第十章 雙樣本假設(shè)檢驗(yàn)及區(qū)間估計-社會統(tǒng)計學(xué)

第十章雙樣本假設(shè)檢驗(yàn)及區(qū)間估計我們在掌握了單樣本檢驗(yàn)與估計的有關(guān)方法與原理之后，把視野投向雙樣本檢驗(yàn)與估計是很自然的。雙樣本統(tǒng)計，除了有大樣本、小樣本之分外，根據(jù)抽樣之不同，還可分為獨(dú)立樣本與配對樣本。

獨(dú)立樣本,指雙樣本是在兩個總體中相互獨(dú)立地抽取的。配對樣本，指只有一個總體，雙樣本是由于樣本中的個體兩兩匹配成對而產(chǎn)生的。配對樣本相互之間不獨(dú)立。10/25/20231第一節(jié)兩總體大樣本假設(shè)檢驗(yàn)

為了把單樣本檢驗(yàn)推廣到能夠比較兩個樣本的均值的檢驗(yàn)，必須再一次運(yùn)用中心極限定理。下面是一條由中心極限定理推廣而來的重要定理：如果從和兩個總體中分別抽取容量為n1和n2的獨(dú)立隨機(jī)樣本，那么兩個樣本的均值差的抽樣分布就是。與單樣本的情況相同，在大樣本的情況下(兩個樣本的容量都超過50)，這個定理可以推廣應(yīng)用于任何具有均值μ1和μ2以及方差和

的兩個總體。當(dāng)n1和n2逐漸變大時，的抽樣分布像前面那樣將接近正態(tài)分布。10/25/202321．大樣本均值差檢驗(yàn)

（1）零假設(shè)：（2）備擇假設(shè)：單側(cè)雙側(cè)或（3）否定域：單側(cè)雙側(cè)（4）檢驗(yàn)統(tǒng)計量（5）比較判定10/25/20233對均值差異進(jìn)行比較，如果是大樣本就是Z檢驗(yàn)法，小樣本就是t檢驗(yàn)法。二者都同時要求：①樣本是隨機(jī)樣本②每個總體都是正態(tài)分布的③數(shù)據(jù)是定距及以上層次的變量。如果所研究的只有兩個樣本，也可以用方差分析法（analysisofvariance，簡稱ANOVA，也稱為F檢驗(yàn)法）來檢驗(yàn)兩個樣本均值的差異，不一定要按照Z或t檢驗(yàn)法。10/25/20234

[例]為了比較已婚婦女對婚后生活的態(tài)度是否因婚齡而有所差別，將已婚婦女按對婚后生活的態(tài)度分為“滿意”和“不滿意”兩組。從滿意組中隨機(jī)抽取600名婦女，其平均婚齡為8.5年，標(biāo)準(zhǔn)差為2.3年；從不滿意組抽出500名婦女，其平均婚齡為9.2年，標(biāo)準(zhǔn)差2.8年。試問在0.05顯著性水平上兩組是否存在顯著性差異？

樣本人數(shù)均值標(biāo)準(zhǔn)差滿意組6008.52.3不滿意組5009.22.810/25/20235[解]據(jù)題意，“不滿意”組的抽樣結(jié)果為：＝9.2年，S1＝2.8年，n1＝500；“滿意”組的抽樣結(jié)果為：＝8.5年，S2＝2.3年，n2＝600。

H0：μ1―μ2＝D0＝0H1：μ1―μ2≠0計算檢驗(yàn)統(tǒng)計量

確定否定域，因?yàn)棣粒?.05，因而有Zα/2＝1.96＜4.47因此否定零假設(shè)，即可以認(rèn)為在0.05顯著性水平上，婚齡對婦女婚后生活的態(tài)度是有影響的。同時我們看到，由于樣本計算值Z＝4.47遠(yuǎn)大于單側(cè)Z0.05的臨界值1.65，因此本題接受μ1―μ2＞0的備擇假設(shè)，即可以認(rèn)為婦女婚齡長容易對婚后生活產(chǎn)生“不滿意”。

10/25/202362．大樣本成數(shù)差檢驗(yàn)

（1）零假設(shè)：（2）備擇假設(shè)：單側(cè)雙側(cè)或（3）否定域：單側(cè)雙側(cè)（4）檢驗(yàn)統(tǒng)計量其中:

為總體1的樣本成數(shù)

為總體2的樣本成數(shù)。10/25/20237當(dāng)p1和p2未知，須用樣本成數(shù)和進(jìn)行估算時，分以下兩種情況討論：①若零假設(shè)中兩總體成數(shù)的關(guān)系為，這時兩總體可看作成數(shù)P相同的總體，它們的點(diǎn)估計值為

此時上式中檢驗(yàn)統(tǒng)計量Z可簡化為

②若零假設(shè)中兩總體成數(shù)，那么它們的點(diǎn)估計值有

此時上式中檢驗(yàn)統(tǒng)計量Z為（5）判定10/25/20238[例]有一個大學(xué)生的隨機(jī)樣本，按照性格“外向”和“內(nèi)向”，把他們分成兩類。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，新生中有73％屬于“外向”類，四年級學(xué)生中有58％屬于“外向”類。樣本中新生有171名，四年級學(xué)生有117名。試問，在0.01水平上，兩類學(xué)生有無顯著性差異？外向內(nèi)向四年級58%（117）42%一年級73%（171）27%10/25/20239[解]據(jù)題意新生組的抽樣結(jié)果為：

＝0.73，＝0.27，n1＝171四年級學(xué)生組的抽樣結(jié)果為:＝0.58，＝0.42，n2＝117H0：p1―p2＝D0＝0H1：p1―p2＝D0≠0計算檢驗(yàn)統(tǒng)計量確定否定域因?yàn)棣粒?.01，因而有Zα/2＝Z0.005＝2.58＜2.66因而否定零假設(shè)，即可以認(rèn)為在0.01顯著性水平上，兩類學(xué)生在性格上是有差異的。

10/25/202310第二節(jié)兩總體小樣本假設(shè)檢驗(yàn)

與對單總體小樣本假設(shè)檢驗(yàn)一樣，我們對兩總體小樣本假設(shè)檢只討論總體滿足正態(tài)分布的情況。1.小樣本均值差假設(shè)檢驗(yàn)(1)當(dāng)和已知時，小樣本均值差檢驗(yàn)，與上一節(jié)所述大樣本總體均值差檢驗(yàn)完全相同，這里不再贅述。10/25/202311(2)和未知，但假定它們相等時，

關(guān)鍵是要解決

的算式。

現(xiàn)又因?yàn)棣椅粗?，所以要用它的無偏估計量替代它。由于兩個樣本的方差基于不同的樣本容量，因而可以用加權(quán)的方法求出σ的無偏估計量，得

注意，上式的分母上減2，是因?yàn)楦鶕?jù)和計算S1和S2時，分別損失了一個自由度，一共損失了兩個自由度，所以全部自由度的數(shù)目就成為(n1+n2―2)。于是有10/25/202312

這樣，對小樣本正態(tài)總體，和

未知，但σ1＝σ2，其均值差的檢驗(yàn)步驟如下:

（1）零假設(shè)：（2）備擇假設(shè)：單側(cè)雙側(cè)或（3）否定域：單側(cè)雙側(cè)（4）檢驗(yàn)統(tǒng)計量（5）比較判定10/25/202313[例]為研究某地民族間家庭規(guī)模是否有所不同，各做如下獨(dú)立隨機(jī)抽樣：民族A：12戶，平均人口6.8人，標(biāo)準(zhǔn)差1.5人民族B：12戶，平均人口5.3人，標(biāo)準(zhǔn)差0.9人問：能否認(rèn)為A民族的家庭平均人口高于B民族的家庭平均人口（α=0.05）？（假定家庭平均人口服從正態(tài)分布，且方差相等）t=2.97

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(3)和未知，但不能假定它們相等

如果不能假定σ1＝σ2

，那么就不能引進(jìn)共同的σ簡化，也不能計算σ的無偏估計量。現(xiàn)在簡單的做法是用

估計

，用估計

，于是有[例]用上式重新求解前例題。[解]用上式，檢驗(yàn)統(tǒng)計量的計算為

可以看出，求算用(10.8)式和(10.10)式，得出的結(jié)果差別不大。

10/25/2023152．小樣本方差比檢驗(yàn)

在實(shí)際研究中，除了要比較兩總體的均值外，有時還需要比較兩總體的方差。例如對農(nóng)村家庭和城鎮(zhèn)家庭進(jìn)行比較，除了平均收入的比較外，還要用方差比較收入的不平均情況。此外，剛剛在小樣本均值差的檢驗(yàn)中曾談到，當(dāng)方差未知時，往往還假設(shè)兩總體方差相等。因此，在總體方差未知的情況下，先進(jìn)行方差比檢驗(yàn)，對于均值差檢

檢驗(yàn)也是具有一定意義的。設(shè)兩總體分別滿足正態(tài)分布和?，F(xiàn)從這兩個總體中分別獨(dú)立地各抽取一個隨機(jī)樣本，并具有容量n1，n2和方差，。根據(jù)第八章(8.22)式，對兩總體樣本方差的抽樣分布分別有10/25/202316

根據(jù)本書第八章第四節(jié)F分布中的(8.25)式有由于，所以簡化后，檢驗(yàn)方差比所用統(tǒng)計量為當(dāng)零假設(shè)H0：σ1＝σ2時，上式中的統(tǒng)計量又簡化為10/25/202317

這樣一來，小樣本正態(tài)總體方差比檢驗(yàn)的步驟有(1)零假設(shè)H0

：備擇假設(shè)H1

：單側(cè)雙側(cè)

H1

：H1

：

H1

：(2)檢驗(yàn)統(tǒng)計量（）（）

（）

單側(cè)雙側(cè)10/25/202318(3)否定域(參見下圖)單側(cè)Fα（n1―1，n2―1），雙側(cè)Fα/2（n1―1，n2―1）

方差比檢驗(yàn)，比起前面所介紹的檢驗(yàn)有一個不同點(diǎn)，那就是無論是單側(cè)檢驗(yàn)還是雙側(cè)檢驗(yàn)，F(xiàn)的臨界值都只在右側(cè)。其原因是我們總是把和中的較大者放在分子上，以便使用者掌握。因此有≥1或者≥110/25/202319

[例]為了研究男性青年和女性青年兩身高總體的方差是否相等，分別作了獨(dú)立隨機(jī)抽樣。對男性青年樣本有n1＝10，＝30.8(厘米2)；對女性青年樣本有n2＝8，＝27.8(厘米2)，試問在0.05水平上，男性青年身高的方差和女性青年身高的方差有無顯著性差異?10/25/202320

[解]據(jù)題意，對男性青年樣本有n1＝10，＝30.8(厘米2)對女性青年樣本有n2＝8，＝27.8(厘米2)

H0

：H1

：

計算檢驗(yàn)統(tǒng)計量

確定否定域，因?yàn)棣粒?.05，F(xiàn)α/2（n1―1，n2―1）＝F0.025(9,7)＝4.82＞1.08因而不能否定零假設(shè)，即在0.05水平上，我們不能說男性青年身高的方差和女性青年身高的方差有顯著性差異。

10/25/202321第三節(jié)配對樣本的假設(shè)檢驗(yàn)

配對樣本，是兩個樣本的單位兩兩匹配成對，它實(shí)際上只能算作一個樣本，也稱關(guān)聯(lián)樣本。因此對它的檢驗(yàn)，用均值差檢驗(yàn)顯然是不行的。因?yàn)?n個樣本單位(每個樣本n個)不是全部獨(dú)立抽取的。而如果把每一配對當(dāng)作一個單位，在符合其他必要的假定條件下，統(tǒng)計檢驗(yàn)與單樣本檢驗(yàn)相差無幾。10/25/2023221．單一實(shí)驗(yàn)組的假設(shè)檢驗(yàn)

對于單一實(shí)驗(yàn)組這種“前—后”對比型配對樣本的假設(shè)檢驗(yàn)，我們的做法是，不用均值差檢驗(yàn)，而是求出每一對觀察數(shù)據(jù)的差，直接進(jìn)行一對一的比較。如果采用“前測”“后測”兩個總體無差異的零假設(shè)，也就是等于假定實(shí)驗(yàn)刺激無效。于是，問題就轉(zhuǎn)化為每對觀察數(shù)據(jù)差的均值μd＝0的單樣本假設(shè)檢驗(yàn)了。求每一對觀察值的差，直接進(jìn)行一對一的比較。10/25/202323設(shè)配對樣本的樣本單位前測與后測的觀察數(shù)據(jù)分別是X

0i與X

1i，其差記作di

di＝X

1i―X

0i

如果假設(shè)兩總體前測與后測無顯著性差別，即μ1

＝μ0或者。那么對取自這兩個總體的配對大樣本有10/25/202324

對于大樣本，當(dāng)二總體的方差未知時，可以用樣本標(biāo)準(zhǔn)差來近似。

若為小樣本則需用t分布，即對配對(小)樣本而言，其均值差的抽樣分布將服從于自由度為(n—1)的t分布。所以對單一實(shí)驗(yàn)組實(shí)驗(yàn)的假設(shè)檢驗(yàn)，其檢驗(yàn)統(tǒng)計量為

10/25/202325[例]隨機(jī)地選擇13個單位，放映一部描述吸煙有害于身體健康的影片，下表中的數(shù)字是各單位認(rèn)為吸煙有害身體健康的職工的百分比，試在0.05顯著性水平上檢檢驗(yàn)實(shí)驗(yàn)無效的零假設(shè)。10/25/202326[解]零假設(shè)H0：μd＝0

備擇假設(shè)H1：μ1＞μ0

根據(jù)前三式，并參照上表有

計算檢驗(yàn)統(tǒng)計量確定否定域，因?yàn)棣粒?.05，并為單側(cè)檢驗(yàn)，因而有t

0.05(12)＝1.782＜2.76所以否定零假設(shè)，即說明該實(shí)驗(yàn)刺激有效。10/25/202327

練習(xí)

以下是經(jīng)濟(jì)體制改革后，某廠8個車間競爭性測量的比較。問改革后，競爭性有無增加？（取α=0.05）t=3.176

改革后8687569384937579改革前8079589177827466

10/25/2023282．一實(shí)驗(yàn)組與一控制組的假設(shè)檢驗(yàn)單一實(shí)驗(yàn)組實(shí)驗(yàn)的邏輯，是把實(shí)驗(yàn)對象前測后測之間的變化全部歸因于實(shí)驗(yàn)刺激。在社會現(xiàn)實(shí)生活進(jìn)行的實(shí)際實(shí)驗(yàn)中，對象前測后測之間的變化，有時除了受到實(shí)驗(yàn)刺激外，還受到其他社會因素的作用。因而，配對樣本的一實(shí)驗(yàn)組與一控制組之假設(shè)檢驗(yàn)，要設(shè)法把實(shí)驗(yàn)變量的作用和額外變量的作用區(qū)分開來，然后就像對待單一實(shí)驗(yàn)組實(shí)驗(yàn)一樣，把問題轉(zhuǎn)化為零假設(shè)μd＝0的單樣本檢驗(yàn)來處理。

10/25/202329在一實(shí)驗(yàn)組與一控制組的實(shí)驗(yàn)設(shè)計之中，對前測后測之間的變化，消除額外變量影響的基本做法如下：(1)前測：對實(shí)驗(yàn)組與控制組分別度量；(2)實(shí)驗(yàn)刺激：只對實(shí)驗(yàn)組實(shí)行實(shí)驗(yàn)刺激；(3)后測：對實(shí)驗(yàn)組與控制組分別度量；(4)求算消除了額外變量影響之后的di

后測實(shí)驗(yàn)組―前測實(shí)驗(yàn)組＝前測后測差實(shí)驗(yàn)組后測控制組―前測控制組＝前測后測差控制組

實(shí)驗(yàn)效應(yīng)di

＝前測后測差實(shí)驗(yàn)組―前測后測差控制組10/25/202330[例]假定實(shí)施一種新教學(xué)法有助于提高兒童的學(xué)習(xí)成績，現(xiàn)將20名兒童兩兩匹配成對，分成一實(shí)驗(yàn)組與一控制組，然后對實(shí)驗(yàn)組實(shí)施新教學(xué)法兩年，下表列示了控制組與實(shí)驗(yàn)組前測后測的所有10組數(shù)據(jù)，試在0.05顯著性水平上檢驗(yàn)實(shí)驗(yàn)無效的零假設(shè)。10/25/202331[解]零假設(shè)H0：μd＝0,即“實(shí)驗(yàn)無效”

備擇假設(shè)H1：μ1＞μ0

根據(jù)前三式，并參照上表有

計算檢驗(yàn)統(tǒng)計量確定否定域，因?yàn)棣粒?.05，并為單側(cè)檢驗(yàn)，因而有t

0.05(9)＝1.833＜2.13所以