2021年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第8講-幾何變換之旋轉(zhuǎn)（二）

第8講幾何變換之旋轉(zhuǎn)（二

Section1三垂直模型

知識總結(jié)

三、三垂直模型

i.模型介紹

△ABC是等腰直角三角形，一條直線過點C,分別過A、8向該直線作垂線，垂足分別為。、E,則

△ADCgACEB.

ZD=ZE

證明：\ZDAC=ZECB-△ADC絲△CEB（A4S）

AC=CB

總結(jié)：一條直線經(jīng)過等腰直角三角形的直角頂點，過另外兩個頂點分別向該直線作垂線，即可得三垂

直模型.（等腰、直角、作垂直）

【思考】“等腰、直角、作垂直”在證明全等中所發(fā)揮的作用是什么？

【弱化條件】

（1）如果沒有等腰？

依然可以構(gòu)造三垂直，只不過得到的是三垂直相似，而非三垂直全等.

如圖，有AADgACEB.

特別地，若點C為BD中點,則△AOCS/\CEBSAACB.

(2)如果沒有直角？

直角與作垂直是配套的，最終的結(jié)果是有三個直角,其價值不在于它們是特殊角，而是它們都是相

等的，所以即便沒有直角，換成三個相等的角亦可,即“一線三等角”模型

2.模型構(gòu)造

(1)當(dāng)圖形中存在等腰直角時，可構(gòu)造得三垂直全等;

(2)當(dāng)圖形中存在直角時，可構(gòu)造得三垂直相似；

(3)當(dāng)圖形中存在特殊角時，可構(gòu)造三垂直.

［引例1］如圖直角梯形ABCD中,AD//BC,ABLBC,4)=2,BC=3,將腰CD以。為中心

逆時針旋轉(zhuǎn)90。至￡?,連隹、CE,則AADE的面積是()

A.1B.2D.不能確定

【引例2】如圖，在平面直線坐標(biāo)系中，直線A8解析式為y=點M(2,1)是直線AB上一點,

將直線A8繞點M順時針旋轉(zhuǎn)a得到直線CD,且tana=。，求直線CD解析式.

2

3.模型理解

構(gòu)造三垂直全等，一方面可以得到相等線段，在幾何圖形中作等量代換，另外在坐標(biāo)系中構(gòu)造三垂直

全等，可實現(xiàn)“化斜為直”，用水平或豎直線段刻畫圖中的點與線，尤其在坐標(biāo)系中，更方便計算.

經(jīng)典例題

【例1】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點8在第一象限，點A在x軸的正半軸上，/AOB=/B=30。,

04=2,將△A0B繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90°,點8的對應(yīng)點B'的坐標(biāo)是()

A.+@B.(-6,3)C.(-73,2+D.卜3,⑹

【例2】如圖，已知A(0,3)、B(4,0),點C在第一象限，且AC=5后，8c=10,則

直線OC的函數(shù)表達式為.

【例3】(2019?無錫)如圖，在aABC中，AB=AC=5,BC=4也,。為邊4B上一動點(8點除外),

以C￡＞為一邊作正方形以陀凡連接BE,則△8DE面積的最大值為.

E

A

BC

【例4】如圖，正方形ABCD和RtAAEF,AB=5,AE=AF=4,連接班DE.若AAE尸繞點A

旋轉(zhuǎn)，當(dāng)尸最大時，S^DE=.

【例5】（2016?河南）如圖，在矩形ABCD中，AB=3,3C=5,點E為5c邊上一個動點，連接

AE,將線段隹繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90。，點A落在點尸處，當(dāng)點？在矩形488外部時，連接PC、

PD.若ADPC為直角三角形，則3E的長.

BEC

Section2半角模型

知識總結(jié)

1.90。+45。模型.

如圖，在正方形A8CO中，E、尸分別在BC、CD上，且NE4F=45。連接EF.

【兩個基本結(jié)論】

結(jié)論1：EF=BE+DF.

證明：延長CD至點G使得DG=BE【截長】

易證：/\ABE^/\ADG(SAS)-AE=AG,ZGAF=45°

易證：△AFEgAAFG(SAS)-EF=GF

綜上：EF=GF=GD+DF=BE+DF.

若E、F分別在CB、QC延長線上時，結(jié)論變?yōu)椋篍F=DF-BE.

r

證明：在QC上取點G使得DG=BE【補短】

易證：LABE/AADG(SAS)一AE=AG,ZGAF=45°

易證：^AEF^/XAGF(S4S)-EF=GF

綜上：EF=GF=DF-DG=DF-BE

【小結(jié)】截長、補短只是形式，關(guān)鍵點在于已知半角的情況下，構(gòu)造相應(yīng)的另一個半角.此處通過旋

轉(zhuǎn)，想要將一個圖形毫無違和地旋轉(zhuǎn)到另一位置，需要：鄰邊相等，對角互補.

結(jié)論2：連接A。，與AE、AF分別交于M、N,則：MN2=BM2+DN2.

證明：構(gòu)造△AZJM'絲△ABM-AM=AM',NMAN=NM'AN,BM=DM'

易證：△AMNmAAM'N(SAS)-MN=M，N

易證：△”￡＞可是直角三角形—M'N2^M'D2+DN2-MN2=BM2+DN2.

【兩個常用結(jié)論】

結(jié)論3：若則點尸是C。邊中點.反之亦然.

3

結(jié)論4：過點A作A〃_LEF交EF于H點，則△A8E也△AHE,/\AHF^/\ADF.

另外還可得：AE平分NBEF,AF平分NDFE.

注意：若AE平分NBE凡則可推NE4FE5°.

2.120。+60。模型

(1)如圖，△A8C是等邊三角形，B￡>=C￡>且/B0C=12O。，E、/在直線AB、AC上且/E￡>F=60。

結(jié)論：EF=BE+CF

(2)若點F在AC的延長線上，EF、BE、CF之間又有何數(shù)量關(guān)系？

經(jīng)典例題

【例6】（2016滁州）如圖，正方形ABCZ）的邊長為2,點E,尸分別在邊AD,C￡＞上，若NEBF=45。,

則AEZW的周長等于—.

【例7】如圖，在正方形ABC短內(nèi)作NE4產(chǎn)=45。，AE交8c于點AF交8于點F,連接班

過點A作AHJ_EF,垂足為7/,將AADF繞點4順時針旋轉(zhuǎn)90。得到AABG,若BE=2,DF=3,

則AH的長為.

【例8】如圖，在正方形ABCD中，E是邊上的一點，BE=4,EC=8,將正方形邊AB沿他折

疊到AF,延長EF交DC于G,連接AG,FC,現(xiàn)在有如下4個結(jié)論：①NE4G=45。；②FG=FC；

③FC〃AG；④SA5C=14.

其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【例9】如圖，在正方形A8CD中，點E是AB邊上一點，以DE為邊作正方形DEFG,DF與BC交

于點、M,延長EM交GV于點H,￡F與C8交于點N,連接CG.

(1)求證：CD1CG；

(2)tanZ.MEN=-,求絲*■的值；

3EM

(3)已知正方形A8CD的邊長為1,點E在運動過程中，EM的長能否為1?請說明理由.

2

Section3另類旋轉(zhuǎn)一弦圖的應(yīng)用

知識總結(jié)

在勾股定理的證明中，我們學(xué)習(xí)過趙爽弦圖，如下，有AAED注4BFA沿ACGBmDHC.

稍作變形，DE1AF,則可得：（證明思路類似三垂直模型）

一般地，在正方形ABCZ）中，若MN_LPQ,則必有MN=PQ.

法一：分別將PQ、MN平移至4尸、DE位置（作平行線）證明A尸=OE即可.

法二：過點P作PE_L8C,過點N作NF_LAB交A8于點F,易證△PEQ絲△NFM.

反之，若已知PQ=MM但不一定存在PQ_LMN.

如下：EF=PQ=MN,但EF不與MN垂直.

由位置關(guān)系可推數(shù)量關(guān)系，但由數(shù)量關(guān)系未必可推位置關(guān)系.

其他結(jié)論：

(1)弦圖與對稱：對稱點連線被對稱軸垂直且平分.

將正方形ABCD沿MN折疊，則且A4'_LMM

(2)弦圖與輔助圓：垂足H軌跡是個圓弧(定邊對直角)

以A。中點〃為圓心，為半徑的圓，兩端分別的點A及對角線交點0.

經(jīng)典例題

【例9】如圖，E、F是正方形ABCD的邊AO上的兩個動點，滿足AE=￡>F,連接CF交8。于點G,

連接BE交AG于點H,若正方形邊長為2,則線段。”長度的最小值是.

【例10】(2018?宿遷)如圖，在邊長為1的正方形A8C。中，動點E、R分別在邊AB、8上,

將正方形A88沿直線即折疊，使點B的對應(yīng)點M始終落在邊4)上(點M不與點A、。重合),

點C落在點N處，MN與CD交于點、P,設(shè)

(1)當(dāng)時，求x的值；

3

(2)隨著點M在邊4)上位置的變化，APD似的周長是否發(fā)生變化？如變化，請說明理由；如不變,

請求出該定值；

(3)設(shè)四邊形班FC的面積為S,求S與x之間的函數(shù)表達式，并求出S的最小值.

備用圖

【引例1】求面積當(dāng)然是先考慮考慮面枳公式咯.

已知A￡>=2,過點E作ENLAQ交AO延長線于點N,求出EN即可求出面積.

考慮△COE是等腰直角三角形，過點C作CMON交LW于M點，

易證△ENDW△￡＞例C,Z.EN=DM=BC-AD=I,

故L”E=[X2X1=1,

故選A.

【引例2】在直線AB上再選取點。構(gòu)造三垂直相似，如下圖所示,

易證△PFOS/\OEM,且相似比絲=tanNP/0O=3,

OM2

333

^OF=-ME=-,PF=-OE=3,

222

故尸點坐標(biāo)為卜I，3),

結(jié)合P、M點坐標(biāo)可解直線C。解析式：y=--x+-.

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【例1】旋轉(zhuǎn)90。構(gòu)造三垂直全等.

由題意可求B點坐標(biāo)為（3,6）,

分別過點8、9作3M、3'N垂直x軸，垂足分別為M、N,

易證△BMO絲△ONB',

.?.點8'坐標(biāo)為卜班,3),故選8.

【例2】發(fā)現(xiàn)△4BC是直角三角形是關(guān)鍵.

易證△ABC是直角三角形，過點C作軸交x軸于，點,

易證△AOBS/XBHC,可得8H=6,CH=8,

故點C坐標(biāo)為(10,8),

直線OC函數(shù)表達式為y=.

【例3】求三角形的面積，可以首先考慮面積公式，以3。為底，需作高.

分別過C、E作B4的垂線，垂足分別記為點M、N,

易證△DMC之△￡N￡),由tanNABC=2得：CM=4,8M=8,

2

設(shè)B￡>=x,則￡7V=QM=8-x,

S^BDE=一x?(8—x)=—J+4x,

當(dāng)44時，5,皿￡取到最大值8,

故面積的最大值為8.

［例4］動態(tài)問題先分析何時最大.

F點軌跡是以點A為圓心，A尸為半徑的圓，

當(dāng)8尸與圓相切時，NAB尸最大，

分別過點E、尸作直線D4的垂線，垂足分別記為M、N,

故△△￡)￡的面積為6.

【例5】并不確定直角時需分類討論.

情況一：當(dāng)/POC=90。時，如下左圖，

易證△然后是等腰直角三角形，；.BE=AB=3.

情況二：當(dāng)NCPC=90。時，如上右圖，

過點P作BC的垂線，垂足記為與延長線交于點N,則MNLAD,

易證△ABE彩ZXCMP,叢CMPs叢PND,

?BE=x,則MP=x,PN=3-x,EM=A8=3,CM=x-2,

..CM_MP^代入得」一2_x7+Vn7-V17

,解得：大=,JCs-（舍）,

PNND3—xx—24'4

綜上所述，BE的長為3或竽

【例6】半角模型.

根據(jù)半角模型結(jié)論可知EF=AE+CF,

：./\EDF的周長等于DA+DC=4,

故尸的周長為4.

【例7】半角模型.

EF=BE+DF=5,設(shè)正方形邊長為x,則CE=x-2,CF=x-3,

勾股定理得：（X-2）2+（X-3）2=52,解得k6或-1（舍）,

故AH=AB=6,AH的長為6.

【例8】顯然4ABE絲Z\AFE,易證AAGF畛ZXAGD,

ZE4G=-ZBAD=45°,故結(jié)論①正確；

2

若FG=FC,則點F是EG邊中點，顯然不成立，故結(jié)論②錯誤;

連接FC,

VBE=-BC,可得點G是CD邊中點，...GD=GC=GF,ZGFC+ZGCF=ZDGF=2ZAGF,

3

/GFC=NAGF,；.FC〃AG.故結(jié)論③正確；

113372

故結(jié)論④錯誤.

SCFC=-2￡C-CG=2-x8x6=24,5rFr=5-SrFr=5-x24=5—14,

綜上，正確的個數(shù)有2個，故選B.

【例9】

(1)易證4DAE^4DCG,；.NDCG=NDAE=90°,ACDlCG.

(2)易證NMEN=NMGF=NCDG=NADE

易證^FME絲Z\FMG,；.ME=MG,ZFEM=ZFGM,

.,.△EMN^AGMH,，MN=MH.

.MNMHFH

-=tanZMEN=-

~DEEF3

—的值為L

EM3

（3）不可能.

VZEDF=45°,易證EM=AE+CN,若EM=L則AE+CM='，

22

則BE+BM=L,：.EM=BE+BM,

2

又在aBEM中，又...不可能.

【例10]根據(jù)條件可知：ZDAG=ZDCG^ZABE,易證AG-LBE,即乙448=90°,

所以H點軌跡是以AB為直徑的圓弧

當(dāng)。、H、。共線時，OH取到最小值，勾股定理可求.

【例11](1)BE=x,則AE=