2021年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之突破訓(xùn)練《十：銳角三角函數(shù)》解析

1.在RtAABC中，各邊都擴(kuò)大3倍，則角A的正弦值（）

A.擴(kuò)大3倍B.縮小3倍C.不變D.不能確定

【答案】C

【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義

【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，可得答案.

【解答】解：由題意，得

RtAABC中，各邊都擴(kuò)大3倍，則角A的正弦值不變，

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，利用銳角三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.

2.在RtAABC中，NC=90。，當(dāng)已知NA和“時，求c,應(yīng)選擇的關(guān)系式是（）

A.c=———B.c=———C.c=tztianAD.c=———

sinAcosAtanA

【考點(diǎn)】71：銳角三角函數(shù)的定義

【分析】作出圖形，然后根據(jù)銳角的正弦等于對邊比斜邊解答.

【解答】解：如圖，?.?己知Z4和a,求c,

.,.sinA=—，

c=------

sinA

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余

弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊，作出圖形更形象直觀.

3.如圖，AA8C中，=90°,BC=2AB,則sinC=（）

百1,2君?

?------DR.---------U.------

2255

【考點(diǎn)】71：銳角三角函數(shù)的定義

【專題】55E：解直角三角形及其應(yīng)用；66：運(yùn)算能力

【分析】解直角三角形即可得到結(jié)論.

【解答】解：???8C=2AB,

.,.設(shè)AB=a,BC=2a,

AC=^AB~+BC'=&,

AC逝a5

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

4.在4x4的正方形的網(wǎng)格中畫出了如圖所示的格點(diǎn)&4BC,則tanNABC的值為（）

A.嫗

o2舊3

D.-------------C.D

13132-1

【答案】D

【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義

【專題】網(wǎng)格型

【分析】首先過點(diǎn)A向CB引垂線，與CB交于。,表示出80、AD的長，根據(jù)tanA=NA

的對邊：N4的鄰邊可算出答案.

【解答】解：過點(diǎn)A向CB引垂線，與C8交于

在A的是直角三角形,

?/BD=3,AD—2,

tanZABC=-=-

DB3

【點(diǎn)評】此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，關(guān)鍵是掌握正切：銳角A的對邊。與鄰邊8

的比叫做NA的正切，記作tanA.

5.在AA8C中，ZC=90°,cosA=-,那么sinA的值等于()

343

A.-B,-C.-

554

【考點(diǎn)】T3：同角三角函數(shù)的關(guān)系

【分析】根據(jù)公式。。524+5皿24=1解答.

3

【解答】解：Yeos?4+sin2A=1,cosA=—，

5

?2.916

..sinA=1-----=—，

2525

/.sinA=±或sinA=--.

55

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查公式cos24+sin2A=1的利用.

6.已知sinacosa=！,且0。＜二＜45。，則sina-cosa的值為（）

8

73-3

A.B.--C.-D.±—

"T242

【考點(diǎn)】T3：同角三角函數(shù)的關(guān)系

【分析】把已知條件兩邊都乘以2,再根據(jù)sir?。+cos2a=1,進(jìn)行配方，然后根據(jù)銳角三

角函數(shù)值求出cos。與sina的取值范圍，從而得到sina-cosav0,最后開方即可得解.

【解答】ft?：vsinacosa=-,

8

/.2sinaftosa=—,

4

/.sin2a+cos2a一2sinaliosa=1——，

4

3

即(sina-cosa)2=—,

?/0°<a<45°,

V2、仆.戈

——<cosa<1,0<sincr<—

22

/.sina—cosor<0,

??出

..sincr-coscr=------.

2

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了同角的三角函數(shù)的關(guān)系，利用好sira+cos2a=1,并求出

sina-cosa<0是解題的關(guān)鍵.

7.在RtAABC中，ZC=90°,下列式子中不一定成立的是()

A.tanA=^^B.sin2A+sin2B=1

cosA

C.sin2A+cos2A=lD.sinA=sin8

【考點(diǎn)】T4：互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系；73：同角三角函數(shù)的關(guān)系

【專題】64：幾何直觀；69：應(yīng)用意識

【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系式直接進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系：tanA=—,sin2A+cos2A=l,

cosA

sinB=sin(90°-NA)=cosB,可知只有。不正確.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了同角的三角函數(shù)的關(guān)系.

8.在RtAABC中NC=90。，ZA>ZB、NC的對邊分別為“、b、c,c=3a,tanA的值

為()

172r~

A.-B.—C.V2D.3

34

【考點(diǎn)】71：銳角三角函數(shù)的定義

【專題】66：運(yùn)算能力；1：常規(guī)題型

【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案.

【解答】解：由題意可知：sinA=-=—=-,

c3a3

“1夜

..tanA=—=—,

2V24

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用銳角三角函數(shù)的定義，本題屬于基

礎(chǔ)題型.

9.如圖，A48C內(nèi)接于口。，A3為□。的直徑，交BC于點(diǎn)E,若DE=2,0E=3,則

tanCDanB=()

A.2B.3C.4D.5

【考點(diǎn)】M4：三角形的外接圓與外心；71：銳角三角函數(shù)的定義

【專題】16：壓軸題

【分析】由￡）E=2,OE=3可知AO=OO=OE+EQ=5,可得AE=8,連接3D、CD,

可證NB=NAOC,ZC=ZADB,NDBA=NOG4=90。，將tanC,tan8在直角三角形

中用線段的比表示，再利用相似轉(zhuǎn)化為已知線段任的比.

DE

【解答】解：連接3。、CD,由圓周角定理可知N8=NAOC,NC=/ADB,

MBESACDE,故CEsbBDE,

.ABBEAEACCEAE

~CD~^E~~CE'BD-DE-BE?

由AD為直徑可知/DBA=ZDCA=90°,

?；DE=2,OE=3f

：.AO=OD=OE-^-ED=5,AE=8,

AB任BEABAEf：E

tanGtanB=tanZAZ)B；tanZADC=空旦4

BDCD~DEDE~CDBD~CEDEDE2

【點(diǎn)評】求銳角的三角函數(shù)值的方法：利用銳角三角函數(shù)的定義，或者利用同角的三角函數(shù)

關(guān)系式求三角函數(shù)值.

10.在R3ABC中，ZC=90°,下列結(jié)論正確的是（）

A.sinA=sin8B.sinA=cosB

C.tanA=tanBD.sinA+sinB=sinC

【考點(diǎn)】T4：互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系

【專題】66：運(yùn)算能力；554：等腰三角形與直角三角形

【分析】根據(jù)互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系直接作答.

【解答】解：A、當(dāng)A=5時，該等式成立，故本選項不符合題意.

B、由于4=90。-8,所以sinA=cos8,故本選項符合題意.

C、當(dāng)4=3時，lan4=tan8,故本選項不符合題意.

D、sinA+sinfi*sinC,故本選項不符合題意.

故選：B.

【點(diǎn)評】考查了互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系，在直角三角形中，NA+NB=90。時，正余弦之

間的關(guān)系為：

①一個角的正弦值等于這個角的余角的余弦值，即sinA=cos（90°-NA）；

②一個角的余弦值等于這個角的余角的正弦值，即cosA=sin（90°-ZA）；

也可以理解成若NA+NB=90°,那么sinA=cos8或sinB=cosA.

11.在RtAABC中，NC=90。，如果sinA=1，那么sinB的值是（）

3

A.垣B.2夜C.—D.3

34

【考點(diǎn)】T4：互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系

【專題】33：函數(shù)思想

【分析】一個角的正弦值等于它的余角的余弦值.

【解答】解：:RtAABC中，ZC=90°,sinA=-,

NA+N8=90°,

.,2夜

sinBD=cosA=------.

3

故選：A.

【點(diǎn)評】此題考查的是互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系，屬基礎(chǔ)題，掌握正余弦的這一轉(zhuǎn)換關(guān)系:

一個角的正弦值等于它的余角的余弦值.

12.若cosa=,，則銳角a的度數(shù)是（）

2

A.30°B.45°C.60°D.90°

【考點(diǎn)】T5：特殊角的三角函數(shù)值

【分析】根據(jù)cosa='，求出銳角a的度數(shù)即可.

2

【解答】ft?：vcosa=—,

2

/.a=60°.

故選：c.

【點(diǎn)評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關(guān)鍵是掌握幾個特殊角的三角函數(shù)值.

13.cos30。的相反數(shù)是（）

【考點(diǎn)】T5：特殊角的三角函數(shù)值

【專題】11：計算題

【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得出cos30。的值，然后根據(jù)相反數(shù)的定義可

得出答案.

【解答】解：?.?cos30o=正，

2

，它的相反數(shù)為-正.

2

故選：C.

【點(diǎn)評】此題考查了特殊角的三角函數(shù)值，特殊角的三角函數(shù)值是需要我們熟練

記憶的內(nèi)容，一定要掌握.

14.sin45。+cos45。的值為（）

A.1B.2C.V2D.2夜

【答案】C

【考點(diǎn)】75：特殊角的三角函數(shù)值

【專題】66：運(yùn)算能力；511：實數(shù)

【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入得出答案.

【解答】解：原式=坐+也

22

故選：C.

【點(diǎn)評】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵.

15.己知sinA=0.9816,運(yùn)用科學(xué)計算器求銳角A時，按下的第一個鍵是（）

【答案】D

【考點(diǎn)】計算器-三角函數(shù)

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識；數(shù)感

【分析】根據(jù)計算器求銳角的方法即可得結(jié)論.

【解答】解:?.?已知sinA=0.9816,運(yùn)用科學(xué)計算器求銳角A時的按鍵順序是:2ndF,sin,

0.9816,

按下的第一個鍵是2〃dF.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了計算器-三角函數(shù)，解決本題的關(guān)鍵是熟練利用計算器.

16.如圖，在中，ZACB=90°,ZABC=26°,BC=5.若用科學(xué)計算器求邊AC的

長，則下列按鍵順序正確的是（）

A

）

RC

A囪目畫團(tuán)同目囪日回回回目

c.0HH00S

【考點(diǎn)】T6：計算器-三角函數(shù)

【專題】66：運(yùn)算能力：64：兒何直觀

【分析】根據(jù)正切函數(shù)的定義，可得tan/B=4G,根據(jù)計算器的應(yīng)用，可得答案.

BC

【解答】解：由tan/B=4^,得

BC

AC=BCItanB=5xtan26.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了計算器，利用了銳角三角函數(shù)，計算器的應(yīng)用，熟練應(yīng)用計算器是解題

關(guān)鍵.

17.如圖，在等腰RtAABC中，ZC=90°,AC=6,。是AC上一點(diǎn)，若tanNOBC=*,

3

則AD的長為（）

A

DL\

B

A.2B.4C.72D.-

2

【考點(diǎn)】Tl：解直角三角形

【分析】先由等腰直角三角形的性質(zhì)得出8C=AC=6,再解RtADBC,求出。C的長，然

后根據(jù)AO=AC-DC即可求解.

【解答】解：在等腰RtzXABC中，vZC=90°,AC=69

BC=AC=6.

在RtADBC中，vZC=90°,

DC2

tanZZ）BC=—=一，

BC3

/.DC=-BC=4,

3

AD=AC-DC=6-4=2.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解

直角三角形.也考查了等腰直角三角形的性質(zhì).

18.如圖，市政府準(zhǔn)備修建一座高A8=6〃i的過街天橋，已知天橋的坡面AC與地面8c的

夾角NACB的余弦值為則坡面AC的長度為（）

A.—mB.10，"C.D.—^-in

22

【考點(diǎn)】T8：解直角三角形的應(yīng)用

【分析】在RtAABC中，通過己知邊和已知角的余弦值，即可計算出未知邊AC的長度.

nr4

【解答】解：由在RtAABC中，cosZACB=—=-,

AC5

設(shè)BC=4x,AC=5x,

則AB=3x,

AR7

則sinNACB=—二二；

AC5

又vAB=6m,

AC=10/n；

故選：B.

【點(diǎn)評】此題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握直角三角形中邊角之間的關(guān)系是解答

此類題目的關(guān)鍵.

19.河堤橫斷面如圖所示，A8=10米，tan/BAC=半，則AC的長是（）米.

A.5若B.10C.15D.105/3

【考點(diǎn)】78：解直角三角形的應(yīng)用

【專題】11：計算題；55E：解直角三角形及其應(yīng)用

【分析】可由tanNB4C=日得到BC、AC間關(guān)系，利用勾股定理求AC；也可由

tanABAC=與得到NBAC的度數(shù)，利用該角的余弦函數(shù)及余弦值求AC；

【解答】解：法一：在RtAABC中，

?MBACA力,

AC3

3

VAC2+BC2=AB2

即AC2+-AC2=1O2

3

二.AC=5力某輪船由西向東航行，在力處測得小島P的方位是北偏東75°,繼續(xù)航行7海

里后，在8處測得小島尸的方位是北偏東60°,則此時輪船與小島P的距離8P=

A.7海里B.14海里C.3.5海里D.4海里

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用.

【答案】A

【分析】先過戶作的垂線P。，在直角△8PO中可以求得/為。的度數(shù)是30°,即

可證明△NPB是等腰三角形，即可求解.

【解答】解：過尸作PZ）_L/8于點(diǎn)。，

:NPBD=90°-60°=30°

且NPBD=NP4B+N4PB,/以8=90-75=15°

:.NR4B=NAPB,

：.BP=AB=1.

【點(diǎn)評】此題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，解一般三角形的問題一般可以轉(zhuǎn)化為解直

角三角形的問題，解決的方法就是作高線.正確證明A/PB是等腰三角形是解決本題的

關(guān)鍵.

21.如圖，電線桿的高度為CD=m,兩根拉線4c與BC互相垂直，若NCA8=a,則拉線

8c的長度可以表示為（）

sinacosatana

【答案】B

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識

【分析】根據(jù)同角的余角相等得NCW=NBCL>，由cosZBC￡>=—,即可求出BC的長度.

BC

【解答】解：?.?NCAD+NACO=90。，ZACD+ZBCD=90°,

/CAD=/BCD,

CD

在RtABCD中，cosNBCD=—,

BC

m

:.BC=—―

cosZBCDcosa

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握同角的余角相等和三角函數(shù)的定義是

解題的關(guān)鍵.

22.小甬和小真兩位同學(xué)來到體育館前一個半圓形公益廣告牌前，廣告牌如圖所示，兩位同

學(xué)認(rèn)為如果要測得廣告牌的半徑，按以下方案獲取數(shù)據(jù)后即可求得：他們先測得廣告牌的影

長為12米，然后小甬讓小真站立，測得小真的影長為2.4米，已知小真同學(xué)身高為1.6米,

,玉米

C.（9萬-27）米

【專題】55E：解直角三角形及其應(yīng)用；55C：與圓有關(guān)的計算；69：應(yīng)用意識

【分析】如圖，設(shè)圓心為。，。8是半徑，點(diǎn)F是光線。尸與半圓的切點(diǎn)，延長8。交。/于

A,過點(diǎn)8作交。廠的延長線于E,設(shè)。尸=OB=x米.求出求出8E=EF=8,

再利用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題.

【解答】解：如圖，設(shè)圓心為。，08是半徑，點(diǎn)尸是光線OF與半圓的切點(diǎn)，延長8。交。F

于4,過點(diǎn)8作破_L/W交/的延長線于E,設(shè)OF=OB=x米.

由題意C￡）=AB=12米,

BE1.6

,'AB~2A'

BE=8米，

vEF,EB都是切線，

EF=EB=8,

在RtAABE中，AE=A/AB2+B￡：2=^122+82=4>/13,

ZOAF=ZEAB,ZAFO=ZABE=90°,

,OF_AF

x4g-8

?-=-----------,

…812

8V13-16

..x-t

3

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形，切線長定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)

鍵是理解題意，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題.

23.如圖，一塊三角形空地上種草皮綠化，已知AB=20米，AC=30米，NA=150。，草皮

的售價為a元/米一則購買草皮至少需要（）

A.450a元B.225a元C.150a元D.300a元

【考點(diǎn)】T8：解直角三角形的應(yīng)用

【分析】作54邊的高C。，設(shè)與區(qū)4的延長線交于點(diǎn)￡）,則ND4C=30。，由AC=30〃?，

求出CO=15〃?，然后根據(jù)三角形的面積公式推出AABC的面積為150加，最后根據(jù)每平

方米的售價即可推出結(jié)果.

【解答】解：如圖，作34邊的高C。，設(shè)與朋的延長線交于點(diǎn)D,

;NBAC=150。，

ZDAC=30°,

,:CD_LBD,AC=30〃z,

CD=15/T?,

vAB=20/〃,

2

■■-SMBC=-ABxCD=-x20xl5=150/n,

?.?草皮的售價為a元/米，

購買這種草皮的價格：150a元.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，三角形的面積公式，含30度角的直角三角形的

性質(zhì)，關(guān)鍵在于作出4?邊上的高，根據(jù)相關(guān)的性質(zhì)推出高C。的長度，正確的計算出

AABC的面積.

24.如圖，某停車場人口的欄桿，從水平位置AB繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)到A'笈的位置已知AO=4〃i,

若欄桿的旋轉(zhuǎn)角乙4。4'=50。時，欄桿A端升高的高度是（）

sin50°cos50°

【考點(diǎn)】TS：解直角三角形的應(yīng)用

【專題】69：應(yīng)用意識；55￡：解直角三角形及其應(yīng)用

【分析】根據(jù)直角三角形的解法解答即可.

【解答】解：欄桿A端升高的高度=AOI§nNAOA'=4xsin50°,

故選：B.

【點(diǎn)評】此題考查解直角三角形，關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形的三角函數(shù)解答.

25.如圖，河壩橫斷面迎水坡AB的坡比為1:百，壩高BC=3"z,則45的長度為（）

A.6mB.3\[3mC.9mD.6\f3m

【答案】A

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題

【專題】應(yīng)用意識；解直角三角形及其應(yīng)用

【分析】根據(jù)坡度的概念求出AC,根據(jù)勾股定理求出

【解答】解：?.■迎水坡43的坡比為1：力，

BC131

——--7=,即Hn——=~i=，

AC舊AC73

解得，AC=,

由勾股定理得，AB=4BC2+AC2=6(//?),

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，掌握坡度的概念是解題的關(guān)鍵.

26.某游樂場新推出了一個“極速飛車”的項目.項目有兩條斜坡軌道以滿足不同的難度需

求，游客可以乘坐垂直升降電梯回自由上下選擇項目難度.其中斜坡軌道8c的坡度為

z=l：2,8c=12百米，C￡>=8米，NO=36。，則垂直升降電梯4J的高度約為()米.為

z=l:2,得

BE:CE=\:2.

設(shè)BE=xm,CE=Ixm.

在R3BCE中，由勾股定理，得

BE2+CE2=BC2,

即爐+(2x)2=(12百)2,

解得x=12,

BE=12m,CE-24/n,

DE=DC+C￡=8+24=32/n,

由tan36°*0.73,得

—=0.73,

DE

解得AE=0.73x32=23.36根.

由線段的和差，得

AB=AE-BE=23.36-12=11.36?11.4/n,

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，利用勾股定理得出CE,3E的長是解題關(guān)鍵，

又利用了正切函數(shù)，線段的和差.

27.如圖，在地面上的點(diǎn)A處測得樹頂3的仰角為a度，AC=1m,則樹高8。為（)

7

B.7cosaC.7tanaD.

tana

【答案】C

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題

【分析】根據(jù)正切的概念進(jìn)行解答即可.

【解答】解：在RtAABC中，tana=—,

AC

則BC=AC\tana==1tanam,

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，掌握以仰角俯角的概念以及銳

角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

28.如果小麗在樓上點(diǎn)4處看到樓下點(diǎn)3處小明的俯角是35。，那么點(diǎn)8處小明看點(diǎn)A處小

麗的仰角是（）

A.35°B.45°C.55°D.65°

【答案】A

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力

【分析】根據(jù)兩點(diǎn)之間的仰角與俯角正好是兩條水平線夾角的內(nèi)錯角，應(yīng)相等即可得結(jié)論.

【解答】解：因為從點(diǎn)A看點(diǎn)B的仰角與從點(diǎn)8看點(diǎn)A的俯角互為內(nèi)錯角，大小相等.

所以小麗在樓上點(diǎn)A處看到樓下點(diǎn)8處小明的俯角是35°,

點(diǎn)5處小明看點(diǎn)A處小麗的仰角是35。.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，解決本題的關(guān)鍵是掌握仰角與俯

角的定義.

29.如圖，在熱氣球C處測得地面A、3兩點(diǎn)的俯角分別為30。、45°,熱氣球C的高度C。

為100米，點(diǎn)A、D、8在同一直線上，則兩點(diǎn)的距離是（)

B.2006米C.220b米D.100(g+1)米

【考點(diǎn)】TA-.解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題

【分析】在熱氣球C處測得地面3點(diǎn)的俯角分別為45。，8。=8=100米，再在RtAACD中

求出AZ）的長，據(jù)此即可求出A3的長.

【解答】解：?.?在熱氣球C處測得地面8點(diǎn)的俯角為45。，

80=CO=100米，

?.?在熱氣球C處測得地面A點(diǎn)的俯角為30。，

,AC=2x100=200米，

AD=>/2002-1002=100百米,

AB=AD+3。=100+100?=100（1+6）米，

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用--仰角、俯角問題，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直

角三角形并解直角三角形.

30.如圖，垂直于水平面的5G信號塔建在垂直于水平面的懸崖邊8點(diǎn)處，某測量員從

山腳C點(diǎn)出發(fā)沿水平方向前行78米到D點(diǎn)，再沿斜坡DE方向前行78米到E點(diǎn)，在點(diǎn)E處

測得5G信號塔頂端A的仰角為43。，懸崖8c的高為144.5米，斜坡3E的坡度i=1:2.4,

則信號塔的高度約為（）

,=1:2.4可設(shè)EF=x，則。尸=2.4x,利用勾股定理求出x的值，進(jìn)而可得出所與DF的長，

故可得出CF的長.由矩形的判定定理得出四邊形EFCM是矩形，故可得出EM=FC,

CM=EF,再由銳角三角函數(shù)的定義求出AM的長，進(jìn)而可得出答案.

【解答】解：過點(diǎn)E作EF_LOC交OC的延長線于點(diǎn)尸，過點(diǎn)E作EMJ.AC于點(diǎn)”，

DC

?.?斜坡OE的坡度i=1:2.4,￡>E=CZ)=78米，

.?.設(shè)EF=x,則力尸=2.4x.

在RtADEF中，

222

???EF-+DF=DE,即x+(24x)2=782,

解得，x=30,

.?.EF=30米，OF=72米，

CF=￡>尸+OC=72+78=150米.

EM1AC,AC1CD,EFLCD,

四邊形EFC歷是矩形，

EM=CF=150米，CM=EF=30米.

在RtAAEM中,

?：ZAEM=43°,

AM=EM\tan43。=150x0.93=139.5米，

:.AC=AM+CM=139.5+30=169.5米.

AB=AC-BC=\69.5-144.5=25米.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出

直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.

二、填空題

31.計算：2cos60°+tan45°=2.

【考點(diǎn)】T5：特殊角的三角函數(shù)值；2C：實數(shù)的運(yùn)算

【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入求出即可.

【解答】解：2cos60°+tan45°=2x1+1=2.

2

故答案為：2.

【點(diǎn)評】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.

32.比較sin80。與tan46。的大小，其中值較大的是_tan46。_.

【考點(diǎn)】T1-.銳角三角函數(shù)的增減性

【專題】55E：解直角三角形及其應(yīng)用

【分析】由sin80。＜sin90。=1及tan46°＞tan45°=l求解可得.

【解答】解：???sina隨a的增大而增大，且sin80。＜sin90。，

sin80°＜1,

?.?tana隨a的增大而增大,且tan46。＞tan45。，

tan46°＞1,

則tan46。＞sin80。，

故答案為：tan46。.

【點(diǎn)評】本題主要考查銳角三角函數(shù)的增減性，解題的關(guān)鍵是掌握正弦函數(shù)和正切函數(shù)的增

減性.

34

33.在&4BC中，ZC=90°,cosA=-,則tanA等于-.

5-3―

【考點(diǎn)】T3：同角三角函數(shù)的關(guān)系

【分析】根據(jù)cosA=?,設(shè)出關(guān)于兩邊的代數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)勾股定理求出第三邊長的表

5

達(dá)式即可推出tanA的值.

【解答】解：,.?cosA=3知，設(shè)〃=3x,則c=5x,根據(jù)〃之+b?=，得a=4x.

5

a4x4

tanA=—=—=—?

b3x3

故答案為：—.

3

【點(diǎn)評】本題考查了銳角三角函數(shù)定義的應(yīng)用，利用銳角三角函數(shù)的定義，通過設(shè)參數(shù)的方

法求三角函數(shù)值，或者利用同角的三角函數(shù)關(guān)系式求三角函數(shù)值.

34.在R3ABC中，ZC=90°,若tanA=3，則cosB的值是-.

4-5―

【考點(diǎn)】T4：互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系

【專題】11：計算題

【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)關(guān)系得出設(shè)3C=3x,AC=4xf故A8=5x,進(jìn)而得出答案.

【解答】解：如圖所示：?.?NC=90。，tanA=?,

4

BC3

——，

AC4

設(shè)BC=3x,AC=4x,故AB=5x,

故答案是:

【點(diǎn)評】此題主要考查了銳角三角函數(shù)關(guān)系，正確記憶銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵.

35.若cos°=3，則€(=45

2

【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；符號意識.

【答案】45.

【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值得出答案.

【解答】解：：cos°=瓜，

則a=45.

故答案為：45.

【點(diǎn)評】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵.

【考點(diǎn)】T3：同角三角函數(shù)的關(guān)系

【分析】根據(jù)已知條件設(shè)出直角三角形一直角邊與斜邊的長，再根據(jù)勾股定理

求出另一直角邊的長，運(yùn)用三角函數(shù)的定義解答.

4

【解答】解：由sinA=g知，可設(shè)。=4x,貝ljc=5x,b=3x.

故答案為：

【點(diǎn)評】本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系.求銳角的三角函數(shù)值的方法：利

用銳角三角函數(shù)的定義，通過設(shè)參數(shù)的方法求三角函數(shù)值，或者利用同角

的三角函數(shù)關(guān)系式求三角函數(shù)值.

37.在R3ABC中，已知N4c8=90°,BC=\,Afi=2,則cosA=—.

—2—

【考點(diǎn)】71：銳角三角函數(shù)的定義

【專題】66：運(yùn)算能力；55￡：解直角三角形及其應(yīng)用

【分析】首先畫出圖形，利用勾股定理計算出AC的長，再根據(jù)余弦定義可得答案.

【解答】解：?.?NAC8=90。，BC=\,AB=2,

AC=722-12=V3,

—生=立

AB2

故答案為:4,

【點(diǎn)評】此題主要考查了銳角三角函數(shù)定義，關(guān)鍵是掌握余弦：銳角A的鄰邊b與斜邊c的

比叫做NA的余弦，記作cosA.

38.已知：實常數(shù)〃、b、c>d同時滿足下列兩個等式：①asinO+Z2cos6-。=。；②

acosJ-bsin夕+4=0,則〃、b、cd之間的關(guān)系式是：_a2+b2=c2+d2_.

【考點(diǎn)】73：同角三角函數(shù)的關(guān)系

【分析】把兩個式子移項后，兩邊平方，再相加，利用sire+cos?6=1,即可找到這四個

數(shù)的關(guān)系.

【解答】解:由①得asine+Acos6=c,

兩邊平方，crsin20+b2cos20+2abs\n^cos3=c2(3)

由②得acosC-Z?sin，=一4,

兩邊平方，crcos20+b2sin20-2absin0cos3=d2④

③+④得

a2(sin20+cos20)+Z?2(sin20+cos20)=(r+d2

a2+b2=c2+d2.

故答案為：a2+b2=c2+d2.

【點(diǎn)評】本題考查了Sin2e+cos2e=1的應(yīng)用.

47

39.AA8C中，ZC=90°,tan/A=-,則sinA+cosA=-

3-5―

【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)的關(guān)系

A

【分析】根據(jù)tanA=2和三角函數(shù)的定義畫出圖形，進(jìn)而求出sinA和cosA的值，再求出

3

.3=生，

AC3

.?.設(shè)A8=5x,則8c=4%,

AC=3xf

則有：sinA+cosA=—+—=—+—=

ABAB5x5x5

故答案為：

5

【點(diǎn)評】此題考查了銳角三角函數(shù)的定義，只要畫出圖形，即可將正弦、余弦、正切函數(shù)聯(lián)

系起來，進(jìn)而得出結(jié)論.

40.在&4BC中，ZA.N3為銳角，且|tanA—l|+(g—cos8)2=0,則NC=75°.

【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對值；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方

【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出tan4和cosB的值，然后求出Z4、的度數(shù)，最后求出ZC.

【解答】解：由題意得，tanA=l,COS8=L

2

則NA=45°,ZB=60°,

貝ljZC=180°-45°-60°=75°.

故答案為：75.

【點(diǎn)評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關(guān)鍵是掌握幾個特殊角的三角函數(shù)值.

41.已知：四邊形A8CO,對角線AC,BD交于點(diǎn)、E,ABLBD于B,ZBCD+2AABC=360°,

BD=2,AC=V10,貝hanNAE8=3

BD

【考點(diǎn)】T7：解直角三角形

【專題】11：計算題

【分析】作CH-LBO于"，C于尸，如圖，先證明4=N2得到ABC。為等腰三角

形，^\BH=DH=-BD=\,再由四邊形3/C”為矩形得到CE=8H=1,則利用勾股定

2

理可計算出A尸=3,于是根據(jù)正切的定義得到tan乙4"=3,從而得到tan乙4石3的值.

【解答】解：作?！↗L8。于“，CFJ.A8于尸，如圖，

-ABA.BD,

CF//BD,ZABE=90°,

/.ZAEB=ZACF,

NBCD+2ZABC=360°,

即乙BCD+2(Z1+90°)=360°,

ZBCD+2Zl=180°,

而NBCD+N1+N2=18O。,

，Z1=Z2，

ABC。為等腰三角形，

:.BH=DH=-BD=l,

2

易得四邊形BFCH為矩形，

CF=BH=\,

在RtAACF中，AF=&M)2_f=3,

tanZ.ACF=3,

/.tanZ.AEB=3.

故答案為3.

【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解

直角三角形.靈活利用運(yùn)用勾股定理和銳角三角函數(shù).

42.如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，ZBAC_>_ZDAE.正方形網(wǎng)格中，乙408如圖放

置，則tanZAOB的值為2.

【考點(diǎn)】71：銳角三角函數(shù)的定義

【專題】24：網(wǎng)格型

【分析】根據(jù)正切定義：銳角A的對邊。與鄰邊人的比進(jìn)行計算即可.

CD

【解答】解：tanZAOB==2?

DO

故答案為：2.

工井

【點(diǎn)評】此題主要考查了正切定義，關(guān)鍵是正確掌握三角函數(shù)的定義.

44.如圖，&48c的頂點(diǎn)都是正方形網(wǎng)格中的格點(diǎn)，則cosNACb等于—

—10—

【專題】應(yīng)用意識；運(yùn)算能力；等腰三角形與直角三角形

【分析】根據(jù)題意，可以求得AC、AB,BC、CD的長，然后根據(jù)等積法可以求得AE的

長，再根據(jù)勾股定理即可得到CE的長，然后即可得到.

【解答】解：作CDLA8于點(diǎn)。，作AELBC于點(diǎn)￡,

由已知可得，AC=，『+3?—V10>AB=5,BC->/32+42=5,CD=3,

ABICDBCUAE

~2~—2~

5x35xAE

---=------,

22

解得AE=3,

:.CE=>]AC2-AE2=7(Vio)2-32=1,

..28=。=1=?,

ACVioio

【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

45.在RtAABC中，ZC=90°,D為BC上一點(diǎn),ZDAC=30°,BD=2,AB=273,貝ljAC

【考點(diǎn)】T7：解直角三角形

【專題】11：計算題；16：壓軸題

【分析】設(shè)CO=x，在RtAACD中，根據(jù)NDAC=30。的正切可求出AC.在RtAABC中,

根據(jù)勾股定理得到關(guān)于x的方程，解得X,即可求出AC.

【解答】解：設(shè)3x，則3品=限，

AC2+BC2=AB2,AC2+(CD+BD)2=AB2,

,■,(聞2+(x+2)2=(26)2,

解得，x=\,AC=>/3.

故答案為招.

【點(diǎn)評】本題主要考查解直角三角形的知識點(diǎn)，利用了勾股定理和銳角三角函數(shù)的概念求解.

46.有一種落地晾衣架如圖1所示，其原理是通過改變兩根支撐桿夾角的度數(shù)來調(diào)整晾衣桿

的高度.圖2是支撐桿的平面示意圖，和C。分別是兩根不同長度的支撐桿，夾角

NBOD=a.若AO=85的，BO=DO=65cm.當(dāng)a=74。時，較長支撐桿的端點(diǎn)A離

地面的高度％約為120an.如圖所示，九班數(shù)學(xué)課外活動小組在河邊測量河寬4?,他

們在點(diǎn)C測得NACB=30°，點(diǎn)D處測得^ADB=60°,CD=80w,則河寬AB約為69%

如果小明沿著坡度為1:2.4的山坡向上走了130米，那么他的高度上升了50米.

【答案】50.

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題

【專題】運(yùn)算能力；推理能力；應(yīng)用題；解直角三角形及其應(yīng)用

【分析】設(shè)他沿著垂直方向升高了x米，根據(jù)坡度的概念用x表示出他行走的水平寬度，根

據(jù)勾股定理計算即可.

【解答】解：設(shè)他沿著垂直方向升高了x米，

?.?坡比為1:2.4,

他行走的水平寬度為2.4x米，

由勾股定理得，f+(24x)2=1302,

解得，x=50,

即他沿著垂直方向升高了50米，

故答案為：50.

【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，解決本題的關(guān)鍵是掌握坡度坡角

的定義.

3

49.如圖，利用標(biāo)桿跳測量樓房的高度，如果標(biāo)桿座長為3.6米，若tan4==,

4

BC=19.2米，則樓高是18米.

\D

【考點(diǎn)】7