù)整除．反之亦然．---------------------------------------------------------------------------------------例題4．（1）1024除以一個兩位數(shù)，余數(shù)為23，那么這個兩位數(shù)可能是多少？（2）100和84除以同一個數(shù)，得到的余數(shù)相同，但余數(shù)不為0．這個除數(shù)可能是多少？「分析」（1）由，被除數(shù)是1024，余數(shù)是23，說明除數(shù)和商要滿足什么條件？（2）利用同余的定義就可以解決這個問題．練習4．（1）用150除以一個整數(shù)，所得余數(shù)是15，請問：這個除數(shù)可能是多少？（2）80和56除以同一個數(shù)，得到的余數(shù)相同，但余數(shù)不為0．這個除數(shù)可能是多少？例題5．劉叔叔養(yǎng)了400多只兔子．如果每3只兔子關在一個籠子里，那么最后一個籠子里有2只；如果每5只兔子關在一個籠子里，那么最后一個籠子里也有2只；如果每7只兔子關在一個籠子里，那么最后一個籠子里有5只．請問：劉叔叔一共養(yǎng)了多少只兔子？「分析」兔子數(shù)量要滿足哪些余數(shù)條件？例題6．把63個蘋果，90個桔子，130個梨平均分給一些同學，最后一共剩下25個水果沒有分出去．請問：剩下個數(shù)最多的水果剩下多少個？「分析」這些同學一共分了多少個水果？人數(shù)和分掉的水果數(shù)有什么關系？

未來的數(shù)學家——節(jié)選自《怎樣解題》喬治·波利亞未來的數(shù)學家應該是一個聰明的解題者，但僅僅做一個聰明的解題者是不夠的．在適當?shù)臅r候，他應該去解答重大的數(shù)學題目，而首先他應該搞清楚他的天資特別適合于哪種類型的題目．對他來說，工作中最重要的那部分就是回去再看一下完整的解答．通過考察他的工作過程和最后的解答形式，他會發(fā)現(xiàn)要認識的東西真是千變萬化，層出不窮．他可以深思題目的困難之處及決定性的觀念，他可以嘗試去了解是什么阻礙了他，又是什么最后幫助了他．他可以注意尋找簡單直觀的念頭：你能一眼就看出它來嗎？他可以比較和發(fā)展各種方法：你能以不同的方式推導這個結果嗎？他可以嘗試通過將當前的題目和以前的解過的題目作比較以使當前的題目更加清晰．他可以嘗試創(chuàng)造一些新題目，而這些新題目可以根據(jù)他剛剛完成的工作解答出來：你能在別的什么題目中利用這個結果或這種方法嗎？如果他對解答過的題目盡可能地完全消化吸收，他就可以獲得井然有序的知識，以備今后隨時調用．和其他所有人一樣，未來的數(shù)學家通過模仿和練習來學習．他應該注意尋找正確的模范；他應該覺察到一個能激勵人心的教師；他應該和一位能干的朋友競賽．然后，可能最重要的是，他不僅應該閱讀通用的教材，還應閱讀優(yōu)秀作者的作品，直到他找到一個作者，其方式是他天生傾向于模仿的．他應該欣賞和尋求在他看來簡單的或有啟發(fā)性的或美的東西．他應該解題，選擇適合他思路的那些題目，思考它們的解答，并創(chuàng)造新的題目．他應該通過這些方法及所有其他方法來努力做出他的第一個重大發(fā)現(xiàn)：他應該發(fā)現(xiàn)自己的好惡、趣味以及自己的思路．陶哲軒（1975-）澳籍華裔數(shù)學家，“菲爾茲”獎獲得者．13歲成為國際奧林匹克數(shù)學金牌得主．20歲獲得普林斯頓大學博士學位．24歲成為加利福尼亞大學洛杉磯分校有史以來最年輕的正教授．2006年，31歲時獲得數(shù)學界的諾貝爾獎“菲爾茲”獎．目前已發(fā)表超過230篇學術論文．在小于50的數(shù)中，與67除以1