新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第4章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.4對數(shù)函數(shù)4.4.2對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)第1課時對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)一素養(yǎng)作業(yè)新人教A版必修第一冊

第四章4.44.4.2第1課時A組·基礎(chǔ)自測一、選擇題1．函數(shù)f(x)＝的定義域為(D)A．(1，＋∞) B．[2，＋∞)C．(1,2) D．(1,2][解析]要使y＝有意義，則即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1>0，,x－1≤1，))解得1<x≤2，故定義域為(1,2]，故選D.2．函數(shù)y＝log2x在[1,2]上的值域是(D)A．R B．[0，＋∞)C．(－∞，1] D．[0,1][解析]∵1≤x≤2，∴l(xiāng)og21≤log2x≤log22，即0≤y≤1，故選D.3．已知a＝log23，b＝log2e，c＝ln2，則a，b，c的大小關(guān)系是(A)A．a(chǎn)>b>c B．b>a>cC．c>b>a D．c>a>b[解析]a＝log23>b＝log2e>log22＝1，c＝ln2<lne＝1，∴a，b，c的大小關(guān)系為a>b>c.4．已知函數(shù)f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值與最小值之和為a，則a的值為(B)A.eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．2 D．4[解析]函數(shù)f(x)＝ax＋loga(x＋1)，令y1＝ax，y2＝loga(x＋1)，顯然在[0,1]上，y1＝ax與y2＝loga(x＋1)同增或同減，所以[f(x)]max＋[f(x)]min＝f(1)＋f(0)＝a＋loga2＋1＋0＝a，解得a＝eq\f(1,2).故選B.5．(多選題)函數(shù)y＝f(x)是函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的反函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是(ABC)A．f(x2)＝2f(x)B．f(2x)＝f(x)＋f(2)C．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x))＝f(x)－f(2)D．f(2x)＝2f(x)[解析]因為函數(shù)y＝f(x)是函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)的反函數(shù)，所以f(x)＝logax(a>0且a≠1)．所以f(x2)＝logax2＝2logax＝2f(x)，f(2x)＝loga2x＝loga2＋logax＝f(x)＋f(2)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x))＝logaeq\f(1,2)x＝logax－loga2＝f(x)－f(2)．所以選項A、B、C正確．二、填空題6．比較大小：(1)log22_>_log2eq\r(3)；(2)log8π_<_logπ8.[解析](1)因為函數(shù)y＝log2x在(0，＋∞)上是增函數(shù)，且2>eq\r(3)，所以log22>log2eq\r(3).(2)因為函數(shù)y＝log8x為增函數(shù)，且π<8，所以log8π<log88＝1.同理1＝logππ<logπ8，所以log8π<logπ8.7．若函數(shù)y＝4＋loga(2x－1)(a>0，且a≠1)的圖象恒過點A，則點A的坐標為_(1,4)_.[解析]令2x－1＝1，可得x＝1，當x＝1時，y＝4，所以函數(shù)圖象恒過點(1,4)．8．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2xx<1,log2xx≥1))，則f(8)＝_3_，若直線y＝m與函數(shù)f(x)的圖象只有1個交點，則實數(shù)m的取值范圍是_{0}∪[2，＋∞)_.[解析]當x＝8時，f(8)＝log28＝3；作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示，若直線y＝m與函數(shù)f(x)的圖象只有1個交點，由圖象可知，當m≥2或m＝0時滿足條件．三、解答題9．已知函數(shù)f(x)＝lg|x|.(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；(2)畫出函數(shù)f(x)的圖象．[解析](1)要使函數(shù)有意義，x的取值需滿足|x|>0，即函數(shù)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)關(guān)于原點對稱．f(－x)＝lg|－x|＝lg|x|＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)．∴函數(shù)f(x)是偶函數(shù)．(2)由于函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，則其圖象關(guān)于y軸對稱，將函數(shù)y＝lgx(x>0)的圖象對稱到y(tǒng)軸的左側(cè)與函數(shù)y＝lgx(x>0)的圖象合起來得函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示．10．求下列函數(shù)的反函數(shù)．(1)y＝10x；(2)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))x；(3)y＝；(4)y＝log7x.[解析](1)指數(shù)函數(shù)y＝10x，它的底數(shù)是10，它的反函數(shù)是對數(shù)函數(shù)y＝lgx(x>0)．(2)指數(shù)函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))x，它的底數(shù)是eq\f(4,5)，它的反函數(shù)是對數(shù)函數(shù)y＝(x>0)．(3)對數(shù)函數(shù)y＝，它的底數(shù)是eq\f(1,3)，它的反函數(shù)是指數(shù)函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x.(4)對數(shù)函數(shù)y＝log7x，它的底數(shù)是7，它的反函數(shù)是指數(shù)函數(shù)y＝7x.B組·能力提升一、選擇題1．已知a>0，且a≠1，若函數(shù)y＝loga(3a－1)恒為正值，則a的取值范圍是(D)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞)) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))C．(1，＋∞) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))∪(1，＋∞)[解析]當a∈(0,1)時，由y＝loga(3a－1)恒為正值可得0＜3a－1＜1，解得eq\f(1,3)＜a＜eq\f(2,3)；當a＞1時，由y＝loga(3a－1)恒為正值可得3a－1＞1，解得a＞eq\f(2,3)，又因為a＞1，所以a＞1.綜上，a的取值范圍是eq\f(1,3)＜a＜eq\f(2,3)或a＞1.2．已知函數(shù)y＝log2(x2－2kx＋k)的值域為R，則k的取值范圍是(C)A．0<k<1 B．0≤k<1C．k≤0或k≥1 D．k＝0或k≥1[解析]令t＝x2－2kx＋k，由y＝log2(x2－2kx＋k)的值域為R，得函數(shù)t＝x2－2kx＋k的圖象一定恒與x軸有交點，所以Δ＝4k2－4k≥0，即k≤0或k≥1.3．(多選題)在同一坐標系中，f(x)＝kx＋b與g(x)＝logbx的圖象如圖，則下列關(guān)系不正確的是(ABC)A．k<0,0<b<1B．k>0，b>1C．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))g(1)>0(x>0)D．x>1時，f(x)－g(x)>0[解析]由直線方程可知，k>0,0<b<1，故A，B不正確；而g(1)＝0，故C不正確；而當x>1時，g(x)<0，f(x)>0，所以f(x)－g(x)>0，所以D正確．二、填空題4．函數(shù)f(x)＝loga(x＋b)(a>0，且a≠1)的圖象不經(jīng)過第一象限，則a，b的取值范圍分別為_(0,1)_，_[1，＋∞)_.[解析]依題意函數(shù)必須是減函數(shù)，且y＝logax的圖象至少向左平移1個單位長度，故0<a<1，b≥1.5．設(shè)函數(shù)y＝ax的反函數(shù)為f(x)，則f(a＋1)與f(2)的大小關(guān)系是_f(a＋1)>f(2)_.[解析]因為y＝ax的反函數(shù)為f(x)，所以f(x)＝logax.當a>1時，a＋1>2，f(x)＝logax是單調(diào)遞增函數(shù)，則f(a＋1)>f(2)；當0<a<1時，a＋1<2，f(x)＝logax是單調(diào)遞減函數(shù)，則f(a＋1)>f(2)．綜上f(a＋1)>f(2)．三、解答題6．已知函數(shù)y＝f(x)的圖象與g(x)＝logax(a>0，且a≠1)的圖象關(guān)于x軸對稱，且g(x)的圖象過點(9,2)．(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)若f(3x－1)>f(－x＋5)成立，求x的取值范圍．[解析](1)由題意知g(9)＝loga9＝2，解得a＝3，∴g(x)＝log3x.∵函數(shù)y＝f(x)的圖象與g(x)＝log3x的圖象關(guān)于x軸對稱，∴f(x)＝.(2)∵f(3x－1)>f(－x＋5)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－1>0，,－x＋5>0，,3x－1<－x＋5，))解得eq\f(1,3)<x<eq\f(3,2)，即x的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(3,2))).C組·創(chuàng)新拓展若兩個函數(shù)的圖象經(jīng)過平移后能夠重合，則稱兩個函數(shù)為“同形函數(shù)”．給出下列四個函數(shù)：f1(x)＝2log2(x＋1)，f2(x)＝log2(x＋2)，f3(x)＝log2x2，f4(x)＝log2(2x)，則是“同形函數(shù)”的是(A)A．f2(x