浙江省杭州市下城區(qū)啟正中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）

2023-2024學(xué)年浙江省杭州市下城區(qū)啟正中學(xué)九年級（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、單項選擇（每小題3分，共10小題，共30分）1．（3分）已知函數(shù)y＝ax2（a≠0）經(jīng)過點（﹣1，2），則必經(jīng)過點（）A．（1，﹣2） B．（1，2） C．（2，﹣1） D．（2，1）2．（3分）已知⊙O的半徑為6，點A為平面內(nèi)一點，OA＝8，那么點A與⊙O的位置關(guān)系是（）A．點A在⊙O內(nèi) B．點A在⊙O外 C．點A在⊙O上 D．無法確定3．（3分）將拋物線y＝﹣3x2先向右平移4個單位，再向下平移5個單位，所得圖象的解析式為（）A．y＝﹣3（x﹣4）2﹣5 B．y＝﹣3（x+4）2+5 C．y＝﹣3（x﹣4）2+5 D．y＝﹣3（x+4）2﹣54．（3分）以下說法合理的是（）A．小明做了3次擲圖釘?shù)膶嶒?，發(fā)現(xiàn)2次釘尖朝上，由此他說釘尖朝上的概率是 B．某彩票的中獎概率是5%，那么買100張彩票一定有5張中獎 C．某射擊運動員射擊一次只有兩種可能的結(jié)果：中靶與不中靶，所以他擊中靶的概率是 D．小明做了3次擲均勻硬幣的實驗，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他認(rèn)為再擲一次，正面朝上的概率還是5．（3分）已知圓心角為120°的扇形的弧長為6π，該扇形的面積為（）A．18π B．27π C．36π D．54π6．（3分）如圖，⊙O的直徑CD垂直弦AB于點E，且CE＝3，DE＝7，則AB＝（）A．8 B．4 C． D．7．（3分）下列有關(guān)圓的一些結(jié)論，其中正確的是（）A．任意三點可以確定一個圓 B．相等的圓心角所對的弧相等 C．平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧 D．圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)8．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2﹣2mx+m2+2m+1的頂點一定不在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．（3分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD．若∠AOD＝120°，AD＝，則∠CAO的度數(shù)與BC的長分別為（）A．10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°，10．（3分）已知關(guān)于x的函數(shù)y＝（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣2）]（k是常數(shù)），設(shè)k分別取0，1，2時，所對應(yīng)的函數(shù)為y0，y1，y2，以下結(jié)論：①滿足y1＞y2的x取值范圍是﹣1＜x＜1；②不論k取何實數(shù)，y＝（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣2）]的圖象都經(jīng)過點（1，0）和點（﹣1，2）；③當(dāng)x＞1時，滿足y2＞y1＞y0，則以上結(jié)論正確的是（）A．②③ B．①③ C．①② D．①②③二.填空題（每小題4分，共6小題，共24分）11．（4分）二次函數(shù)y＝2x2+bx的對稱軸是直線x＝3，則b＝．12．（4分）一個僅裝有球的不透明布袋里只有6個紅球和n個白球（僅有顏色不同）．若從中任意摸出一個球是紅球的概率為，則n＝．13．（4分）函數(shù)y＝（x+1）2﹣3，當(dāng)x＜﹣2時，y隨x的增大而（填“增大”或“減小”）．14．（4分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于半圓O（點A，B，C，D在半圓O上），AB為⊙O的直徑，且∠ADC＝110°，則∠BAC的度數(shù)為度．15．（4分）已知實數(shù)a，b滿足b﹣a＝1且b≥4，則代數(shù)式a2﹣4b+11的最小值是．16．（4分）已知，AB、BC是半徑為r的⊙O內(nèi)的兩條弦，且AB＝6，BC＝8．若∠ABC＝120°，則半徑r＝．三.解答題（共8小題，共66分）17．（6分）不透明的盒中有4個完全相同的球，球上分別標(biāo)有數(shù)字“1，2，3，4”．（1）若從盒中隨機(jī)取出1個球，取出的球上的數(shù)字是奇數(shù)的概率是；（2）若從盒中取出一個球，記錄球上的數(shù)字后不放回．再從剩下的球中取出一個球，并再次記錄球上的數(shù)字，求兩次數(shù)字的和為偶數(shù)的概率是多少？通過畫樹狀圖或列表法解決．18．（6分）如圖，⊙O中，弦AB與CD相交于點E，AB＝CD，連接AD、BC．求證：AE＝CE．19．（6分）如圖，△ABC位于一平面直角坐標(biāo)系中．（1）畫出將△ABC繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△A1B1C1；（2）在（1）的操作下，求點B經(jīng)過的路徑長．（結(jié)果保留π）20．（8分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+3的圖象經(jīng)過點（﹣3，0），（2，﹣5）．（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）求該二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)；（3）當(dāng)﹣2≤x≤3時，求y的取值范圍．21．（8分）如圖，AB是半圓O的直徑，C、D是半圓O上的兩點，且OD∥BC，OD與AC交于點E．（1）若∠B＝70°，求∠CAD的度數(shù)；（2）若AB＝4，AC＝3，求DE的長．22．（10分）一次足球訓(xùn)練中，小明從球門正前方8m的A處射門，球射向球門的路線呈拋物線．當(dāng)球飛行的水平距離為6m時，球達(dá)到最高點，此時球離地面3m．已知球門高OB為2.44m，現(xiàn)以O(shè)為原點建立如圖所示直角坐標(biāo)系．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并通過計算判斷球能否射進(jìn)球門（忽略其他因素）；（2）對本次訓(xùn)練進(jìn)行分析，若射門路線的形狀、最大高度均保持不變，則當(dāng)時他應(yīng)該帶球向正后方移動多少米射門，才能讓足球經(jīng)過點O正上方2.25m處？23．（10分）如圖，已知AB、CD為⊙O內(nèi)位于圓心兩側(cè)的兩條弦，，過點A作CD的垂線交⊙O于點E．（1）求證：AB∥CD；（2）若AB＝6，CD＝8，AB與CD間的距離為7，求⊙O的半徑長；（3）若在弧AC上取一點F，使得＝，連接DF，求證：DF經(jīng)過圓心O．24．（12分）在二次函數(shù)y＝x2﹣2tx+3（t＞0）中．（1）若它的圖象與x軸有兩個交點，求t的取值范圍；（2）當(dāng)0≤x≤3時，y的最小值為﹣2，求出t的值；（3）如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在這個二次函數(shù)的圖象上，且a＜b＜3．請直接寫出m的取值范圍．2023-2024學(xué)年浙江省杭州市下城區(qū)啟正中學(xué)九年級（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）參考答案與試題解析一、單項選擇（每小題3分，共10小題，共30分）1．（3分）已知函數(shù)y＝ax2（a≠0）經(jīng)過點（﹣1，2），則必經(jīng)過點（）A．（1，﹣2） B．（1，2） C．（2，﹣1） D．（2，1）【分析】利用待定系數(shù)法求得解析式，然后分別代入x＝1、x＝2求得y的值即可判斷．【解答】解：∵函數(shù)y＝ax2（a≠0）經(jīng)過點（﹣1，2），∴a＝2，∴y＝2x2當(dāng)x＝1時，y＝2；當(dāng)x＝2時，y＝8，故函數(shù)圖象必經(jīng)過點（1，2），故選：B．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，求得函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．2．（3分）已知⊙O的半徑為6，點A為平面內(nèi)一點，OA＝8，那么點A與⊙O的位置關(guān)系是（）A．點A在⊙O內(nèi) B．點A在⊙O外 C．點A在⊙O上 D．無法確定【分析】由于點A到圓心的距離8大于圓的半徑6，從而可判斷點A在⊙O外．【解答】解：∵⊙O的半徑為6，OA＝8，∴點A到圓心的距離大于圓的半徑，∴點A在⊙O外．故選：B．【點評】本題考查了點與圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有點P在圓外?d＞r；點P在圓上?d＝r；點P在圓內(nèi)?d＜r．3．（3分）將拋物線y＝﹣3x2先向右平移4個單位，再向下平移5個單位，所得圖象的解析式為（）A．y＝﹣3（x﹣4）2﹣5 B．y＝﹣3（x+4）2+5 C．y＝﹣3（x﹣4）2+5 D．y＝﹣3（x+4）2﹣5【分析】直接利用二次函數(shù)的平移規(guī)律進(jìn)而得出答案．【解答】解：將拋物線y＝﹣3x2先向右平移4個單位，得到：y＝﹣3（x﹣4）2，再向下平移5個單位，所得的圖象解析式是：y＝﹣3（x﹣4）2﹣5．故選：A．【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的幾何變換，正確掌握平移規(guī)律是解題關(guān)鍵．4．（3分）以下說法合理的是（）A．小明做了3次擲圖釘?shù)膶嶒灒l(fā)現(xiàn)2次釘尖朝上，由此他說釘尖朝上的概率是 B．某彩票的中獎概率是5%，那么買100張彩票一定有5張中獎 C．某射擊運動員射擊一次只有兩種可能的結(jié)果：中靶與不中靶，所以他擊中靶的概率是 D．小明做了3次擲均勻硬幣的實驗，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他認(rèn)為再擲一次，正面朝上的概率還是【分析】根據(jù)各個選項中的說法可以判斷是否正確，從而可以解答本題．【解答】解：小明做了3次擲圖釘?shù)膶嶒?，發(fā)現(xiàn)2次釘尖朝上，由此他說釘尖朝上的概率是是錯誤的，3次試驗不能總結(jié)出概率，故選項A錯誤，某彩票的中獎概率是5%，那么買100張彩票可能有5張中獎，但不一定有5張中獎，故選項B錯誤，某射擊運動員射擊一次只有兩種可能的結(jié)果：中靶與不中靶，所以他擊中靶的概率是不正確，中靶與不中靶不是等可能事件，故選項C錯誤，小明做了3次擲均勻硬幣的實驗，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他認(rèn)為再擲一次，正面朝上的可能性是，故選項D正確，故選：D．【點評】本題考查利用頻率估計概率，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，可以判斷各個選項中的說法是否正確．5．（3分）已知圓心角為120°的扇形的弧長為6π，該扇形的面積為（）A．18π B．27π C．36π D．54π【分析】設(shè)扇形的半徑為r．利用弧長公式構(gòu)建方程求出r，再利用扇形的面積公式計算即可．【解答】解：設(shè)扇形的半徑為r．由題意：＝6π，∴r＝9，∴S扇形＝＝27π，故選：B．【點評】本題考查扇形的弧長公式，面積公式等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．6．（3分）如圖，⊙O的直徑CD垂直弦AB于點E，且CE＝3，DE＝7，則AB＝（）A．8 B．4 C． D．【分析】連接OA，如圖，先計算出OC＝OA＝5，OE＝2，再根據(jù)垂徑定理得到AE＝BE，然后利用勾股定理計算出AE，從而得到AB的長．【解答】解：連接OA，如圖，∵CE＝3，DE＝7，∴CD＝10，∴OC＝OA＝5，∴OE＝OC﹣CE＝2，∵AB⊥CD，∴AE＝BE，在Rt△AOE中，AE＝＝，∴AB＝2AE＝2．故選：C．【點評】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，勾股定理，熟記垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧是解題的關(guān)鍵．7．（3分）下列有關(guān)圓的一些結(jié)論，其中正確的是（）A．任意三點可以確定一個圓 B．相等的圓心角所對的弧相等 C．平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧 D．圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)【分析】根據(jù)確定圓的條件、圓心角、弧、弦的關(guān)系定理、垂徑定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可得到正確結(jié)論．【解答】解：A、不共線的三點確定一個圓，故本選項不符合題意；B、在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故本選項不符合題意；C、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故本選項不符合題意；D、圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，故本選項符合題意．故選：D．【點評】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系定理，垂徑定理的推論，半圓與弧的定義，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握定義與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2﹣2mx+m2+2m+1的頂點一定不在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】先將拋物線解析式化為頂點式，然后可以寫出頂點坐標(biāo)，然后利用分類討論的方法可以解答本題．【解答】解：∵拋物線y＝x2﹣2mx+m2+2m+1＝（x﹣m）2+2m+1，∴該拋物線的頂點坐標(biāo)為（m，2m+1），當(dāng)m＞0時，2m+1＞0，此時頂點在第一象限，故選項A不符合題意；當(dāng)﹣＜m＜0時，2m+1＞0，此時頂點在第二象限，故選項B不符合題意；當(dāng)m＜﹣時，2m+1＜0，此時頂點在第三象限，故選項C不符合題意；當(dāng)2m+1＜0時，m＜﹣，故頂點不可能在第四象限，故選項D符合題意；故選：D．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是會將拋物線解析式化為頂點式．9．（3分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD．若∠AOD＝120°，AD＝，則∠CAO的度數(shù)與BC的長分別為（）A．10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°，【分析】由平行線的性質(zhì)，圓周角定理，垂直的定義，推出∠AOB＝∠COD＝90°，∠CAD＝∠BDA＝45°，求出∠BOC＝60°，得到△BOC是等邊三角形，得到BC＝OB，由等腰三角形的性質(zhì)求出圓的半徑長，求出∠OAD的度數(shù)，即可得到BC的長，∠CAO的度數(shù)．【解答】解：連接OB，OC，∵BC∥AD，∴∠DBC＝∠ADB，∴＝，∴∠AOB＝∠COD，∠CAD＝∠BDA，∵DB⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠CAD＝∠BDA＝45°，∴∠AOB＝2∠ADB＝90°，∠COD＝2∠CAD＝90°，∵∠AOD＝120°，∴∠BOC＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等邊三角形，∴BC＝OB，∵OA＝OD，∠AOD＝120°，∴∠OAD＝∠ODA＝30°，∴AD＝OA＝，∴OA＝1，∴BC＝1，∴∠CAO＝∠CAD﹣∠OAD＝45°﹣30°＝15°．故選：C．【點評】本題考查圓周角定理，平行線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是由圓周角定理推出∠AOB＝∠COD＝90°，∠CAD＝∠BDA＝45°，證明△OBC是等邊三角形．10．（3分）已知關(guān)于x的函數(shù)y＝（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣2）]（k是常數(shù)），設(shè)k分別取0，1，2時，所對應(yīng)的函數(shù)為y0，y1，y2，以下結(jié)論：①滿足y1＞y2的x取值范圍是﹣1＜x＜1；②不論k取何實數(shù)，y＝（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣2）]的圖象都經(jīng)過點（1，0）和點（﹣1，2）；③當(dāng)x＞1時，滿足y2＞y1＞y0，則以上結(jié)論正確的是（）A．②③ B．①③ C．①② D．①②③【分析】將k＝0，1，2代入，解不等式可判定①③，經(jīng)過定點（1，0），（﹣1，2）可知k的系數(shù)為0，則可判定②．【解答】解：當(dāng)k分別取0，1，2時，所對應(yīng)的函數(shù)解析式分別為：y0＝﹣x2﹣x+2，y1＝﹣x+1，y2＝x2﹣x，若y1＞y2，則﹣x+1＞x2﹣x，∴x2＜1，即﹣1＜x＜1．則①正確；∵關(guān)于x的函數(shù)y＝（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣2）]＝（x2﹣1）k﹣x2﹣x+2，∴當(dāng)x＝±1時，函數(shù)值與k無關(guān)，即當(dāng)x＝1，y＝0，當(dāng)x＝﹣1，y＝2，∴過定點（1，0），（﹣1，2），則②正確；若﹣x+1＞﹣x2﹣x+2，∴x＞1或x＜﹣1；若x2﹣x＞﹣x+1，∴x＞1或x＜﹣1，∴當(dāng)x＞1時，y2＞y1＞y0，則③正確．故選：D．【點評】本題考查一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，不等式的解法，利用不等式求二次函數(shù)的取值范圍．二.填空題（每小題4分，共6小題，共24分）11．（4分）二次函數(shù)y＝2x2+bx的對稱軸是直線x＝3，則b＝﹣12．【分析】根據(jù)對稱軸公式即可解答．【解答】解：∵二次函數(shù)y＝2x2+bx的對稱軸是直線x＝3，∴x＝﹣＝3，∴b＝﹣12．故答案為：﹣12．【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟悉對稱軸公式是解題的關(guān)鍵．12．（4分）一個僅裝有球的不透明布袋里只有6個紅球和n個白球（僅有顏色不同）．若從中任意摸出一個球是紅球的概率為，則n＝9．【分析】根據(jù)紅球的概率公式，列出方程求解即可．【解答】解：根據(jù)題意，＝，解得n＝9，經(jīng)檢驗n＝9是方程的解．∴n＝9．故答案為：9．【點評】本題考查概率公式，根據(jù)公式列出方程求解則可．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．13．（4分）函數(shù)y＝（x+1）2﹣3，當(dāng)x＜﹣2時，y隨x的增大而減小（填“增大”或“減小”）．【分析】根據(jù)頂點式可求對稱軸，再結(jié)合開口方向判斷增減性．【解答】解：根據(jù)二次函數(shù)解析式為y＝（x+1）2﹣3，可知對稱軸是直線x＝﹣1，又a＝1＞0，拋物線開口向上，所以，當(dāng)x＜﹣2時，y隨x的增大而減?。蚀鸢笧椋簻p小．【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線的增減性是由對稱軸和開口方向確定的，確定開口方向和對稱軸是關(guān)鍵．14．（4分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于半圓O（點A，B，C，D在半圓O上），AB為⊙O的直徑，且∠ADC＝110°，則∠BAC的度數(shù)為20度．【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠ABC，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB＝90°，根據(jù)直角三角形的兩銳角互余計算即可．【解答】解：∵四邊形ABCD為圓O的內(nèi)接四邊形，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∵∠ADC＝110°，∴∠ABC＝180°﹣110°＝70°，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝90°﹣70°＝20°，故答案為：20．【點評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，熟記圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．15．（4分）已知實數(shù)a，b滿足b﹣a＝1且b≥4，則代數(shù)式a2﹣4b+11的最小值是4．【分析】先用a表示b，可將代數(shù)式中的b替換掉，使其僅含有a，再根據(jù)b的取值范圍，得出a的取值范圍便可解決問題．【解答】解：因為b﹣a＝1，所以b＝a+1，則a2﹣4b+11＝a2﹣4（a+1）+11＝（a﹣2）2+3．又b≥4，則a+1≥4，解得a≥3．又當(dāng)a＞2時，代數(shù)式（a﹣2）2+3的值隨a的增大而增大，則當(dāng)a＝3時，代數(shù)式a2﹣4b+11取得最小值為4．故答案為：4．【點評】本題考查二次函數(shù)的最值，能用a表示b，并將含有a的代數(shù)式配成完全平方與一個常數(shù)和的形式是解題的關(guān)鍵．16．（4分）已知，AB、BC是半徑為r的⊙O內(nèi)的兩條弦，且AB＝6，BC＝8．若∠ABC＝120°，則半徑r＝．【分析】如圖，連接OA，OC，在優(yōu)弧上取一點D，連接AD，CD，作OH⊥AC于H，作AE⊥CB交CB的延長線于E．首先證明∠AOC＝120°，解直角三角形求出AC即可解決問題．【解答】解：如圖，連接OA，OC，在優(yōu)弧上取一點D，連接AD，CD，作OH⊥AC于H，作AE⊥CB交CB的延長線于E．∵∠ABC+∠D＝180°，∴∠D＝180°﹣120°＝60°，∴∠AOC＝2∠D＝120°，∵OA＝OC，OH⊥AC，∴∠AOH＝∠COH＝60°，AH＝CH，在Rt△ABE中，∵∠E＝90°，∠ABE＝60°，∴BE＝AB＝3，AE＝BE＝3，∴AC＝＝＝2，∴AH＝，∴OA＝＝，故答案為：．【點評】本題考查解直角三角形，垂徑定理，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考常考題型．三.解答題（共8小題，共66分）17．（6分）不透明的盒中有4個完全相同的球，球上分別標(biāo)有數(shù)字“1，2，3，4”．（1）若從盒中隨機(jī)取出1個球，取出的球上的數(shù)字是奇數(shù)的概率是；（2）若從盒中取出一個球，記錄球上的數(shù)字后不放回．再從剩下的球中取出一個球，并再次記錄球上的數(shù)字，求兩次數(shù)字的和為偶數(shù)的概率是多少？通過畫樹狀圖或列表法解決．【分析】（1）利用概率公式可得答案．（2）畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及兩次數(shù)字的和為偶數(shù)的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）∵數(shù)字“1，2，3，4”中，是奇數(shù)的為1和3，∴從盒中隨機(jī)取出1個球，取出的球上的數(shù)字是奇數(shù)的概率是＝．故答案為：．（2）畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，兩次數(shù)字的和分別為：3，4，5，3，5，6，4，5，7，5，6，7，其中兩次數(shù)字的和為偶數(shù)的結(jié)果有4種，∴兩次數(shù)字的和為偶數(shù)的概率為＝．【點評】本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．18．（6分）如圖，⊙O中，弦AB與CD相交于點E，AB＝CD，連接AD、BC．求證：AE＝CE．【分析】解法一：由AB＝CD知，得AD＝BC，結(jié)合∠ADE＝∠CBE，∠A＝∠C可證△ADE≌△CBE，從而得出答案．解法二：證明△ABC≌△CDA（SSS），得∠BAC＝∠ACD，根據(jù)等角對等邊得AE＝CE．【解答】證明：解法一：∵AB＝CD，∴，即，∴，∴AD＝BC，又∵∠ADE＝∠CBE，∠A＝∠C，∴△ADE≌△CBE（ASA），∴AE＝CE．解法二：連接AC，∵AB＝CD，∴，即，∴，∴AD＝BC，又∵AB＝CD，AC＝CA，∴△ABC≌△CDA（SSS），∴∠BAC＝∠ACD，∴AE＝CE．【點評】本題主要考查圓心角、弧、弦的關(guān)系，在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項“知一推二”，一項相等，其余二項皆相等．19．（6分）如圖，△ABC位于一平面直角坐標(biāo)系中．（1）畫出將△ABC繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△A1B1C1；（2）在（1）的操作下，求點B經(jīng)過的路徑長．（結(jié)果保留π）【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖即可．（2）利用勾股定理求出OB的長，再利用弧長公式計算即可．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求．（2）∵OB＝＝，∴點B經(jīng)過的路徑長為＝．【點評】本題考查作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換、弧長公式，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及弧長公式是解答本題的關(guān)鍵．20．（8分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+3的圖象經(jīng)過點（﹣3，0），（2，﹣5）．（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）求該二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)；（3）當(dāng)﹣2≤x≤3時，求y的取值范圍．【分析】（1）把兩個已知點的坐標(biāo)代入y＝ax2+bx+3中得到關(guān)于a、b的方程組，然后解方程即可；（2）把一般式配成頂點式，從而得到拋物線的頂點坐標(biāo)；（3）分別計算出自變量為﹣2和3所對應(yīng)的二次函數(shù)值，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解．【解答】解：（1）把（﹣3，0），（2，﹣5）分別代入y＝ax2+bx+3得，解得，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴該二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為（﹣1，4）；（3）當(dāng)x＝﹣2時，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，當(dāng)x＝3時，y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣12，當(dāng)x＝﹣1時，y的最大值為4，∴當(dāng)﹣2≤x≤3時，y的取值范圍為﹣12≤y≤4．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．21．（8分）如圖，AB是半圓O的直徑，C、D是半圓O上的兩點，且OD∥BC，OD與AC交于點E．（1）若∠B＝70°，求∠CAD的度數(shù)；（2）若AB＝4，AC＝3，求DE的長．【分析】（1）根據(jù)圓周角定理可得∠ACB＝90°，則∠CAB的度數(shù)即可求得，在等腰△AOD中，根據(jù)等邊對等角求得∠DAO的度數(shù)，則∠CAD即可求得；（2）易證OE是△ABC的中位線，利用中位線定理求得OE的長，則DE即可求得．【解答】解：（1）∵AB是半圓O的直徑，∴∠ACB＝90°，又∵OD∥BC，∴∠AEO＝90°，即OE⊥AC，∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣70°＝20°，∠AOD＝∠B＝70°．∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO＝（180°﹣∠AOD）＝（180°﹣70°）＝55°，∴∠CAD＝∠DAO﹣∠CAB＝55°﹣20°＝35°；（2）在直角△ABC中，BC＝＝＝．∵OE⊥AC，∴AE＝EC，又∵OA＝OB，∴OE＝BC＝．又∵OD＝AB＝2，∴DE＝OD﹣OE＝2﹣．【點評】本題考查了圓周角定理以及三角形的中位線定理，正確證明OE是△ABC的中位線是關(guān)鍵．22．（10分）一次足球訓(xùn)練中，小明從球門正前方8m的A處射門，球射向球門的路線呈拋物線．當(dāng)球飛行的水平距離為6m時，球達(dá)到最高點，此時球離地面3m．已知球門高OB為2.44m，現(xiàn)以O(shè)為原點建立如圖所示直角坐標(biāo)系．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并通過計算判斷球能否射進(jìn)球門（忽略其他因素）；（2）對本次訓(xùn)練進(jìn)行分析，若射門路線的形狀、最大高度均保持不變，則當(dāng)時他應(yīng)該帶球向正后方移動多少米射門，才能讓足球經(jīng)過點O正上方2.25m處？【分析】（1）求出拋物線的頂點坐標(biāo)為（2，3），設(shè)拋物線為y＝a（x﹣2）2+3，用待定系數(shù)法可得y＝﹣（x﹣2）2+3；當(dāng)x＝0時，y＝﹣×4+3＝＞2.44，知球不能射進(jìn)球門．（2）設(shè)小明帶球向正后方移動m米，則移動后的拋物線為y＝﹣（x﹣2﹣m）2+3，把點（0，2.25）代入得m＝﹣5（舍去）或m＝1，即知當(dāng)時他應(yīng)該帶球向正后方移動1米射門，才能讓足球經(jīng)過點O正上方2.25m處．【解答】解：（1）∵8﹣6＝2，∴拋物線的頂點坐標(biāo)為（2，3），設(shè)拋物線為y＝a（x﹣2）2+3，把點A（8，0）代入得：36a+3＝0，解得a＝﹣，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣（x﹣2）2+3；當(dāng)x＝0時，y＝﹣×4+3＝＞2.44，∴球不能射進(jìn)球門．（2）設(shè)小明帶球向正后方移動m米，則移動后的拋物線為y＝﹣（x﹣2﹣m）2+3，把點（0，2.25）代入得：2.25＝﹣（0﹣2﹣m）2+3，解得m＝﹣5（舍去）或m＝1，∴當(dāng)時他應(yīng)該帶球向正后方移動1米射門，才能讓足球經(jīng)過點O正上方2.25m處．【點評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題解決．23．（10分）如圖，已知AB、CD為⊙O內(nèi)位于圓心兩側(cè)的兩條弦，，過點A作CD的垂線交⊙O于點E．（1）求證：AB∥CD；（2）若AB＝6，CD＝8，AB與CD間的距離為7，求⊙O的半徑長；（3）若在弧AC上取一點F，使得＝，連接DF，求證：DF經(jīng)過圓心O．【分析】（1）連接AC、BD，由可得∠ACD＝∠BDC，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠ACD+∠ABD＝180°，可得∠BDC+∠ABD＝180°，即可得AB∥CD；（2）過點O作OH⊥AB于H，延長HO交CD于G，連接OB、OD，根據(jù)垂徑定理得BH＝AB＝3，DG＝CD＝4，設(shè)OH＝x，由AB與CD間的距離為7得OG＝7﹣x，利用勾股定理可得關(guān)于x的方程，解方程求出x，即可得⊙O的半徑長；（3）連接CF，由可得，則∠EAF＝∠AEC，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠AEC+∠AFC＝180°，可得∠EAF+∠AFC＝180°，可得AE∥CF，則FC⊥CD，∠FCD＝90°，即可得DF經(jīng)過圓心O．【解答】（1）證明：連接AC、BD，∵，∴∠ACD＝∠BDC，∵∠ACD+∠ABD＝180°，∴∠BDC+∠ABD＝180°，∴AB∥CD；（2）解：過點O作OH⊥AB于H，延長HO交CD于G，連接OB、OD，∵AB∥CD，∴OH⊥CD，∴BH＝AB＝3，DG＝CD＝4，設(shè)OH＝x，∵AB與CD間的距離為7，∴OG＝7﹣x，∵OH⊥AB，OH⊥CD，∴OB2＝BH2+OH2＝32+x2，OD2＝DG2+OG2＝42+（7﹣x）2，∵OB＝OD，∴＝32+x2＝42+（7﹣x）2，解得x＝4，∴OB＝OD＝＝5，∴⊙O的半徑長為5；（3）證明：連接CF，AF，CE，∵，∴，∴∠EAF＝∠AEC，∵∠AEC+∠AFC＝180°，∴∠EAF+∠AFC＝180°，∴AE∥CF，∵AE⊥CD，∴FC⊥CD，∴∠FCD＝90°，∴DF經(jīng)過圓心O．【點評】本題是圓的綜合題，考查了圓周角定理，勾股定理，垂徑定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等，合理添加輔助線是