水力學第二章

水力學主講教師：楊慶、張陵蕾2014年9～12月FP，p，p的特性Euler平衡微分方程：靜水壓強與單位質量力的關系、靜水壓強與力勢函數的關系帕斯卡定律（巴斯加原理）等壓面的概念與性質僅有重力作用水體靜水壓強計算的基本公式pa，p，p′，pkp′=pa+p，pk=pa-p′測壓管原理哪些面是等壓面？標準大氣壓、工程大氣壓、水柱高度、水銀柱高度98kPa=1個工程大氣壓=

10m水柱=736mm水銀柱靜水壓強計算公式，幾何意義，能量意義1章內容簡要回顧靜水壓力、靜水壓強分布圖作用在平面上的靜水總壓力的大小、方向及作用點作用在二向曲面上的靜水總壓力？作用在二向曲面上的靜水總壓力的水平分力的大小、方向與作用線？作用在二向曲面上的靜水總壓力的垂直分力的大小、方向與作用線？壓力體的邊界組成作用在二向曲面上的靜水總壓力的大小、方向、作用線1章內容簡要回顧2液體運動的流束理論了解描述流體運動的兩種方法；理解流動類型和流束與總流等相關概念；掌握總流連續(xù)性方程、能量方程和動量方程及其應用。本章學習基本要求前言實際工程中經常遇到運動狀態(tài)的液體。液體的運動特性可用流速、加速度等一些物理量，即運動要素來表示。水動力學研究運動要素隨時空的變化情況，建立它們之間的關系式，并用這些關系式解決工程上的問題。液體做機械運動遵循物理學及力學中的質量守恒定律、能量守恒定律及動量定律。建立液體運動的基本概念依據流束理論建立方程從質量守恒定律出發(fā)建立水流的連續(xù)性方程從能量守恒出發(fā)建立水流的能量方程從動量定律出發(fā)建立水流的動量方程2.1描述液體運動的兩種方法2.2液體運動的一些基本概念2.3恒定總流的連續(xù)性方程2.4恒定總流的能量方程2.5恒定總流的動量方程2.6量綱分析與π定理目錄2.1.1

拉格朗日法拉格朗日法以研究個別液體質點的運動為基礎，通過對每個液體質點運動規(guī)律的研究來獲得整個液體運動的規(guī)律性。所以這種方法又稱質點系法。液體質點是指具有無限小的體積的液體質量，既不是液體分子，也不同于數學上的空間點（數學空間點既無大小也無質量）。液體質點相對于所研究的宏觀運動而言小得類似一個點，但包含有眾多液體分子。2.1描述液體運動的兩種方法運動軌跡質點速度令質點M

在t0

時刻的空間坐標為(a,b,c)，任意時刻t

的空間坐標為(x,y,z)，則有：同理可得出質點運動的加速度。由于液體的易變形性，每個液體質點的運動要素都隨時間連續(xù)變化，且與相鄰質點有關。因此，用拉格朗日坐標描述液體質點群運動的數學方程將非常復雜，以致無法求解。使得這一方法的應用受到很大限制。2.1.2

歐拉法歐拉法是以考察不同液體質點通過固定的空間點的運動情況來了解整個流動空間的流動情況，即著眼于研究各種運動要素的分布場，所以這種方法又叫做流場法。歐拉法著眼于空間點，將液體運動要素表示為空間位置和時間的連續(xù)函數。令任意時刻t

任意空間點(x,y,z)上液體質點的流速為ux,uy,uz，則有：2.1描述液體運動的兩種方法若令t為常數，x，y，z為變數，則可求得在同一時刻，通過不同空間點上的液體質點的流速的分布情況（即流速場）。若令上式中x，y，z為常數，t為變數，即可求得在某一固定空間點上液體質點在不同時刻通過該點的流速的變化情況。同一液體質點，經過時間dt

從某一空間點移動到另一點，質點的流速和空間位置(x,y,z)都是時間t

的函數其它運動要素也可類似地表示為空間坐標和時間的函數。2.1描述液體運動的兩種方法拉格朗日法歐拉法著眼點流體質點設法描述每一個液體質點自始至終的運動過程空間點設法描述每一個空間點上液體質點運動隨時間變化的規(guī)律數學方程及求解加速度是二階導數運動方程是二階偏微分方程組（還需考慮與相鄰質點的關系）加速度是一階導數運動方程是一階偏微分方程組液體運動要素測量需求追蹤液體質點運動軌跡測量固定空間點液體質點運動狀況恒定流流場中任何空間點上所有的運動要素都不隨時間而改變。任意空間點上，無論哪個液體質點通過，其運動要素均不變。運動要素僅僅是空間坐標的連續(xù)函數，而與時間無關。非恒定流：流場中任何點上有任何一個運動要素是隨時間而變化的。2.2液體運動的一些基本概念2.2.1恒定流與非恒定流恒定流時，所有的運動要素對于時間的偏導數應等于零：水位不變天然河流中的洪水，是典型的非恒定流。工程實踐中，對于運動要素隨時間變化較小的流動，常簡化成恒定流，以方便求解。水位變化2.2液體運動的一些基本概念2.2.2流線與跡線拉格朗日法研究個別液體質點在不同時刻的運動情況引出跡線概念某一液體質點在運動過程中，不同時刻所流經的空間點而連成的線稱為跡線，即液體質點運動時所走過的軌跡線。歐拉法考察同一時刻液體質點在不同空間位置的運動情況引出流線概念是某一瞬時在流場中繪出的一條光滑曲線，在該曲線上所有各點的速度向量都與該曲線相切。跡線：某一液體質點在運動過程中，不同時刻所流經的空間點而連成的線稱為跡線，即液體質點運動時所走過的軌跡線。流線：是某一瞬時在流場中繪出的一條光滑曲線，在該曲線

上所有各點的速度向量都與該曲線相切。drawingflowline2.2液體運動的一些基本概念流線的基本特性恒定流時，流線的形狀和位置不隨時間而改變恒定流時液體質點運動的跡線與流線相重合流線不能相交流線不能是折線2.2液體運動的一些基本概念2.2.3.1流管在水流中任意一微分面積dA

，通過該面積的周界上的每一個點，均可作一根流線，這樣就構成一個封閉的管狀曲面，稱為流管。2.2.3微小流束與總流2.2.3.2微小流束充滿以流管為邊界的一束液流，稱為微小流束。微小流束的性質：微小流束內外液體不會發(fā)生交換；

恒定流微小流束的形狀和位置不會隨時間而改變，非恒定流時將隨時間改變；

橫斷面上各點的流速和壓強可看作是相等的。(因為微小)2.2液體運動的一些基本概念2.2.3.3總流任何一個實際水流都具有一定規(guī)模的邊界，這種有一定大小尺寸的實際水流稱為總流。總流可以看作是由無限多個微小流束所組成。2.2液體運動的一些基本概念2.2.3.4過水斷面與微小流束或總流的流線成正交的橫斷面稱為過水斷面。該面積dA

或A稱為過水斷面面積，單位m2。注意：過水斷面可為平面也可為曲面。2.2液體運動的一些基本概念2.2.3.5流量單位時間內通過某一過水斷面的液體體積稱為流量。流量常用的單位為m3/s，用符號

Q

表示。微小流束流量總流流量2.2液體運動的一些基本概念2.2.3.6斷面平均流速總流過水斷面上的平均流速v

，是一個想象的流速，如果過水斷面上各點的流速都相等并等于

v，此時所通過的流量與實際上流速為不均勻分布時所通過的流量相等，則流速

v就稱為斷面平均流速。由此可見，通過總流過水斷面的流量等于斷面平均流速與過水斷面面積的乘積，也即過水斷面上各點水流均以同一平均流速運動。引入斷面平均流速的概念，可以使水流運動的分析得到簡化。2.2液體運動的一些基本概念若水流中任一點的運動要素只與一個空間自變量有關，這種水流稱為一元流或一維流動（1D）。流場中任何點的流速和兩個空間自變量有關，此種水流稱為二元流或二維流動（2D）

。若水流中任一點的流速，與三個空間位置變量有關，這種水流稱為三元流或三維流動（3D）

。微小流束為一元流；過水斷面上各點的流速用斷面平均流速代替的總流也可視為一元流；寬直矩形明渠為二元流；大部分水流的運動為三元流。2.2液體運動的一些基本概念2.2.4一元流、二元流、三元流液流運動過程中遵循質量守恒定律，連續(xù)性方程是質量守恒定律的一種特殊方式。根據質量守恒定律在dt

時段內流入的質量應與流出的質量相等。取恒定流中微小流束，對不可壓縮的連續(xù)介質，有2.3恒定總流的連續(xù)性方程不可壓縮液體恒定一元流微小流束的連續(xù)性方程為對總流過水斷面積分得即為恒定總流的連續(xù)性方程。變形可得上式表明在不可壓縮液體恒定總流中，任意兩個過水斷面平均流速的大小與過水斷面面積成反比，斷面大的地方流速小，斷面小的地方流速大。

連續(xù)性方程總結和反映了水流的過水斷面面積與斷面平均流速沿流程變化的規(guī)律。例題

一三通管如圖所示，其中兩支管直徑d1=15cm，d2=20cm，已知主管流量Q=0.14m3/s，兩支管的斷面平均流速相等，求兩支管的流量Q1和Q2。2.4.1理想液體恒定流微小流束的能量方程連續(xù)性方程說明了流速與過水斷面的關系，是運動學方程。水流能量方程則是從動力學的觀點討論水流各運動要素之間的關系，是能量守恒定律在水流運動中的具體表現。首先討論理想液體恒定流微小流束的受力關系。2.4恒定總流的能量方程在理想液體恒定流中取一微小流束，并截取1-1和2-2斷面間的長為ds

，斷面面積為dA

的微分流段進行研究。微分流段受到的外力有：重力、動水壓力對微分流段沿s

方向應用牛頓第二定律，有1-1斷面動水壓力：2-2斷面動水壓力：重力沿s方向分力為：由于沿微小流束的運動是一元流，流速僅與流程坐標有關，故有代入上式并整理可得：將上式沿流程s積分得：對微小流束上的任意兩個過水斷面有：

上式表明：在理想液體恒定流情況下，微小流束內不同的過水斷面上，單位重量液體所具有的機械能保持相等。上式即為理想液體恒定流微小流束的能量方程，又稱伯努利（Bernoulli）方程。在恒定總流中任取一微小流束進行研究。微小流束兩端的過水斷面分別是1-1、2-2，其面積分別是dA1、dA2，面積形心至基準面的高程分別是z1、z2。兩個過水斷面的流速u1、u2和動水壓強p1、p2均為均勻分布。動能定律：運動物體在某時段內動能的增量，等于各外力對物體

所作功之和。即：經過時間dt，微小流束從位置1-1至2-2運動到新位置1′-1′至2′-2′。微小流束動能的變化量為：根據質量守恒定律，流段1-1′和2-2′的質量應相等，即：因此作用在微小流束的外力有重力和動水壓力。重力所作的功相當于1-1′流段的液體移動到2-2′位置時的勢能變化，即：動水壓力所作的功為：

整理可得：上式即為理想液體恒定流微小流束的能量方程。盡管推導是針對微小流束應用動能定理進行的，但由于在初始時刻微小流束和控制體積重合，而液體又是恒定流，因此式中的各物理量就是微小流束過水斷面上的值。2.4恒定總流的能量方程2.4.2

實際液體恒定流微小流束的能量方程理想液體沒有粘滯性，無須克服內摩擦力而消耗能量，其機械能保持不變。對實際液體，令單位重量液體從斷面1-1流至斷面2-2所損失的能量為hw′。則1-1斷面與2-2斷面