2021年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講座8：歸納猜想型問題(二)

2021年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座八：歸納猜想型問題（二）

一、中考專題詮釋

歸納猜想型問題在中考中越來越被命題者所注重。這類題要求根據(jù)題目中的圖形或者數(shù)

字，分析歸納，直觀地發(fā)現(xiàn)共同特征，或者發(fā)展變化的趨勢，據(jù)此去預(yù)測估計(jì)它的規(guī)律或者

其他相關(guān)結(jié)論，使帶有猜想性質(zhì)的推斷盡可能與現(xiàn)實(shí)情況相吻合，必要時(shí)可以進(jìn)行驗(yàn)證或者

證明，依此體現(xiàn)出猜想的實(shí)際意義。

二、解題策略和解法精講

歸納猜想型問題對(duì)考生的觀察分析能力要求較高，經(jīng)常以填空等形式出現(xiàn)，解題時(shí)要善

于從所提供的數(shù)字或圖形信息中，尋找其共同之處，這個(gè)存在于個(gè)例中的共性，就是規(guī)律。

其中蘊(yùn)含著“特殊——一般—特殊”的常用模式，體現(xiàn)了總結(jié)歸納的數(shù)學(xué)思想，這也正是人類

認(rèn)識(shí)新生事物的一般過程。相對(duì)而言，猜想結(jié)論型問題的難度較大些，具體題目往往是直觀

猜想與科學(xué)論證、具體應(yīng)用的結(jié)合，解題的方法也更為靈活多樣：計(jì)算、驗(yàn)證、類比、比較、

測量、繪圖、移動(dòng)等等，都能用到。

由于猜想本身就是一種重要的數(shù)學(xué)方法，也是人們探索發(fā)現(xiàn)新知的重要手段，非常有利

于培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力，所以備受命題專家的青睞，逐步成為中考的持續(xù)熱點(diǎn)。

三、中考考點(diǎn)精講

考點(diǎn)四：猜想數(shù)量關(guān)系

數(shù)量關(guān)系的表現(xiàn)形式多種多樣，這些關(guān)系不一定就是我們目前所學(xué)習(xí)的函數(shù)關(guān)系式。在

猜想這種問題時(shí)，通常也是根據(jù)題目給出的關(guān)系式進(jìn)行類比，仿照猜想數(shù)式規(guī)律的方法解答。

例8（2020蘇州）已知在平面直角坐標(biāo)系中放置了5個(gè)如圖所示的正方形（用陰影表示），

點(diǎn)Bi在y軸上，點(diǎn)Ci、Ei、E2>C2、E3、&、C3在x軸上.若正方形AiBCQi的邊長為1,

ZBiC|O=60°,BIB〃B2C2〃B3C3,則點(diǎn)A3到x軸的距離是（）

D*

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形。

專題：規(guī)律型。

分析：利用正方形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)分別得出D|E|=B2E2=3,B2c2=近，進(jìn)而得出

_23

B3c3=工，求出WQ=U=3,FW=WA3?COS300=1xY3=近，即可得出答案.

3236326

解答：解：過小正方形的一個(gè)頂點(diǎn)W作FQLx軸于點(diǎn)Q,過點(diǎn)A3FLFQ于點(diǎn)F,

?.?正方形AIBICIDI的邊長為1,ZBiCiO=60°,BCi〃B2c2〃B3c3,

AZB3C3E4=60°,ZDICIEI=30°,NE2B2c2=30°,

.,.D|E|=1D|C|=1,

22

AD1E1=B2E2=—,

2

1

BnE9O

cos30*JJ乙、

B2c2B2c2

解得：B2c2=1

_3

.?BE4=近，

6

cos3(r=^^,

B3c3

解得:B3c3=工，

3

則WC3」，

3

根據(jù)題意得出：ZWC3Q=30°,ZC3WQ=60°,ZA3WF=30%

.,.WQ=lxl=l,

236

FW=WA3?COS30°=L^=近，

326_

則點(diǎn)A3到x軸的距離是：FW+WQ=2+疸返

666

故選：D.

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，根據(jù)已知得出B3c3

的長是解題關(guān)鍵.

例9（2020紹興）如圖，直角三角形紙片ABC中，AB=3,AC=4,D為斜邊BC中點(diǎn)，第

1次將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，折痕與AD交與點(diǎn)P；設(shè)PD的中點(diǎn)為Di，第2次將

紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)Di重合，折痕與AD交于點(diǎn)P2；設(shè)P?D的中點(diǎn)為D2,第3次將紙片

折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D2重合，折痕與AD交于點(diǎn)P3；…；設(shè)PniD『2的中點(diǎn)為DnT，第n次

將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D”?重合，折痕與AD交于點(diǎn)P”（n>2）,則AP6的長為（）

B

BB

5XB.365X36口.37

2125X292145X2”

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）。

專題：規(guī)律型。

分析：先寫出AD、ADi、AD2、AD3的長度，然后可發(fā)現(xiàn)規(guī)律推出AD”的表達(dá)式，繼而根

據(jù)APn=.?ADn即可得出APn的表達(dá)式，也可得出AP6的長.

3

123

X

解答：解：由題意得，AD=1BC=9AD|=AD-DD|=.53,AD2=5.3AD3=-^￡S-------

22232527

又APn=—ADn,

3

2..APn=5><31

故AP「5,AP2-15,AP3-5X3

4162622n

X5

故可得AP6=^J.

故選A.

點(diǎn)評(píng)：此題考查了翻折變換的知識(shí)，解答本題關(guān)鍵是寫出前面幾個(gè)有關(guān)線段長度的表達(dá)式,

從而得出一般規(guī)律，注意培養(yǎng)自己的歸納總結(jié)能力.

例10（2020廣州）如圖，在標(biāo)有刻度的直線1上，從點(diǎn)A開始,

以AB=1為直徑畫半圓,記為第1個(gè)半圓;

以BC=2為直徑畫半圓,記為第2個(gè)半圓;

以CD=4為直徑畫半圓,記為第3個(gè)半圓;

以DE=8為直徑畫半圓,記為第4個(gè)半圓,

…按此規(guī)律，繼續(xù)畫半圓，則第4個(gè)半圓的面積是第3個(gè)半圓面積的.倍，第n個(gè)半圓

的面積為（結(jié)果保留兀）

考點(diǎn)：規(guī)律型：圖形的變化類。

分析：根據(jù)已知圖形得出第4個(gè)半圓的半徑是第3個(gè)半圓的半徑，進(jìn)而得出第4個(gè)半圓的

面積與第3個(gè)半圓面積的關(guān)系，得出第n個(gè)半圓的半徑，進(jìn)而得出答案.

解答：解：,以AB=1為直徑畫半圓，記為第1個(gè)半圓；

以BC=2為直徑畫半圓，記為第2個(gè)半圓；

以CD=4為直徑畫半圓，記為第3個(gè)半圓；

以DE=8為直徑畫半圓，記為第4個(gè)半圓，

.?.第4個(gè)半圓的面積為：-*42=8兀,

2

第3個(gè)半圓面積為：冗X22=2兀,

2

...第4個(gè)半圓的面積是第3個(gè)半圓面積的空=4倍；

2打

根據(jù)已知可得出第n個(gè)半圓的直徑為：2酎1,

則第n個(gè)半圓的半徑為：/-----=2n-2,

2

-rrV（on-2\2

第n個(gè)半圓的面積為：------士——--=22n-57t.

2

故答案為：422n-57t.

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了數(shù)字變化規(guī)律，注意數(shù)字之間變化規(guī)律，根據(jù)已知得出第n個(gè)半圓

的直徑為：是解題關(guān)鍵.

考點(diǎn)五：猜想變化情況

隨著數(shù)字或圖形的變化，它原先的一些性質(zhì)有的不會(huì)改變，有的則發(fā)生了變化，而且這

種變化是有一定規(guī)律的。比如，在幾何圖形按特定要求變化后，只要本質(zhì)不變，通常的規(guī)律

是“位置關(guān)系不改變，乘除乘方不改變，減變加法加變減，正號(hào)負(fù)號(hào)要互換這種規(guī)律可以作

為猜想的一個(gè)參考依據(jù)。

例11（2020常德）若圖1中的線段長為1,將此線段三等分，并以中間的一段為邊作等邊

三角形，然后去掉這一段，得到圖2,再將圖2中的每一段作類似變形，得到圖3,按上述方

法繼續(xù)下去得到圖4,則圖4中的折線的總長度為（）

Ei

圖2

考點(diǎn)：規(guī)律型：圖形的變化類；等邊三角形的性質(zhì)。

分析：當(dāng)n=2時(shí)，折線的長度為：1+2=&當(dāng)n=3時(shí)，折線的長度為：￡+曳工=〃；當(dāng)n=4

333339

時(shí)，折線的長度為：罵從而可求出折線的總長度.

99327

解答：解：由題意得：當(dāng)n=2時(shí)，折線的長度為：1+工=4

33

當(dāng)n=3時(shí)，折線的長度為：W+曳工?；

3339

當(dāng)n=4時(shí)，折線的長度為：V+VxLCl

99327

故選D.

點(diǎn)評(píng)：此題考查的知識(shí)點(diǎn)是圖形數(shù)字的變化類問題，同時(shí)考查學(xué)生分析歸納問題的能力，

其關(guān)鍵是讀懂題意，找出規(guī)律解答.

例12（2020河北）用4個(gè)全等的正八邊形進(jìn)行拼接，使相等的兩個(gè)正八邊形有一條公共邊，

圍成一圈后中間形成一個(gè)正方形，如圖1,用n個(gè)全等的正六邊形按這種方式進(jìn)行拼接，如圖

2,若圍成一圈后中間形成一個(gè)正多邊形，則n的值為.

圖1圖2

考點(diǎn)：平面鑲嵌（密鋪）。

專題：應(yīng)用題。

分析：根據(jù)正六邊形的一個(gè)內(nèi)角為120。，可求出正六邊形密鋪時(shí)需要的正多邊形的內(nèi)角，

繼而可求出這個(gè)正多邊形的邊數(shù).

解答：解：兩個(gè)正六邊形結(jié)合，一個(gè)公共點(diǎn)處組成的角度為240。，

故如果要密鋪，則需要一個(gè)內(nèi)角為120。的正多邊形，

而正六邊形的內(nèi)角為120°,

故答案為：6.

點(diǎn)評(píng)：此題考查了平面密鋪的知識(shí)，解答本題關(guān)鍵是求出在密鋪條件下需要的正多邊形的

一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，有一定難度.

例13（2020無錫）如圖的平面直角坐標(biāo)系中有一個(gè)正六邊形ABCDEF,其中C、D的坐標(biāo)

分別為（1,0）和（2,0）.若在無滑動(dòng)的情況下，將這個(gè)六邊形沿著x軸向右滾動(dòng)，則在滾

動(dòng)過程中，這個(gè)六邊形的頂點(diǎn)A、B、C、D、E、F中，會(huì)過點(diǎn)（45,2）的是點(diǎn).

考點(diǎn)：正多邊形和圓；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)。

專題：規(guī)律型。

分析：先連接AD,過點(diǎn)F,E，作FGJ_AT）,EH_LAD,由正六邊形的性質(zhì)得出A，的坐標(biāo),

再根據(jù)每6個(gè)單位長度正好等于正六邊形滾動(dòng)一周即可得出結(jié)論.

解答：解：如圖所示：

當(dāng)滾動(dòng)一個(gè)單位長度時(shí)E、F、A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是E\F\N,連接AT）,點(diǎn)P,E，作FG，A，D,

EH_LA，D,

?.?六邊形ABCD是正六邊形，

Z.NAFG=30。，

.?.A，G=4AF=1,同理可得HD=L

222

.,.AD=2,

VD（2,0）

：.A'（2,2）,OD=2,

?.?正六邊形滾動(dòng)6個(gè)單位長度時(shí)正好滾動(dòng)一周，

從點(diǎn)（2,2）開始到點(diǎn)（45,2）正好滾動(dòng)43個(gè)單位長度，

6

???恰好滾動(dòng)7周多一個(gè)，

會(huì)過點(diǎn)（45,2）的是點(diǎn)B.

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是正多邊形和圓及圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，利用正六邊

形的性質(zhì)求出A，點(diǎn)的坐標(biāo)是解答此題的關(guān)鍵.

例14（2020綏化）長為20,寬為a的矩形紙片（10<a<20）,如圖那樣折一下，剪下一個(gè)

邊長等于矩形寬度的正方形（稱為第一次操作）；再把剩下的矩形如圖那樣折一下，剪下一個(gè)

邊長等于此時(shí)矩形寬度的正方形（稱為第二次操作）；如此反復(fù)操作下去，若在第n次操作后,

剩下的矩形為正方形，則操作停止.當(dāng)n=3時(shí)，a的值為

第一次操作第二;欠撮作

考點(diǎn)：翻折變換(折疊問題)。

專題：規(guī)律型。

分析：首先根據(jù)題意可得可知當(dāng)10<a<20時(shí)，第一次操作后剩下的矩形的長為a,寬為20

-a,第二次操作時(shí)正方形的邊長為20-a,第二次操作以后剩下的矩形的兩邊分別為20-a,

2a-20.然后分別從20-a>2a-20與20-a<2a-20去分析求解，即可求得答案.

解答：解：由題意，可知當(dāng)10<aV20時(shí)，第一次操作后剩下的矩形的長為a,寬為20-a,

所以第二次操作時(shí)正方形的邊長為20-a,第二次操作以后剩下的矩形的兩邊分別為20-a,

2a-20.

此時(shí)，分兩種情況：

①如果20-a>2a-20,即a<40,那么第三次操作時(shí)正方形的邊長為2a-20.

則2a-20=(20-a)-(2a-20),解得a=12；

②如果20-aV2a-20,即a>坐，那么第三次操作時(shí)正方形的邊長為20-a.

3

則20-a=(2a-20)-(20-a),解得a=15.

當(dāng)n=3時(shí)，a的值為12或15.

故答案為：12或15.

點(diǎn)評(píng)：此題考查了折疊的性質(zhì)與矩形的性質(zhì).此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分

類討論思想與方程思想的應(yīng)用，注意折疊中的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

考點(diǎn)六：猜想數(shù)字求和

例16(2020黃石)“數(shù)學(xué)王子”高斯從小就善于觀察和思考.在他讀小學(xué)時(shí)就能在課堂上快速

地計(jì)算出1+2+3+...+98+99+100=5050,今天我們可以將高斯的做法歸納如下：

令S=l+2+3+…+98+99+100①

S=100+99+98+...+3+2+1②

①+②：有2S=(1+100)xlOO解得：S=5050

請類比以上做法，回答下列問題：

若n為正整數(shù)，3+5+7+...+(2n+l)=168,則n=.

考點(diǎn)：有理數(shù)的混合運(yùn)算。

專題：規(guī)律型。

分析：根據(jù)題目提供的信息，列出方程，然后求解即可.

解答：解：設(shè)S=3+5+7+...+(2n+l)=168①，

則$=(2n+l)+...+7+5+3=168②,

①+②得，2S=n(2n+l+3)=2x168,

整理得，n2+2n-168=0,

解得ni=12,n2=-14(舍去).

故答案為：12.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，讀懂題目提供的信息，表示出這列數(shù)據(jù)的和并列出

方程是解題的關(guān)鍵.

四、真題演練

一.選擇題

1.（2020自貢）一質(zhì)點(diǎn)P從距原點(diǎn)1個(gè)單位的M點(diǎn)處向原點(diǎn)方向跳動(dòng)，第一次跳動(dòng)到OM的

中點(diǎn)M3處，第二次從M3跳到OM3的中點(diǎn)M2處，第三次從點(diǎn)M2跳到OM2的中點(diǎn)Ml處，如

此不斷跳動(dòng)下去，則第n次跳動(dòng)后，該質(zhì)點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離為（）

考點(diǎn)：規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)。

分析：根據(jù)題意，得第一次跳動(dòng)到OM的中點(diǎn)M3處，即在離原點(diǎn)的工處，第二次從M3點(diǎn)

2

跳動(dòng)到M2處，即在離原點(diǎn)的（工）2處，則跳動(dòng)n次后，即跳到了離原點(diǎn)的工處.

解答：解：由于OM=1,

所有第一次跳動(dòng)到OM的中點(diǎn)M3處時(shí)，OM3=JOM=』,

22

同理第二次從M3點(diǎn)跳動(dòng)到M2處，即在離原點(diǎn)的（工）2處,

同理跳動(dòng)n次后，即跳到了離原點(diǎn)的，處,

2n

故選D.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查點(diǎn)的坐標(biāo)，這是一道找規(guī)律的題目，這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn).解

答本題的關(guān)鍵是找出各個(gè)點(diǎn)跳動(dòng)的規(guī)律，此題比較簡單.

2.（2020鄂州）在平面坐標(biāo)系中，正方形ABCD的位置如圖所示，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,0）,

點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0,2）,延長CB交x軸于點(diǎn)Ai，作正方形AiBCiC,延長GB1交x軸于點(diǎn)

A2,作正方形A2B2c2G，…按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，第2012個(gè)正方形的面積為（）

A.5?(^)2010B.5-A2010

C5?(/)20124

D.5?6)4022

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；正方形的性質(zhì)。

專題：規(guī)律型。

分析：首先設(shè)正方形的面積分別為S|,S2...S2012,由題意可求得Si的值，易證得

△BAA|S^B|A|A2,利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例與三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得S2的值,

繼而求得S3的值，繼而可得規(guī)律：Sn=5x（3）2n-2,則可求得答案.

2

解答：解：??,點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,0）,點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0,2）,

/.OA=1,OD=2,

設(shè)正方形的面積分別為Si，S2...S2012,

根據(jù)題意，得：AD〃BC〃C1A2〃C2B2，

???ZBAA1=ZB1A1A2=ZB2A2X,

VZABAI=ZAIB|A2=90°,

/.△BAAI^ABIAIAI，

在直角△ADO中，根據(jù)勾股定理，得：AD=^QA2+OD2=75-

.?.AB=AD=BC=V^,

；.Si=5,

?/NDAO+NADO=90。，ZDAO+ZBAAj=90°,

AZADO=ZBAA|,

AB

tanZBAAi=.1_QA_1

AB0D~2

.?.A|B=亞,

2

.,.A|B=A,C=BC+AiB=^Z^,

2

/.S2=-x5=5x(衛(wèi))2,

42

3r-

.A2Bt5^3

"AjB=AB"西一了

.?.人正1=￡><近=囚5

_224__

A2C]=BiCi+AzBi二返返研=岳(3)2,

2442

.,.S3=-^1X5=5X(3)4,

162

由此可得:Sn=5x(3)2n-2,

2

.,?S2O12=5X(J)2X2012-2=5X(3)4022.

22

故選D.

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識(shí).此題難

度較大，解題的關(guān)鍵是得到規(guī)律Sn=5x（J）2M2.

2

3.（2020鎮(zhèn)江）邊長為a的等邊三角形，記為第1個(gè)等邊三角形，取其各邊的三等分點(diǎn)，順

次連接得到一個(gè)正六邊形，記為第1個(gè)正六邊形，取這個(gè)正六邊形不相鄰的三邊中點(diǎn)，順次

連接又得到一個(gè)等邊三角形，記為第2個(gè)等邊三角形，取其各邊的三等分點(diǎn)，順次連接又得

到一個(gè)正六邊形，記為第2個(gè)正六邊形（如圖），…，按此方式依次操作，則第6個(gè)正六邊形

的邊長為（）

A.lx(1)5B.lx(1)5

3223

C.lx(1)6D.lx(A)6

3223

考點(diǎn)：等邊三角形的判定與性質(zhì)。

專題：規(guī)律型。

分析：連接AD、DB、DF,求出/AFD=/ABD=90。，根據(jù)HL證兩三角形全等得出

ZFAD=60°,求出AD〃EF〃GL過F作FZ1GI,過E作EN±GI于N,得出平行四邊形FZNE

得出EF=ZN=2a,求出GI的長，求出第一個(gè)正六邊形的邊長是工a,是等邊三角形QKM的邊

33

長的工同理第二個(gè)正六邊形的邊長是等邊三角形GHI的邊長的工求出第五個(gè)等邊三角形的

33

邊長，乘以工即可得出第六個(gè)正六邊形的邊長.

3

解答：解：連接AD、DF、DB,

?.?六邊形ABCDEF是正六邊形，

/.ZABC=ZBAF=ZZAFE,AB=AF,ZE=ZC=120°,EF=DE=BC=CD,

,ZEFD=ZEDF=ZCBD=ZBDC=30°,

VZAFE=ZABC=120°,

.,.ZAFD=ZABD=90°,

在RtAABD和RtAFD中

[AF=AB

lAD=AD

，RtAAABD^RtAAFD,

:.ZBAD=ZFAD=lx120°=60°,

2

ZFAD+ZAFE=60°+120°=180°,

，AD〃EF,

：G、I分別為AF、DE中點(diǎn)，

，GI〃EF〃AD,

，ZFGI=ZFAD=60°,

???六邊形ABCDEF是正六邊形，△QKM是等邊三角形，

.,.ZEDM=60°=ZM,

，ED=EM,

同理AF=QF,

即AF=QF=EF=EM,

?等邊三角形QKM的邊長是a,

第一個(gè)正六邊形ABCDEF的邊長是L,即等邊三角形QKM的邊長的工，

33

過F作FZ_LGI于Z,過E作EN_LGI于N,

則FZ〃EN,

VEF/7GL

二四邊形FZNE是平行四邊形，

;.EF=ZN=L,

3

VGF=-AF=Ax.la=Aa,NFGI=60°(已證)，

2236

...NGFZ=30°,

/.GZ=lGF=Aa,

212

同理IN=」a,

12

.?.GI=L+』a+L=L,即第一個(gè)等邊三角形的邊長是』a,與上面求出的第一個(gè)正六邊形的

1231222

邊長的方法類似，可求出第二個(gè)正六邊形的邊長是LL；

32

同理第第二個(gè)等邊三角形的邊長是與上面求出的第一個(gè)正六邊形的邊長的方法類似，

22

可求出第三個(gè)正六邊形的邊長是工xJ：xJ：a；

322

同理第三個(gè)等邊三角形的邊長是IxLIa,第四個(gè)正六邊形的邊長是工xLdixL；

2223222

第四個(gè)等邊三角形的邊長是』x」xJ：x』a,第五個(gè)正六邊形的邊長是工x』xLd：x2a；

222232222

第五個(gè)等邊三角形的邊長是第六個(gè)正六邊形的邊長是IxLdixlxlxL,

22222322222

即第六個(gè)正六邊形的邊長是工＜(1)與，

32

故選A.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正六邊形、等邊三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)和判定、全等三角形

的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能總結(jié)出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵，題目具有一定的規(guī)律性，是一道有一

定難度的題目.

二.填空題

4.（2020天門）如圖，線段AC=n+l（其中n為正整數(shù)），點(diǎn)B在線段AC上，在線段AC同

側(cè)作正方形ABMN及正方形BCEF,連接AM、ME、EA得到△AME.當(dāng)AB=1時(shí)，AAME

的面積記為Si；當(dāng)AB=2時(shí)，4AME的面積記為S2；當(dāng)AB=3時(shí)，4AME的面積記為S3;…；

當(dāng)AB=n時(shí)，Z\AME的面積記為S?當(dāng)吟2時(shí)，Sn-Sn-i=.

考點(diǎn)：整式的混合運(yùn)算。

專題：規(guī)律型.

分析：方法一：根據(jù)連接BE,則BE〃AM,利用AAME的面積=ZXAMB的面積即可得出

222

Sn=-n,Sn-i=A（n-1）=An-n+A,即可得出答案.

2222

-

方法二:根據(jù)題意得出圖象，根據(jù)當(dāng)AB=n時(shí),BC=1,得出Sn=S矩彩ACQN-SAACESAMQE-SAANM，

2

得出S與n的關(guān)系，進(jìn)而得出當(dāng)AB=n-1時(shí)，BC=2,Sn-i=^n-n+1,即可得出Sn-S1的

22

值.

解答：解：方法一：連接BE,

?在線段AC同側(cè)作正方形ABMN及正方形BCEF,

.?.BE〃AM,

.,.△AME與AAMB同底等高，

AAAME的面積=aAMB的面積，

2

當(dāng)AB=n時(shí)，Z\AME的面積記為Sn=-n,

2

9n-1

，當(dāng)定2時(shí)，Sn-Sn-i=^—A,

2

故答案為：生二1；

2

方法二：如圖所示：延長CE與NM,交于點(diǎn)Q,

?.?線段AC=n+l(其中n為正整數(shù))，

.,.當(dāng)AB=n時(shí)，BC=1,

.?.當(dāng)AAME的面積記為：

Sn=SSi?ACQN-SiACE-SAMQE-SAANM，

=n(n+1)-Axlx(n+1)--xlx(n-1)-Axnxn,

222

=An2,

2

當(dāng)AB=n-1時(shí)，BC=2,

.?.當(dāng)4AME的面積記為：

SnI=S博彩ACQN-SAACE-SAMQE-SAANM>

=(n+1)(n-1)-AX2X(n+1)-Ax2x(n-3)-Ax(n-1)(n-1),

222

=%-n+A,

22

22

當(dāng)n>2時(shí)，Sn-Sn-1=—n-(—n-n+A)=n-L?"_

22222

故答案為：紅二1

2

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了三角形面積求法以及正方形的性質(zhì)，根據(jù)已知得出正確圖形，得出S

與n的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

6.（2020威海）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，線段OAi=l,OAi與x軸的夾角為30。，線段

A|A2=1,A2A1J_OAI,垂足為Ai；線段A2A3=1,A3A2-LAiA2，垂足為A2;線段A3A4=1,

A4A3_LA2A3,垂足為A3；…按此規(guī)律，點(diǎn)A2012的坐標(biāo)為.

考點(diǎn)：規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)。

專題：規(guī)律型。

分析：過點(diǎn)Ai作AiBLx軸，作人《〃*軸A?C〃y軸，相交于點(diǎn)C,然后求出點(diǎn)Ai的坐

標(biāo)，以及AC、A2c的長度，并出A2、A3、A4、As、A6的坐標(biāo)，然后總結(jié)出點(diǎn)的坐標(biāo)的變化

規(guī)律，再把2012代入規(guī)律進(jìn)行計(jì)算即可得解.

解答：解：如圖，過點(diǎn)Ai作AiBLx軸,作人（〃*軸A?C〃y軸，相交于點(diǎn)C,

VOAi=l,OAi與x軸的夾角為30。,

OB=OA|,cos=lx,

22

AiB=OAi*sin30°=lxA=_l,

22

二點(diǎn)Ai的坐標(biāo)為（Y5,1）,

22

VA2AI±OAI，OAI與x軸的夾角為30。,

二NOAiC=30°,NA2Ale=90°-30°=60°,

AZA,A2C=90°-60°=30°,

同理可求：A2c=OB=Y^,AIC=AIB=-1,

22

所以，點(diǎn)A2的坐標(biāo)為（近-工，漁工，

2222_

點(diǎn)A3的坐標(biāo)為（爽-工+爽，亞+1+工），即（J5-1，近+1）,

22222222

點(diǎn)A4的坐標(biāo)為西1+近），即（逐-1，蟲+1），

2222_

點(diǎn)As的坐標(biāo)為（&-1+近，E+1+工），即（"-1,加+衛(wèi)），

2222

點(diǎn)A6的坐標(biāo)為（2^3-1-1,后至+近），即（"-旦當(dāng)5+衛(wèi)）,

22222222

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，點(diǎn)A”的坐標(biāo)為（過-EZ1,口二小+些）,

4444

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，點(diǎn)A”的坐標(biāo)為竽甫照吃，

所以，當(dāng)n=2012時(shí)，工玄-星503?-503,工技g503技503,

4444

點(diǎn)A2012的坐標(biāo)為（50373-503,503、年+503）.

故答案為：（503A/3-503,503心503）.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律變化問題，作出輔助線，求出各點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的

規(guī)律變化的數(shù)值，然后依次寫出前幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)與點(diǎn)的序號(hào)的特點(diǎn)找出點(diǎn)的坐標(biāo)的

通式是解題的關(guān)鍵.

7.（2020湖州）如圖，將正4ABC分割成m個(gè)邊長為1的小正三角形和一個(gè)黑色菱形，這個(gè)

黑色菱形可分割成n個(gè)邊長為1的小三角形，若三里，則AABC的邊長是.

n25

考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)。

專題：規(guī)律型。

分析：設(shè)正4ABC的邊長為X,根據(jù)等邊三角形的高為邊長的亞倍，求出正4ABC的面積,

2

再根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合圖形表示出菱形的兩對(duì)角線,然后根據(jù)菱形的面積等于兩對(duì)角線乘積的

一半表示出菱形的面積,然后根據(jù)所分成的小正三角形的個(gè)數(shù)的比等于面積的比列式計(jì)算即可

得解.

解答：解：設(shè)正AABC的邊長為x,則高為近x,

_2

SAABC=—X，在x=2&,

224

???所分成的都是正三角形，

結(jié)合圖形可得黑色菱形的較長的對(duì)角線為近x-較短的對(duì)角線為（近x-V3）亞=1x

2232

-1,

???黑色菱形的面積=工（強(qiáng)x-?）（lx-1）=登（X-2）2,

2228

黎2邛.2）2

.ir_J______8___________47

??丁號(hào)…2方

O

整理得，11x2-144x+144=0,

解得x尸〃(不符合題意，舍去)，X2=12,

11

所以，AABC的邊長是12.

故答案為：12.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握有一個(gè)角等于60。的菱形的兩

條對(duì)角線的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，本題難點(diǎn)在于根據(jù)三角形的面積與菱形的面積列出方程.

8.(2020泰安)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有若干個(gè)橫坐標(biāo)分別為整數(shù)的點(diǎn)，其順序按圖

中“一”方向排列，如(1，0),(2,0),(2,1),(1,1),(1,2),(2,2)…根據(jù)這個(gè)規(guī)律,

第2012個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.

考點(diǎn)：點(diǎn)的坐標(biāo)。

專題：規(guī)律型。

分析：觀察圖形可知，以最外邊的正方形邊長上的點(diǎn)為準(zhǔn)，點(diǎn)的總個(gè)數(shù)等于x軸上右下角

的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的平方，并且右下角的點(diǎn)的橫坐標(biāo)是奇數(shù)時(shí)最后以橫坐標(biāo)為該數(shù)，縱坐標(biāo)為0

結(jié)束，當(dāng)右下角的點(diǎn)橫坐標(biāo)是偶數(shù)時(shí)，以橫坐標(biāo)為1,縱坐標(biāo)為右下角橫坐標(biāo)的偶數(shù)減1的點(diǎn)

結(jié)束，根據(jù)此規(guī)律解答即可.

解答：解：根據(jù)圖形，以最外邊的正方形邊長上的點(diǎn)為準(zhǔn)，點(diǎn)的總個(gè)數(shù)等于x軸上右下角

的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的平方，

例如：右下角的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,共有1個(gè)，1=12,

右下角的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2時(shí)，共有4個(gè)，4=22,

右下角的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3時(shí)，共有9個(gè)，9=32,

右下角的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4時(shí)，共有16個(gè)，16=42,

右下角的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為n時(shí)，共有I?個(gè)，

452=2025,45是奇數(shù),

第2025個(gè)點(diǎn)是(45,0),

第2012個(gè)點(diǎn)是(45,13),

所以，第2012個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為45.

故答案為：45.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)，觀察出點(diǎn)個(gè)數(shù)與橫坐標(biāo)的存在的平方關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

9.(2020北京)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，我們把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn).已知

點(diǎn)A(0,4),點(diǎn)B是x軸正半軸上的整點(diǎn)，記AAOB內(nèi)部(不包括邊界)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為m.當(dāng)

m=3時(shí)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的所有可能值是；當(dāng)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4n（n為正整數(shù)）時(shí),

m=（用含n的代數(shù)式表示）.

yAA

ol12345678910II1213i

考點(diǎn)：點(diǎn)的坐標(biāo)。

專題：規(guī)律型。

分析：根據(jù)題意畫出圖形，再找出點(diǎn)B的橫坐標(biāo)與aAOB內(nèi)部（不包括邊界）的整點(diǎn)m之

間的關(guān)系即可求出答案.

解答：解：如圖：

?4??■?r--??一，-r

IMe

"?.W.L.i.Ia

ol~I2678910111213X

當(dāng)點(diǎn)B在（3,0）點(diǎn)或（4,0）點(diǎn)時(shí)，AAOB內(nèi)部（不包括邊界）的整點(diǎn)為（1,1）（1,2）

（2,1）,共三個(gè)點(diǎn)，

所以當(dāng)m=3時(shí)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的所有可能值是3或4；

因?yàn)閍AOB內(nèi)部（不包括邊界）的整點(diǎn)個(gè)數(shù)=[（點(diǎn)B的橫坐標(biāo)-1）x（點(diǎn)A的縱坐標(biāo)-1）

-3H2,

所以當(dāng)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4n（n為正整數(shù)）時(shí)，m=[（4n-1）x（4-1）-3]-2=6n-3；

故答案為：3或4,6n-3.

點(diǎn)評(píng)：此題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，找出點(diǎn)B的橫坐標(biāo)與aAOB內(nèi)部

（不包括邊界）的整點(diǎn)m之間的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.

10.（2020佳木斯）如圖，直線y=x，點(diǎn)Ai坐標(biāo)為（1,0）,過點(diǎn)Ai作x軸的垂線交直線于

點(diǎn)B”以原點(diǎn)O為圓心，OBi長為半徑畫弧交x軸于點(diǎn)A?,再過點(diǎn)A2作x軸的垂線交直線

于點(diǎn)B2，以原點(diǎn)O為圓心，OB2長為半徑畫弧交x軸于點(diǎn)A3,…按此作法進(jìn)行去，點(diǎn)&的

縱坐標(biāo)為___________________（n為正整數(shù)）.

A〕A2A3

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題。

專題：規(guī)律型。

分析：由Ai(1,0),可知Bi的橫坐標(biāo)為1,由于Bi，B2,B3,Bn都在直線y=x上，

可知Bi，B2,B3,Bn各點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，即Bi(1,1),由勾股定理得OBi=J],

由此可得A2(V2-0),貝1JB2(V2-圾)，由勾股定理得OB2=2,則A3(2,0),則B3(2,

2),由此得出一般結(jié)論.

解答：解：：Bi，B2,B3....Bn都在直線y=x上，

.?.Bl,B2.B3,…,Bn各點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，

由A|(1,0),得Bl(1,1),

此時(shí)

可知，A2(A/2>0)，則B2(V2>雙)，

同理可得B3(2,2),

則瑤(V2n-bV2n-1)-

故答案為：

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的綜合運(yùn)用.關(guān)鍵是明確直線y=x上點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等

特點(diǎn)，由易到難，由特殊到一般，得出規(guī)律.

11.(2020鄂州)已知，如圖，△OBC中是直角三角形，OB與x軸正半軸重合，ZOBC=90°,

且OB=1,BC=F，將AOBC繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。再將其各邊擴(kuò)大為原來的m倍，使

OBi=OC,得到△OB1C1，將△OBICI繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。再將其各邊擴(kuò)大為原來的m倍,

使OB2=OC|,得到△OB2c2，…，如此繼續(xù)下去，得到aOB2012c2012,則01=.點(diǎn)

C2012的坐標(biāo)是?

考點(diǎn)：坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)；解直角三角形。

專題：規(guī)律型。

分析：先解直角三角形求出/BOC=60。，再根據(jù)30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半即可求

出m的值，然后求出OCi、OC2、OC3OCn的長度，再根據(jù)周角等于360。，每6個(gè)為一

個(gè)循環(huán)組，求出點(diǎn)C20I2是第幾個(gè)循環(huán)組的第幾個(gè)點(diǎn)，再根據(jù)變化規(guī)律寫出點(diǎn)的坐標(biāo)即可.

解答：解：VZOBC=90°,OB=1,BC=V3-

tanZBOC=—=5/3，

，ZBOC=60°,

；.OC=2OB=2xl=2,

?.?將AOBC繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。再將其各邊擴(kuò)大為原來的m倍，使OB產(chǎn)OC,

/.m=2,

.,.OG=2OC=2X2=4=22,

OC2=2OCI=2X4=8=23,

4

OC3=2OC2=2X8=16=2,

?.?,

n+1

OCn=2,

.,?OC2012=22021,

,.,2012+6=335…2,

...點(diǎn)C2012與點(diǎn)C2X在同一射線上，在X軸負(fù)半軸，坐標(biāo)為（-22021,。）.

故答案為:2,（-22021,0）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了坐標(biāo)與圖形的變化-旋轉(zhuǎn)，解直角三角形，根據(jù)解直角三角形，以及30。

角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，求出m的值是解題的關(guān)鍵.

12.（2020瀘州）如圖，n個(gè)邊長為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線上，點(diǎn)Mi，M2,M3,…Mn

分別為邊B1B2，B2B3,B3B4,…,BnBn+i的中點(diǎn),△BIGMI的面積為Si，4B2c2M2的面積

為S2，…△BnCnMn的面積為Sn，則S產(chǎn).（用含n的式子表示）

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)。

專題：規(guī)律型。

分析：由n個(gè)邊長為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線上，點(diǎn)Ml，M2,M3,…Mn分別

為邊BB2,為B3,B3B4.........BnBn+1的中點(diǎn),即可求得△BlClMn的面積,又由BnCn〃BlCl，

即可得△BnCnMnS^BiGM”然后利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，求得答案.

解答：解：?.、個(gè)邊長為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線上，點(diǎn)M”M2,M3,…Mn

分別為邊BB2,B2B3,B3B4,…,BnBn+1的中點(diǎn),

/.Si=—xBiCixB|Mi=ix]x.l=_l,

2224

SAB1CIM2=3xBICIXB1M2=°X1x_?=至，

2224

SABiciM3=」xBiC?xBiMa=3x1x至=2

2'224

SABiciM4=~^xBiC?1M4——1x_Z=_Z,

2224

SABICM產(chǎn)LBIC/BIMFAXIX2n二1=2"二1,

2224

：BnCn〃B|C”

△BnCnMn^ABiCjMn，

1

.BM,~2

??SABnCnMn：Sz\BICIMn=（-----n-------n--）"=（不

B[h2n-1

2

即Sn：生21=--------------1——-）

4（2n-l）2

Sn=--------------±——

4（2n-l）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及直角三角形面積的公式.此

題難度較大，注意掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方定理的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵.

13.（2020衡陽）觀察下列等式

①sin30°=」cos60°=—

22

②sin45°=Y^COS=45°=Y^

22

③sin60°=亞cos30°=登

22

根據(jù)上述規(guī)律，計(jì)算si/a+sii?(900-a)=.

考點(diǎn)：互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系。

專題：規(guī)律型.

分析：根據(jù)①②③可得出規(guī)律，即si/a+sii?(9(T-a)=1,繼而可得出答案.

解答：解：由題意得，sin23O°+sin2(90°-30°)=1；

sin2450+sin2(90°-45°)=1；

sin260°+sin2(90°-60°)=1；

故可得si/a+sin?(90°-a)=1.

故答案為：1.

點(diǎn)評(píng)：此題考查了互余兩角的三角函數(shù)的關(guān)系，屬于規(guī)律型題目，注意根據(jù)題意總結(jié)，另

外si/a+sir?(900-a)=1是個(gè)恒等式，同學(xué)們可以記住并直接運(yùn)用.

14.(2020東營)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A”A2,A3,…和Bi，B2,B3,…分別在直

線丫=心+|5和x軸上.△OAB，△B1A2B2,4B2A3B3,...都是等腰直角三角形,如果Ai(1,

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題。

專題：代數(shù)幾何綜合題；規(guī)律型。

分析：利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線的解析式，再求出直線與x軸、y軸的交

點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線與x軸的夾角的正切值，分別過等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)向x軸作垂線,

然后根據(jù)等腰直角三角形斜邊上的高線與中線重合并且等于斜邊的一半,利用正切值列式依次

求出三角形的斜邊上的高線，即可得到各點(diǎn)的縱坐標(biāo)的規(guī)律.

解答：解：VAi(1,1),A2(工乜)在直線y=kx+b上，

22

'k+b=l

<73，

-k+b=-

直線解析式為y=2x+W,

55

如圖，設(shè)直線與X軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為N、M,

當(dāng)x=0時(shí)，y=W,

5

當(dāng)y=0時(shí)，1x+W=O,解得x=-4,

55

.?.