中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及相關(guān)典型題目

PAGEPAGE1二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)題型一、定義：一般地，如果是常數(shù)，，那么叫做的二次函數(shù).例：已知關(guān)于x的函數(shù)）當(dāng)a,b,c滿足什么條件時(shí)（1）是一次函數(shù)（2）是正比例函數(shù)（3）是二次函數(shù)二、二次函數(shù)是常數(shù)，的性質(zhì)（1）①當(dāng)時(shí)拋物線開(kāi)口向上頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)拋物線開(kāi)口向下頂點(diǎn)為其最高點(diǎn).③｜｜越大，開(kāi)口越小。（2）頂點(diǎn)是，對(duì)稱軸是直線（3）①當(dāng)時(shí)，在對(duì)稱軸左邊，y隨x的增大而減??；在在對(duì)稱軸右邊，y隨x的增大而增大；②當(dāng)時(shí)，在對(duì)稱軸左邊，y隨x的增大而增大；在在對(duì)稱軸右邊，y隨x的增大而減小。（4）軸與拋物線得交點(diǎn)為(0,)例：1、（四川重慶，7，4分）已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是()A．a(chǎn)>0B．b＜0C．c＜0D．a(chǎn)＋b＋c>0練習(xí)：1、（山東威海，7，3分）二次函數(shù)的圖象如圖所示．當(dāng)y＜0時(shí)，自變量x的取值范圍是（）．A．－1＜x＜3 B．x＜－1 C．x＞3 D．x＜－1或x＞32、（湖北孝感，12，3分）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與y軸正半軸相交，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為，下列結(jié)論：①ac＜0；②a+b=0；③4ac－b2=4a；④a+b+c＜0.其中正確的個(gè)數(shù)是（）A.1B.2C.3D.三、求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法（1）公式法：，頂點(diǎn)是，對(duì)稱軸是直線.（2）配方法：的頂點(diǎn)為(,)，對(duì)稱軸是直線.(3)利用交點(diǎn)式求對(duì)稱軸及頂點(diǎn)：，對(duì)稱軸為例1、求下列各拋物線的頂點(diǎn)和對(duì)稱軸：（1）（2）（3）例2、（江蘇淮安，14，3分）拋物線y=x2-2x-3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是.四、拋物線的平移方法1：計(jì)算機(jī)兩條拋物線的頂點(diǎn)，由頂點(diǎn)判定平移情況方法2：將函數(shù)換成頂點(diǎn)式，用口決“（x）左加右減，上加下減”例1、拋物線經(jīng)過(guò)怎樣平移得到例2、（四川樂(lè)山5，3分）將拋物線向左平移2個(gè)單位后，得到的拋物線的解析式是（）A．B．C．D．例3、（重慶江津）將拋物線y=x2－2x向上平移3個(gè)單位,再向右平移4個(gè)單位等到的拋物線是_______.練習(xí)：1、拋物線經(jīng)過(guò)怎樣平移得到2、拋物線向左平移2個(gè)單位，再向上移3個(gè)單位得到，求b和c。3、（山東濱州）拋物線可以由拋物線平移得到,則下列平移過(guò)程正確的是()A.先向左平移2個(gè)單位,再向上平移3個(gè)單位B.先向左平移2個(gè)單位,再向下平移3個(gè)單位C.先向右平移2個(gè)單位,再向下平移3個(gè)單位D.先向右平移2個(gè)單位,再向上平移3個(gè)單位五、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式（1）一般式：.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)、的值，通常選擇一般式.（2）頂點(diǎn)式：.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式.（3）交點(diǎn)式：已知圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、，通常選用交點(diǎn)式：.(4)一般式與頂點(diǎn)式的變換例：1、根據(jù)已知條件確定下列函數(shù)的解析式：（1）已知拋物線過(guò)（2）已知拋物線的頂點(diǎn)在x軸上，且過(guò)點(diǎn)（1，0）、（－2，4）；（3）已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（－2，0），過(guò)點(diǎn)（1，4）例2、將練習(xí)：1、將2、將二次函數(shù)化為的形式，則例1、將二次函數(shù)的圖形畫在坐標(biāo)平面上，判斷方程式的兩根，下列敘述何者正確？（）A．兩根相異，且均為正根B．兩根相異，且只有一個(gè)正根C．兩根相同，且為正根D．兩根相同，且為負(fù)根七、與一元二次方程的關(guān)系>0＝0<0方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根拋物物與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)拋物物與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)拋物物與x軸沒(méi)有交點(diǎn)韋達(dá)定理：（二者都可以用）例2、.拋物線與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，則AB的長(zhǎng)為，三角形ABC的面積是。練習(xí)：1.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，－1）．求這個(gè)二次函數(shù)的解析式，并判斷該函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．2.（湖北襄陽(yáng)）已知函數(shù)的圖象與x軸有交點(diǎn)，則k的取值范圍是（）A. B. C.且 D.且3、（廣東東莞，15，6分）已知拋物線與x軸有交點(diǎn)．(1)求c的取值范圍；(2)試確定直線y＝cx+l經(jīng)過(guò)的象限，并說(shuō)明理由．八、二次函數(shù)的應(yīng)用1、求是常數(shù)，最大值或最小值①，函數(shù)有最小值為頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，此時(shí)x等于頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)；②，函數(shù)有最大值為頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，此時(shí)x等于頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)。2、面積問(wèn)題，主要利用各種圖形的面積公式，如三角形面積＝底3、利潤(rùn)問(wèn)題：利潤(rùn)＝銷量（售價(jià)－進(jìn)價(jià)）－其他4、拱橋問(wèn)題例1、二次函數(shù)有（）A．最大值B．最小值C．最大值D．最小值例2、一塊矩形耕地大小尺寸如圖所示（單位：m），要在這塊土地上沿東西方向挖一條水渠，沿南北方向挖兩條水渠，水渠的寬為x（m），余下的可耕地面積為y（）。請(qǐng)你寫出y與x之間的解析式；根據(jù)你寫出的函數(shù)解析式，當(dāng)水渠的寬度為1m時(shí)，余下的可耕地面積為多少？若余下的耕地面積為4408，求此時(shí)水渠的寬度。例3、某商場(chǎng)以每件30元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)，這種商品每天的銷量m（件）與每件的銷售價(jià)x(元)滿足一次函數(shù)：m=162-3x.寫出商場(chǎng)賣這種商品每天的銷售利潤(rùn)y與每件的銷售價(jià)x間的函數(shù)關(guān)系式；如果商場(chǎng)要想每天獲得最大銷售利潤(rùn)，每件商品的定價(jià)為多少最合適？最大銷售利潤(rùn)為多少？練習(xí)：1、某商店經(jīng)銷一種銷售成本為每千克40元的水產(chǎn)品。據(jù)市場(chǎng)分析，若按每千克50元銷售，一個(gè)月能售出500千克；銷售單價(jià)每漲1元，月銷售量就減少10千克，針對(duì)這種水產(chǎn)品的銷售情況，請(qǐng)解答下列問(wèn)題:當(dāng)銷售單價(jià)定為每千克55元時(shí)，計(jì)算月銷售量和月銷售利潤(rùn)；設(shè)銷售單價(jià)為每千克X元，月銷售利潤(rùn)為Y元，求Y與X的函數(shù)關(guān)系式(不必寫出X的取值范圍）；商店想在月銷售成本不超過(guò)10000元的情況下，使得月銷售利潤(rùn)達(dá)到8000元，銷售單價(jià)應(yīng)定為多少？2、盧浦大橋拱形可以近似看作拋物線的一部分．在大橋截面1∶11000的比例圖上，跨度AB＝5cm，拱高OC＝0.9cm，線段DE表示大橋拱內(nèi)橋長(zhǎng)，DE∥AB，如圖（1）．在比例圖上，以直線AB為x軸，拋物線的對(duì)稱軸為y軸，以（1）求出圖（2）上以這一部分拋物線為圖象的函數(shù)解析式，寫出函數(shù)定義域；（2）如果DE與AB的距離OM＝0.45cm，求盧浦大橋拱內(nèi)實(shí)際橋長(zhǎng)（備用數(shù)據(jù)：，計(jì)算結(jié)果精確到1米）．3、.如圖6，一單杠高2.2m，兩立柱之間的距離為1.6m，將一根繩子的兩端拴于立柱與橫杠結(jié)合處，繩子自然下垂呈拋物線形狀，一身高0.7m的小孩站在離左邊立柱0.4m處，其頭部剛好觸到繩子，求繩子最低點(diǎn)到地面的距離。 附表.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開(kāi)口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)當(dāng)時(shí)開(kāi)口向上當(dāng)時(shí)開(kāi)口向下（軸）（0,0）（軸）(0,)(,0)(,)()解析答案二次函數(shù)一、定義：一般地，如果是常數(shù)，，那么叫做的二次函數(shù).例：已知關(guān)于x的函數(shù)）當(dāng)a,b,c滿足什么條件時(shí)（1）是一次函數(shù)（2）是正比例函數(shù)（3）是二次函數(shù)yxO二、二次函數(shù)是常數(shù)，的性質(zhì)yxO（1）①當(dāng)時(shí)拋物線開(kāi)口向上頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)拋物線開(kāi)口向下頂點(diǎn)為其最高點(diǎn).③｜｜越大，開(kāi)口越小。（2）頂點(diǎn)是，對(duì)稱軸是直線（3）①當(dāng)時(shí)，在對(duì)稱軸左邊，y隨x的增大而減小；在在對(duì)稱軸右邊，y隨x的增大而增大；②當(dāng)時(shí)，在對(duì)稱軸左邊，y隨x的增大而增大；在在對(duì)稱軸右邊，y隨x的增大而減小。（4）軸與拋物線得交點(diǎn)為(0,)例：1、（2011四川重慶，7，4分）已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是()A．a(chǎn)>0B．b＜0C．c＜0D．a(chǎn)＋b＋c>0練習(xí)：1、（山東威海，7，3分）二次函數(shù)的圖象如圖所示．當(dāng)y＜0時(shí)，自變量x的取值范圍是（）．A．－1＜x＜3 B．x＜－1 C．x＞3 D．x＜－1或x＞32、（湖北孝感，12，3分）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與y軸正半軸相交，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為，下列結(jié)論：①ac＜0；②a+b=0；③4ac－b2=4a；④a+b+c＜0.其中正確的個(gè)數(shù)是（）A.1B.2C.3D.4三、求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法（1）公式法：，頂點(diǎn)是，對(duì)稱軸是直線.（2）配方法：的頂點(diǎn)為(,)，對(duì)稱軸是直線.(3)利用交點(diǎn)式求對(duì)稱軸及頂點(diǎn)：，對(duì)稱軸為例1、求下列各拋物線的頂點(diǎn)和對(duì)稱軸：（1）（2）（3）例2、（江蘇淮安，14，3分）拋物線y=x2-2x-3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是.四、拋物線的平移方法1：計(jì)算機(jī)兩條拋物線的頂點(diǎn)，由頂點(diǎn)判定平移情況方法2：將函數(shù)換成頂點(diǎn)式，用口決“（x）左加右減，上加下減”例1、拋物線經(jīng)過(guò)怎樣平移得到例2、（四川樂(lè)山5，3分）將拋物線向左平移2個(gè)單位后，得到的拋物線的解析式是（A）A．B．C．D．例3、（2011重慶江津，18，4分）將拋物線y=x2－2x向上平移3個(gè)單位,再向右平移4個(gè)單位等到的拋物線是_______.（y=(x-5)2+2或y=x2-10x+27）練習(xí)：1、拋物線經(jīng)過(guò)怎樣平移得到2、拋物線向左平移2個(gè)單位，再向上移3個(gè)單位得到，求b和c。3、（2011山東濱州，7，3分）拋物線可以由拋物線平移得到,則下列平移過(guò)程正確的是(B)A.先向左平移2個(gè)單位,再向上平移3個(gè)單位B.先向左平移2個(gè)單位,再向下平移3個(gè)單位C.先向右平移2個(gè)單位,再向下平移3個(gè)單位D.先向右平移2個(gè)單位,再向上平移3個(gè)單位五、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式（1）一般式：.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)、的值，通常選擇一般式.（2）頂點(diǎn)式：.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式.（3）交點(diǎn)式：已知圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、，通常選用交點(diǎn)式：.(4)一般式與頂點(diǎn)式的變換例：1、根據(jù)已知條件確定下列函數(shù)的解析式：（1）已知拋物線過(guò)（2）已知拋物線的頂點(diǎn)在x軸上，且過(guò)點(diǎn)（1，0）、（－2，4）；（3）已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（－2，0），過(guò)點(diǎn)（1，4）例2、將（）練習(xí)：1、將2、（2011山東濟(jì)寧，12，3分）將二次函數(shù)化為的形式，則（）七、與一元二次方程的關(guān)系>0＝0<0方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根拋物物與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)拋物物與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)拋物物與x軸沒(méi)有交點(diǎn)韋達(dá)定理：（二者都可以用）例1、（2011臺(tái)灣臺(tái)北，32）如圖(十四)，將二次函數(shù)的圖形畫在坐標(biāo)平面上，判斷方程式的兩根，下列敘述何者正確？（A）A．兩根相異，且均為正根B．兩根相異，且只有一個(gè)正根C．兩根相同，且為正根D．兩根相同，且為負(fù)根例2、.拋物線與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，則AB的長(zhǎng)為4，三角形ABC的面積是6。練習(xí)：1.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，－1）．求這個(gè)二次函數(shù)的解析式，并判斷該函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．（，兩個(gè)交點(diǎn)）2.（2011湖北襄陽(yáng)，12，3分）已知函數(shù)的圖象與x軸有交點(diǎn)，則k的取值范圍是（B）A. B. C.且 D.且3、（2011廣東東莞，15，6分）已知拋物線與x軸有交點(diǎn)．(1)求c的取值范圍；(2)試確定直線y＝cx+l經(jīng)過(guò)的象限，并說(shuō)明理由．八、二次函數(shù)的應(yīng)用1、求是常數(shù)，最大值或最小值①，函數(shù)有最小值為頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，此時(shí)x等于頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)；②，函數(shù)有最大值為頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，此時(shí)x等于頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)。2、面積問(wèn)題，主要利用各種圖形的面積公式，如三角形面積＝底3、利潤(rùn)問(wèn)題：利潤(rùn)＝銷量（售價(jià)－進(jìn)價(jià)）－其他4、拱橋問(wèn)題例1、（2011廣東肇慶，10，3分）二次函數(shù)有（D）A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值例2、一塊矩形耕地大小尺寸如圖所示（單位：m），要在這塊土地上沿東西方向挖一條水渠，沿南北方向挖兩條水渠，水渠的寬為x（m），余下的可耕地面積為y（）。請(qǐng)你寫出y與x之間的解析式；根據(jù)你寫出的函數(shù)解析式，當(dāng)水渠的寬度為1m時(shí)，余下的可耕地面積為多少？若余下的耕地面積為4408，求此時(shí)水渠的寬度。例3、某商場(chǎng)以每件30元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)，這種商品每天的銷量m（件）與每件的銷售價(jià)x(元)滿足一次函數(shù)：m=162-3x.寫出商場(chǎng)賣這種商品每天的銷售利潤(rùn)y與每件的銷售價(jià)x間的函數(shù)關(guān)系式；如果商場(chǎng)要想每天獲得最大銷售利潤(rùn)，每件商品的定價(jià)為多少最合適？最大銷售利潤(rùn)為多少？練習(xí)：1、某商店經(jīng)銷一種銷售成本為每千克40元的水產(chǎn)品。據(jù)市場(chǎng)分析，若按每千克50元銷售，一個(gè)月能售出500千克；銷售單價(jià)每漲1元，月銷售量就減少10千克，針對(duì)這種水產(chǎn)品的銷售情況，請(qǐng)解答下列問(wèn)題:當(dāng)銷售單價(jià)定為每千克55元時(shí)，計(jì)算月銷售量和月銷售利潤(rùn)；設(shè)銷售單價(jià)為每千克X元，月銷售利潤(rùn)為Y元，求Y與X的函數(shù)關(guān)系式(不必寫出X的取值范圍）；商店想在月銷售成本不超過(guò)10000元的情況下，使得月銷售利潤(rùn)達(dá)到8000元，銷售單價(jià)應(yīng)定為多少？2、盧浦大橋拱形可以近似看作拋物線的一部分．在大橋截面1∶11000的比例圖上，跨度AB＝5cm，拱高OC＝0.9cm，線段DE表示大橋拱內(nèi)橋長(zhǎng)，DE∥AB，如圖（1）．在比例圖上，以直線AB為x軸，拋物線的對(duì)稱軸