2021年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題試卷及答案

絕密★啟用前

2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。

如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上,

寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)集合A={x|-2<x<4},8={2,3,4,5},則AA8=

A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.{2,3,4}

2.已知z=2—i,則zQ+i）=

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

3.已知圓錐的底面半徑為近，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為

A.2B.2&C.4D.4&

4.下列區(qū)間中，函數(shù)/（x）=7sin（x-巴）單調(diào)遞增的區(qū)間是

6

7TTT3冗3

A.（0,；）B.（不冗）C.（K,—）D.（―,2TT）

2222

22

5.已知"，鳥是橢圓C：5+q=l的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)加在C上，貝力〃與卜|g|的最大值

為

A.13B.12C.9D.6

.sin0（1+sin20）

6.若tan0=-2,則mi-------------=

sin夕+cos。

八6B.二D.9

A.——C.-

5555

7.若過點(diǎn)（a,份可以作曲線y=e，的兩條切線，則

A.eb<aB.e"<bC.0<a<efcD.0<b<

8.有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次

取1個球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是r,乙表示事件”第二次取出的球

的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的

球的數(shù)字之和是7"，則

A.甲與丙相互獨(dú)立B.甲與丁相互獨(dú)立

C.乙與丙相互獨(dú)立D.丙與丁相互獨(dú)立

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.有一組樣本數(shù)據(jù)為,務(wù),…,X,，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)如必，”，其中

yi=x；+c(z=1,2,???,n),c為非零常數(shù)，則

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同

10.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)R(cosa,sina),P2(cos/y,-sin夕)，￡(cos(a+4),sin(a+4))，

A(l,0),則

A.|西|=|西B.|麗|=|南|

c.o鼠OF\=OP\.OP；D.OAOPt=OP^OPy

11.已知點(diǎn)P在圓(x—5)2+(y—5)2=16上,點(diǎn)A(4,0),3(0,2),則

A.點(diǎn)P到直線AB的距離小于10B.點(diǎn)P到直線4?的距離大于2

C.當(dāng)NPB4最小時，|PB|=3四D.當(dāng)ZPS4最大時，\PB\=3>/2

12.在正三棱柱ABC—A4cl中，AB=AAt=1,點(diǎn)尸滿足8戶=%8。+〃8瓦，其中4e[0,l"

/zefOJ],則

A.當(dāng)2=1時，△AgP的周長為定值

B.當(dāng)么=1時，三棱錐P-ABC的體積為定值

C.當(dāng)時，有且僅有一個點(diǎn)P,使得AP，BP

D.當(dāng)〃=g時，有且僅有一個點(diǎn)尸，使得從8人平面A4P

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數(shù)=是偶函數(shù)，則〃=.

14.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：V=2px(p>0)的焦點(diǎn)為尸，P為。上一點(diǎn)，P尸與x軸

垂直，。為x軸上一點(diǎn)，且PQ_LOP.若|FQ|=6,則C的準(zhǔn)線方程為.

15.函數(shù)/(x)=|2x-l|-21nx的最小值為.

16.某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折.規(guī)格

為20dmxl2dm的長方形紙，對折1次共可以得到lOdmx12dm,20dmx6dm兩種規(guī)

格的圖形，它們的面積之和5)=240dm2，對折2次共可以得到5dmxl2dm,10dmx6dm,

20dmx3dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S?=180dm:以此類推.則對折4次共

可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為;如果對折〃次，那么￡&=

k=l

dm2.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（10分）

已知數(shù)列｛可｝滿足4=1,《小=卜+；"然:’

U+2,〃為偶數(shù).

（1）記2=a2n,寫出白，b2,并求數(shù)列出,｝的通項(xiàng)公式；

（2）求｛可｝的前20項(xiàng)和.

18.（12分）

某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有A,B兩類問題.每位參加比賽的同學(xué)先在兩類

問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確

則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問

題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，

否則得。分。

已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8,能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6,且能

正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).

（1）若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；

（2）為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.

19.(12分)

記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知從=ac,點(diǎn)。在邊AC上,

BDsinZABC=asinC.

(1)證明：BD=b；

(2)若AD=2DC,求cos/AfiC.

20.(12分)

如圖，在三棱錐A-88中，平面平面

BCD,AB=AD,O為BC的中點(diǎn).

(1)證明：ft4±CD；

(2)若△08是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)E

在棱4)上，DE=2EA,且二面角E-BC-D的大小

為45。，求三棱錐A-38的體積.

21.(12分)

在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，已知點(diǎn)耳(-而',())，/=；(717,0),點(diǎn)M滿足

\MF,\-\MF2\=2.記M的軌跡為C.

(1)求C的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)7在直線x上，過7的兩條直線分別交C于A,8兩點(diǎn)和P,Q兩點(diǎn)，且

\TA\-\TB\^\TP\-\TQ\,求直線他的斜率與直線P。的斜率之和.

22.(12分)

已知函數(shù)/(x)=x(l-lnx).

(1)討論“X)的單調(diào)性；

(2)設(shè)。，6為兩個不相等的正數(shù)，且61na-aln/?=a—6,證明：2<1+』<e.

ab

絕密★啟用前試卷類型：B

2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)

本試卷共4頁，22小題，滿分150分。考試用時120分鐘。

注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上。

用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼橫貼在答題

卡右上角”條形碼粘貼處”。

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答

案信息點(diǎn)涂黑：如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在

試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目

指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；

不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)集合A={x|-2c<4},B={2,3,4,5},則AA8=()

A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.{2,3,4}

【答案】B

2.已知z=2—i,則z(W+i)=()

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

【答案】C

3.已知圓錐的底面半徑為其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為()

A.2B.2及C.4D.4>/2

【答案】B

4.下列區(qū)間中，函數(shù)〃x)=7sin(x-￡|單調(diào)遞增的區(qū)間是()

【答案】A

5.已知百，鳥是橢圓C：5+?=1的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，則眼/訃明用的最大值為

()

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

6.若tan”-2,則網(wǎng)一2嘰()

sin6+cos。

A.--B.--C.-D.-

5555

【答案】C

7.若過點(diǎn)(a,b)可以作曲線y=e，的兩條切線，則()

A.eh<aB.e"<bC.0<a<ehD.0<h<ea

【答案】D

8.有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次

取1個球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1"，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)

字是2"，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)

字之和是7"，則()

A.甲與丙相互獨(dú)立B.甲與丁相互獨(dú)立

C.乙與丙相互獨(dú)立D.丙與丁相互獨(dú)立

【答案】B

二、選擇題：本題共4小題。每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得()分。

9.有一組樣本數(shù)據(jù)西，々，…，x“，由這組數(shù)據(jù)得到的新樣本數(shù)據(jù)%,丫2,…，然，其中

y=%+c(i=l,2,…,〃)，c為非零常數(shù)，貝！I()

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同

D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同

【答案】CD

10.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)4(cosa,sina),鳥(cos/?,-sin/?),

巴(cos(a+￡),sin(a+￡)),A(l,0),則()

A.網(wǎng)=網(wǎng)B.同=同

C.OAO^=Of>OP2D.麗?西=西西

【答案】AC

11.已知點(diǎn)P在圓(x-5y+(y-5)2=I6上，點(diǎn)A(4,0),8(0,2),則()

A.點(diǎn)尸到直線他的距離小于10

B.點(diǎn)尸到直線他的距離大于2

C.當(dāng)NP54最小時，|P8|=3應(yīng)

D.當(dāng)NP84最大時，|尸8|=3直

【答案】ACD

⑵在正三棱柱A8C-ABC中，=1，點(diǎn)P滿足所5=2豆C+〃方瓦，其中

則()

A.當(dāng)4=1時，AA與P的周長為定值

B.當(dāng)〃=1時，三棱錐P-ABC的體積為定值

C.當(dāng)；1=,時，有且僅有一個點(diǎn)P,使得APLBP

2

D.當(dāng)〃=；時，有且僅有一個點(diǎn)P,使得平面AgP

【答案】BD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數(shù)/(力=丁(。2-2-')是偶函數(shù)，貝Ua=.

【答案】1

14.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：V=2px(p>0)的焦點(diǎn)為為C上一點(diǎn)，尸尸與x軸

垂直，。為x軸上一點(diǎn)，且PQLOP.若|召。|=6,則C的準(zhǔn)線方程為.

【答案】x=--

2

15.函數(shù)/(x)=|2x-1卜21nx的最小值為.

【答案】1

16.某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折.規(guī)格

為20dmxl2dm的長方形紙，對折1次共可以得到10dmxl2dm,20dmx6dm兩種規(guī)

格的圖形，它們的面積之和￡=240dm2,對折2次共可以得到5dmxl2dm,

lOdmx6dm,20dmx3dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S?=180dm?,以此類

推.則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為；如果對折幾次，那么

f&=------------------dm2?

hl

【答案】5,720-240.-

2"

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(10分)

已知數(shù)列⑷滿足4=1,…T篇

[an+2〃為偶數(shù)

(1)記2=%〃，寫出偽，打,并求數(shù)列｛〃｝的通項(xiàng)公式；

(2)求｛〃“｝的前20項(xiàng)和.

【答案】(1)2〃為偶數(shù)，

則/向=4“+2，生“+2=%，，+|+1'

?'烏"+2=%"+3，即％=,+3,且4=g=4+1=2,

.??｛〃,｝是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，

..4=2,4=5，bn=3/?—1.

(2)當(dāng)，為奇數(shù)時,an=an+[-1,

.,.｛%｝的前20項(xiàng)和為

6Z|+Cl2+???+。20

=(4+%+???+%9)+(。2+〃4+???+020)

=[(a2+-1)+,--+(^20-1)]+(a2+tZ4+…+々2。)

=2(%+%+…+〃2())-1°?

由(1)可知,

etc+%+…+々20=b[+歷+…+包)

=2x10+33

2

=155.

.,.{q}的前20項(xiàng)和為2x155—10=300.

18.（12分）

某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有A,8兩類問題.每位參加比賽的同學(xué)先在兩類

問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答

正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)

束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答

正確得80分，否則得0分.

已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8,能正確回答8類問題的概率為0.6,且能正

確回答問題的概率與回答次序無關(guān).

（1）若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；

（2）為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.

【答案】（1）X的取值可能為0,20,100,

P（X=0）=l-0.8=0.2,

P（X=20）=0.8x（l-0.6）=0.32,

P（X=100）=0.8x0.6=0.48,

X的分布列為

X020100

p0.20.320.48

（2）假設(shè)先答5類題，得分為y,

則y可能為o,so,loo,

p（y=0）=l-0.6=0.4,

p(y=80)=0.6x(l-0.8)=0.12,

p(y=100)=0.6x0.8=0.48,

的分布列為

Y080100

P0.40.120.48

.-.￡(y)=0x0.4+80x0.12+100x0.48=57.6,

由(1)可知E(X)=0x0.2+20x0.32+100x0.48=54.4,

.-.￡(y)>￡(x),

應(yīng)先答B(yǎng)類題.

19.(12分)

記AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,已知方=，點(diǎn)。在邊AC上,

BDsinZABC=asinC.

(1)證明：BD=b；

(2)若AD=2￡)C,求ssZABC.

【答案】

ACAB

(1)在AABC中,①，

sinZABCsinC

BDsinZABC=6/sinC，

?BD=a②，

sinCsinZABC

聯(lián)立①②得空=絲，即呢=

BDa

?/h2=ac,

BD=b.

(2)若AD=2DC,

2>22

△ABC中，cosC=+7———③，

2-a-b

△BCD中,④，

?.◎④,

(a2+/?2-C2)=3-b2

整理得"+b2-c2=3a2+--3b2，

3

2a2--b1+C1=0,

3

*/b2=ac，

r3

6a2—1\ac+3c2=0,即。=—或a=—c,

32

,?2

若。=一時，b'=ac=r—,

33

則cosZABC=M+c二一"

2ac

3

72

-c

:9

-2）

-r

3

=-（舍），

6

.3130

右〃=—c，b~=ac=-c~

229

則cosZABC=殳+c=”

7

"121

20.(12分)

如圖，在三棱錐A-BCZ)中，平面AB￡>_L平面8c￡),AB=AD,O是8。的中點(diǎn).

(1)證明：OAVCD-,

(2)若AO8是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱4)上，DE=2EA,且二面角

E-BC-O的大小為45。，求三棱錐A—BCD的體積.

(：

【答案】

AZ

A)’

(1)-：AB=AD,O為BD中點(diǎn),

:.AO±BD,

?.?AOu面ABD,

面ABDI.面38且面面BCD=BD,

.,.AO_L面88,

:.AO±CD.

(2)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，8為y軸，OA為z軸，垂直C?且過O的直線為x軸,

設(shè)0日3°，8(0,—1,0),4(0,0,祖)，

t.,EB=[m\,BC=—,—,0,

I33)t22J

設(shè)〃；=(x,,?,zJ為面EBC法向量,

一一42

EBn.=——y.——mz.=0

,133

8."=日%+|y=o

2yt+mz1=0

XI+6y=0

2

y=1,Z|—----，玉=—^3,

m

勺—[―----),

面3c。法向量為。4=(0,0,相)，

:,OA=\,

?q=—xBDxOA=—x2xl=l

…°4ABD22

^A-BCD=^人身)

21.（12分）

在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知點(diǎn)耳卜J萬,0），瑪（、/萬,0）,點(diǎn)〃滿足

用-|M用=2.記M的軌跡為C.

（1）求C的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)T在直線x=J上，過T的兩條直線分別交C于A,8兩點(diǎn)和P,0兩點(diǎn),

2'

S.\TA\-\TB\=\TP\-\TQ\,求直線AB的斜率與直線尸°的斜率之和.

【答案】（1）?,LITM周=2,

軌跡。為雙曲線右半支，？=17,2a=2,

21

a=1fb=16,

x~—=1(x>0).

⑵設(shè)T]

設(shè)AB：y-n

y-n=kl

聯(lián)立4

,（16—婷+（婷_2攵]"卜_；左；一外+攵/_]6=0,

k}-2k.n

—k；+n~-k,n+16

41