哈密頓原理課件

2.多自由度力學體系的小振動

考慮一個完整、穩(wěn)定、保守的力學體系在平衡位置附近的微小振動，設平衡位置的廣義坐標為零，可以將勢能展為泰勒級數取對保守系略去高級項第1頁/共37頁在穩(wěn)定約束下，動能只是速度的二次函數其中也展開為泰勒級數只取第一項，則為常量慣性系數恢復系數第2頁/共37頁代入拉氏方程，得到解的形式為代入上式，得第3頁/共37頁由上式可求出2s個本征值從而求出2s組解為第4頁/共37頁振動解要求為純虛數，要做到這一點勢能V>0.令上式中叫簡正頻率，共有s個。第5頁/共37頁3.簡正坐標代入拉氏方程得到第6頁/共37頁解出簡正坐標簡正頻率第7頁/共37頁第3章、哈密頓力學1．勒讓德變換稱為主變量，沒有參與變化的稱作輔變量。第8頁/共37頁2．哈密頓正則方程的推導舊函數變換新函數變量函數形式第9頁/共37頁3．對哈氏方程的說明(1)、H函數的物理意義第10頁/共37頁(2)、哈氏正則方程同受理想約束的完整具勢組的拉氏方程是等價的，應用條件都是對慣性系中。4．正則方程中的初積分(1)、廣義能量積分證明：第11頁/共37頁(2)、循環(huán)積分（廣義動量守恒）為循環(huán)坐標，則5．哈氏正則方程中的解題步驟①建立坐標系（慣性系），確定體系的自由度，選取恰當的廣義坐標；②寫出體系的動能及勢能；第12頁/共37頁七、相空間1.定義:由廣義坐標和廣義動量共同構成的2s維空間,稱作相空間,通常又稱作P—q空間.③用表示出哈氏函數④代入正則方程求解。第13頁/共37頁2.相空間與位形空間的區(qū)別位形空間相空間維數s2s功能確定位形位形和運動狀態(tài)空間點遵循的方程拉格朗日方程哈密頓正則方程第14頁/共37頁2．哈密頓正則方程的推導舊函數變換新函數變量函數形式第15頁/共37頁例1、用哈密頓正則方程研究一維諧振子的運動。解：設振子的質量為m，勁度系數為k，沿x軸運動，并且伸長量為x。則其動能和勢能分別為：廣義動量：體系的哈密頓函數：第16頁/共37頁根據哈密頓正則方程可得：第17頁/共37頁例2、軸為豎直而頂點在下的拋物線金屬絲以勻角速度ω繞軸線轉動。另有一質量為m的光滑小環(huán)在金屬絲上并可沿此金屬絲滑動。求小環(huán)的運動微分方程。拋物線的方程為解：取取xoz平面為零勢面，則第18頁/共37頁第19頁/共37頁第20頁/共37頁1.泊松括號設§3.3泊松括號和泊松定理

代入得到其中泊松括號第21頁/共37頁若則反之，若則是正則方程的一個運動積分，因為有第22頁/共37頁定義第23頁/共37頁2.泊松定理利用泊松括號，可以從正則方程的兩個積分，求另一個積分若則利用得到于是第24頁/共37頁復習與回顧1.泊松括號定義設第25頁/共37頁復習與回顧第26頁/共37頁復習與回顧2.泊松定理若于是第27頁/共37頁H不是t的顯函數時，H=h是正則方程的一個積分，若由泊松定理但故依此類推，可得第28頁/共37頁§3.12哈密頓原理

1.變分運算的幾個法則1）2）第29頁/共37頁但是可見一般不能對易。若則等時變分不等時變分第30頁/共37頁2.哈密頓原理

保守的、完整的力學體系在相同時間內，由某一位形轉移到另一位形的一切可能運動中，真實運動的主函數具有穩(wěn)定值。即對于真實運動來講，主函數的變分為零。由拉氏方程可得但第31頁/共37頁因為稱為作用函數或主函數第32頁/