基于離散微分的城市排澇體系數(shù)學(xué)模型研究

基于離散微分的城市排澇體系數(shù)學(xué)模型研究

城市是一個(gè)地區(qū)政治、經(jīng)濟(jì)、文化和科學(xué)教育的中心，也是一個(gè)人口密集的地方。這一衰退對(duì)區(qū)域經(jīng)濟(jì)發(fā)展產(chǎn)生了重大影響。然而，中國(guó)大部分城市靠近河流和海洋，受洪水和風(fēng)暴的威脅，洪水淹沒(méi)了城市，中斷了公共交通，給人民的生命財(cái)產(chǎn)帶來(lái)了巨大損失。隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和生產(chǎn)力的提高，社會(huì)財(cái)富和人口不斷集中在城市。如果城市發(fā)生洪水，可能會(huì)造成巨大的生命和財(cái)產(chǎn)損失遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)非城市地區(qū)。另一方面，中國(guó)許多城市水資源嚴(yán)重不足，人均水資源占人均水資源的比例低于世界公認(rèn)的10003m。過(guò)度開(kāi)采地下水導(dǎo)致地下水位下降，土壤下沉，形成地下水位不足的區(qū)域。因此，傳統(tǒng)的雨水消除思想受到了質(zhì)疑。鑒于城市的重要地位及我國(guó)城市水資源短缺的特點(diǎn),迫切需要提出現(xiàn)代城市蓄、滯、排相結(jié)合的排澇體系,有效地解決城市水多、水少的問(wèn)題,為城市現(xiàn)代化建設(shè)的順利進(jìn)行提供保障.1城市雨水利用技術(shù)的應(yīng)用城市排澇是指排除城市暴雨徑流,保障人民生產(chǎn)、生活正常進(jìn)行的措施.城市排澇可以利用排水區(qū)內(nèi)的湖泊、洼地、河道、溝渠、坑塘等容積臨時(shí)調(diào)蓄澇水,減小排澇壓力.根據(jù)我國(guó)城市發(fā)展現(xiàn)狀及特點(diǎn),蓄、滯、排相結(jié)合的城市排澇體系主要由兩部分構(gòu)成:一是城市排水,二是結(jié)合城市低洼地、次要區(qū)域及城市內(nèi)湖泊、草地等雨水利用工程建設(shè),實(shí)現(xiàn)在減少城市澇災(zāi)的同時(shí),增加城市洪水資源的蓄水空間.城市排水主要是城市各小區(qū)排水管網(wǎng)建設(shè),是排放城市小面積上的暴雨積水.城市排水的任務(wù)就是及時(shí)地匯集并排除暴雨形成的地面徑流,防止城市居住區(qū)與工業(yè)企業(yè)受淹,以保障城市人民的生命安全和生活生產(chǎn)的正常秩序.城市排水常采用暴雨強(qiáng)度公式和雨水流量公式推求雨水設(shè)計(jì)流量.城市雨水利用,是指通過(guò)工程性和非工程性措施,分散實(shí)施,就地?cái)r蓄、儲(chǔ)存和利用城市雨水,避減洪澇災(zāi)害,增添城市供水,改善水生態(tài),營(yíng)造一個(gè)親水、愛(ài)水、節(jié)水、用水的城市環(huán)境.城區(qū)雨水利用的一個(gè)重要途徑是使用各種人工設(shè)施強(qiáng)化雨水滲透,使更多雨水滲入地下以涵養(yǎng)地下水,同時(shí)調(diào)節(jié)氣候,改善城市生態(tài)環(huán)境,減少接納水體下游洪峰流量和洪澇威脅.中水利用是雨水利用的另一種形式.中水利用主要指利用水質(zhì)相對(duì)較好且易于收集的屋面雨水,處理后作為綠化、噴灑道路等雜用水的補(bǔ)充水源.通過(guò)對(duì)雨水水量、水質(zhì)分析,可計(jì)算出屋面雨水年平均可利用雨量.2動(dòng)態(tài)規(guī)劃法在生態(tài)系統(tǒng)優(yōu)化中的應(yīng)用工程規(guī)模與投資及工程規(guī)模與排澇能力之間的關(guān)系比較復(fù)雜,很難用線性關(guān)系來(lái)描述,而且系統(tǒng)狀態(tài)變量與決策變量是連續(xù)變化的,所以選用動(dòng)態(tài)規(guī)劃法進(jìn)行排澇系統(tǒng)的最優(yōu)化管理有其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì).2.1除澇系統(tǒng)各工程決策序列用動(dòng)態(tài)規(guī)劃解決多階段決策過(guò)程問(wèn)題,不論問(wèn)題是隨機(jī)性的還是確定性的,都要將整個(gè)問(wèn)題劃分成首尾相連的階段序列,或把問(wèn)題分解為一系列的子問(wèn)題.在城市排澇中,盡管各項(xiàng)除澇措施的性質(zhì)和作用方式不同,但在承擔(dān)除澇任務(wù)上,它們是一個(gè)整體,各自相對(duì)獨(dú)立地排蓄一部分設(shè)計(jì)徑流量.各項(xiàng)工程的排蓄水量和系統(tǒng)的總除澇水量之間的關(guān)系以及分項(xiàng)投資與系統(tǒng)總投資之間的關(guān)系可表示為W=Ν∑n=1xn,F(C1,C2,C3,?,CΝ)=Ν∑n=1fn(Cn)W=∑n=1Nxn,F(C1,C2,C3,?,CN)=∑n=1Nfn(Cn)除澇系統(tǒng)各工程決策序列過(guò)程見(jiàn)圖1.2.2各階段決策變量以階段1到階段n的累計(jì)排蓄水量作為階段n的狀態(tài),記為Sn.以各階段的工程規(guī)模為決策變量,記為dn.各階段決策的單位不同,綠地以綠地面積率表示;湖泊和河網(wǎng)均以水面率表示;抽排站以設(shè)計(jì)流量表示等.2.3第1階段dn根據(jù)各階段狀態(tài)與決策之間的關(guān)系建立系統(tǒng)方程:Sn=Sn-1+xn(dn);n=1,2,3,…,N式中:Sn為第n階段狀態(tài),即1～n階段累計(jì)排蓄水量;dn為第n階段決策,即第n階段工程規(guī)模;xn為第n階段的排蓄水量,為dn的函數(shù),函數(shù)關(guān)系隨工程類型而定.2.4系統(tǒng)總投資ln以系統(tǒng)總投資最小為優(yōu)化準(zhǔn)則,其表達(dá)式為minF=Ν∑n=1C(Sn,dn)minF=∑n=1NC(Sn,dn)式中:n為階段序號(hào),n=1,2,3,…,N;F為系統(tǒng)總投資;C(Sn,dn)為第n階段投資.2.5設(shè)計(jì)宏觀約束(1)水量平衡方程:Ν∑n=1xn(dn)=W?W∑n=1Nxn(dn)=W?W為排水區(qū)設(shè)計(jì)暴雨徑流量.(2)決策約束(工程尺寸約束):Dln≤dn≤Dmn,n=1,2,3,…,N.Dmn、Dln分別為第n階段工程規(guī)模的上限值和下限值,為已知參數(shù).(3)狀態(tài)約束:Sn≥0,n=1,2,3,…,N.2.6邊境條件S0=0,SN≥W即始端各項(xiàng)工程尚未起作用時(shí),累計(jì)排蓄水量為0;終端累計(jì)排蓄水量應(yīng)大于等于設(shè)計(jì)暴雨徑流量.2.7局部?jī)?yōu)化策略盡管城市排澇模型是一維DP問(wèn)題,但其狀態(tài)變量與決策變量都是連續(xù)的,而且可行域較大,若采用DP法求解,由離散化所形成的狀態(tài)點(diǎn)數(shù)很多,計(jì)算機(jī)存貯量和計(jì)算量都太大.而離散微分動(dòng)態(tài)規(guī)劃法(DDDP法)不要求在整個(gè)可行域內(nèi)擇優(yōu),每次迭代只在試驗(yàn)軌跡的某個(gè)鄰域內(nèi)對(duì)少量狀態(tài)點(diǎn)擇優(yōu),通過(guò)迭代逐次逼近最優(yōu)軌跡.因此,本模型求解采用DDDP法,以節(jié)省計(jì)算量.根據(jù)上述數(shù)學(xué)模型,采用順序遞推,其遞推方程為{f*n(Sn)=mindn{C(Sn,dn)+f*n-1(Sn-1)}f*0(S0)=0???f?n(Sn)=mindn{C(Sn,dn)+f?n?1(Sn?1)}f?0(S0)=0n=1,2,3,...,N式中:f*n(Sn)為1～n階段的最小總投資.根據(jù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃的最優(yōu)化原理:一個(gè)過(guò)程的最優(yōu)策略具有這樣的性質(zhì),即不論初始狀態(tài)和初始決策如何,對(duì)于初始決策所構(gòu)成的下一個(gè)狀態(tài)來(lái)說(shuō),其余留的所有決策必須構(gòu)成一個(gè)最優(yōu)策略”.因此動(dòng)態(tài)規(guī)劃具有局部?jī)?yōu),就是整體優(yōu)的最優(yōu)化性質(zhì).城市排澇問(wèn)題不一定是凸規(guī)劃問(wèn)題,因此需要從不同的初始策略開(kāi)始尋求最優(yōu)策略.3使用示例基于上述城市排澇原理和研究方法,以沈陽(yáng)市為例進(jìn)行城市排澇體系優(yōu)化規(guī)劃研究.3.1大氣降水分析沈陽(yáng)市位于遼寧省中北部,東西寬115km,南北長(zhǎng)205km,總面積12980km2.地貌以平原為主,地勢(shì)由東北向西南緩緩傾斜.沈陽(yáng)大氣降雨屬兩個(gè)降水區(qū):一是西部以遼河包括饒陽(yáng)河一部分和蒲河中、下游為一個(gè)區(qū)域,降水量由南部的625mm向西北減少至525mm;二是以渾河流域?yàn)橹行?包括北沙河、蒲河上游段和東部丘陵平原過(guò)渡地帶,降水量由西部620mm向東增至680mm.3.2排水、排水體制沈陽(yáng)境內(nèi)有渾河、細(xì)河、蒲河等自然河流和新開(kāi)河、南運(yùn)河、衛(wèi)工河等人工明渠,其中渾河是主干河流.無(wú)論是天然河流還是人工明渠,非農(nóng)灌季節(jié)都流入渾河,灌溉季節(jié),部分城市雨水污水進(jìn)入灌區(qū).沈陽(yáng)市城區(qū)排水管渠始建于1903年,經(jīng)過(guò)多年的延續(xù)和改建,如今基本形成三大雨水排水系統(tǒng),排水面積達(dá)186.97km2.到1993年底管網(wǎng)長(zhǎng)度1691km,管網(wǎng)密度9.14km/km2,管網(wǎng)普及率為88.4%.建成污、雨泵站(含立交橋泵站)31座.排水體制大部分為合流制或截流式合流制,部分為分流制.3.3原管渠的狀況沈陽(yáng)市城市排澇總體上滯后于城市化進(jìn)程的發(fā)展.主要表現(xiàn)在:部分排水管渠設(shè)施老化,很難正常發(fā)揮作用,據(jù)統(tǒng)計(jì)排水管道使用年限超過(guò)30a以上的有288.23km,有些日偽時(shí)期修建的排水設(shè)施現(xiàn)在還在使用;原管渠設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)低,斷面偏小;排水管網(wǎng)不完善,系統(tǒng)不配套;泵站機(jī)排能力不足,設(shè)備陳舊;汛期降雨以排為主,未充分考慮雨水蓄滯,使得旱季城市水資源短缺,雨季城市排水負(fù)擔(dān)加重.3.4排水分區(qū)及其計(jì)量根據(jù)沈陽(yáng)市城市排澇現(xiàn)存問(wèn)題及城市未來(lái)發(fā)展要求,對(duì)沈陽(yáng)市城市排澇進(jìn)行優(yōu)化規(guī)劃研究.沈陽(yáng)市現(xiàn)有3個(gè)排水分區(qū),各個(gè)排水分區(qū)的排澇規(guī)劃方法相同,因此僅以沈陽(yáng)市南部排水分區(qū)為例進(jìn)行優(yōu)化規(guī)劃.南部排水分區(qū)包括和平區(qū)、沈河區(qū)、大東區(qū)南部、東陵區(qū)部分地區(qū)及鐵西區(qū)興華大街以東部分.排水面積為74.09km2.3.4.1排水系統(tǒng)投資及評(píng)估沈陽(yáng)市排水標(biāo)準(zhǔn)為0.7a一遇.擬定沈陽(yáng)市城市排澇標(biāo)準(zhǔn)為0.5h降雨1h排完,泵站開(kāi)機(jī)時(shí)間為1h.除澇排水設(shè)施調(diào)蓄水量的函數(shù)關(guān)系如下:屋面調(diào)蓄水量x1=ΨqβAtd1;綠地調(diào)蓄水量x2=H2Ad2;湖泊調(diào)蓄水量x3=H3Ad3;河網(wǎng)調(diào)蓄水量x4=H4Ad4;泵站抽排水量x5=0.36Tpd5式中:屋面面積率d1=屋面面積/總排水面積,以小數(shù)計(jì);綠地面積率d2=綠地面積/總排水面積,以小數(shù)計(jì);湖泊水面率d3=湖泊水面面積/總排水面積,以小數(shù)計(jì);河網(wǎng)水面率d4=河網(wǎng)水面面積/總排水面積,以小數(shù)計(jì);d5為泵站設(shè)計(jì)流量,m3/s;A為總排水面積,km2;H2為綠地滯蓄水深,m,通常取0.3m;H3為湖泊滯蓄水深,m,通常取0.5m;H4為河網(wǎng)滯蓄水深,m,通常取0.8m;Tp為在總排澇歷時(shí)中,泵站的開(kāi)機(jī)時(shí)間,h;Ψ為屋面徑流系數(shù),取0.9;q為降雨強(qiáng)度,L/(s·hm2);β為降雨截流系數(shù),取0.8;t為降雨歷時(shí),h.南部排水分區(qū)規(guī)劃的排水設(shè)施序列過(guò)程及蓄滯水量、工程投資如表1所示.則系統(tǒng)的總投資(萬(wàn)元)為F=1370665d1+223751.8d2+666810d3+666810d4+7d5雨水設(shè)計(jì)流量Q=φAq,式中φ=0.6,q為暴雨強(qiáng)度,查《排水工程》得沈陽(yáng)市的暴雨強(qiáng)度公式為q=1825(1+0.774lgp)(t1+2t2+8)0.724q=1825(1+0.774lgp)(t1+2t2+8)0.724式中:p=0.7,根據(jù)《室外排水設(shè)計(jì)規(guī)范》的規(guī)定及沈陽(yáng)市現(xiàn)狀取t1=10min;t2=20min,則q=84.93L/(s·hm2),將φ、q代入雨水設(shè)計(jì)流量公式得Q=0.6×84.93×74.09×0.1=377.55m3/s.總水量W=Qt=67.96×104m3,即81.55d1+2222.7d2+3704.5d3+5927.2d4+0.36d5=67.96.根據(jù)沈陽(yáng)市城市規(guī)劃的要求,城市綠地面積建設(shè)不超過(guò)城市規(guī)劃面積的30%,湖泊面積不超過(guò)城市規(guī)劃面積的10%,河網(wǎng)面積不超過(guò)城市規(guī)劃面積的10%.由以上分析計(jì)算,建立沈陽(yáng)市城市排澇模型為系統(tǒng)方程:Sn=Sn-1+xn(dn),n=1,2,3,4,5目標(biāo)函數(shù):minF=1370665d1+223751.8d2+666810d3+666810d4+7d5約束條件:81.55d1+2222.7d2+3704.5d3+5927.2d4+0.36d5=67.96d2≤0.3d3≤0.1d4≤0.1d1,d2,d3,d4,d5≥03.4.2狀態(tài)域的生成及優(yōu)化計(jì)算用DDDP法求解數(shù)學(xué)模型時(shí),先給定迭代計(jì)算的精度要求,包括:允許減小增量的精度要求ε1=2%;迭代收斂的精度要求ε2=2%;第k次迭代采用的增量不大于初始增量的1/10.然后按下列步驟進(jìn)行計(jì)算:(1)假設(shè)初始決策為d1=0.2%,d2=0.2%,d3=0.08%,d4=0.02%,d5=164.452,即{d0(n)}={0.002,0.002,0.0008,0.0002,164.452},則初始狀態(tài)為{s0(n)}={0.1631,4.6085,7.5721,8.75754,67.96},相應(yīng)的除澇工程投資為F0=5006.81萬(wàn)元,如表2所示.(2)假設(shè)初始增量為{Δs(n)},除始端、終端狀態(tài)為固定值外,其他各階段狀態(tài)變量都離散成3個(gè)值.即假設(shè)3個(gè)增量Δsj(n)分別取0.50,0,-0.50,分別記為Δs1(n)、Δs2(n)、Δs3(n).將初始軌跡的狀態(tài)變量s(n)加上Δsj(n),構(gòu)成階段n的3個(gè)狀態(tài)點(diǎn),這便是階段n的狀態(tài)子域C(n).各階段狀態(tài)子域所形成的總體即第一次迭代的狀態(tài)域——廊道C,如表3所示.(3)第一次迭代.針對(duì)廊道內(nèi)的狀態(tài)點(diǎn),用DP進(jìn)行一次最優(yōu)化計(jì)算.n=5,4,1時(shí)各階段擇優(yōu)計(jì)算見(jiàn)表4～6.n=3,n=2時(shí)擇優(yōu)計(jì)算過(guò)程與n=4時(shí)相同,不再列出.由表6得出系統(tǒng)最小總投資為F1=2161.95萬(wàn)元.由給定的初始狀態(tài)s(0)開(kāi)始反演,求得第一次迭代的最優(yōu)軌跡和最優(yōu)策略及最優(yōu)工程投資如表7所示.(4)以第一次迭代的改善軌跡{s1(n)}*作為第二次迭代的試驗(yàn)軌跡.即{s2(n)}={s1(n)}*={0,5.1085,7.0721,8.25754,67.96}.并對(duì)迭代前后的目標(biāo)函數(shù)值進(jìn)行比較,看其是否滿足減小增量的條件,即相對(duì)誤差是否小于等于ε1.|F1-F0|F0=|2161.95-5006.81|5006.81=56.81%＞2%ε1.|F1?F0|F0=|2161.95?5006.81|5006.81=56.81%＞2%,故不減小增量.(5)第二次迭代.首先在{s2(n)}周圍,按原增量建立新的廊道,方法與第一次迭代相同.針對(duì)新廊道中各階段狀態(tài)點(diǎn),仍用DP法進(jìn)行第二次優(yōu)化計(jì)算.該次迭代結(jié)束,求得一個(gè)新的改善軌跡{s2(n)}*、改善策略{d2(n)}*和相應(yīng)的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值F2,并對(duì)迭代前后的目標(biāo)函數(shù)值進(jìn)行比較,若不滿足減小增量的條件,則在原增量條件下繼續(xù)進(jìn)行迭代;當(dāng)滿足減小增量條件時(shí),增量以原增量的1/2倍關(guān)系遞減建立新的廊道,進(jìn)行迭代優(yōu)化計(jì)算.當(dāng)再次滿足減小增量條件時(shí),再次減小增量,當(dāng)?shù)趉次迭代的增量{Δsk(n)}≤0.1{Δs1(n)}時(shí),結(jié)束迭代計(jì)算.通過(guò)Matlab編制離散微分動(dòng)態(tài)規(guī)劃程序,經(jīng)迭代計(jì)算后得出最優(yōu)軌跡和最優(yōu)策略如表8所示.(6)由于本問(wèn)題不一定是凸規(guī)劃問(wèn)題,需從不同的初始策略開(kāi)始尋求最優(yōu)策略.計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表9.3.4.3建立蓄滯雨水洪、蓄滯能力從表9可知,當(dāng)d1取0,d2取0.001430,d3取0.000028,d4取0.0004,d5取173.08時(shí),滿足城市排澇要求,