2021年中考數(shù)學(xué)-三輪沖刺：矩形、菱形(含答案)

2021中考數(shù)學(xué)三輪專題沖刺：矩形、菱形

一、選擇題

1.如圖，菱形ABCD的周長(zhǎng)為8cm,高AE長(zhǎng)為百cm,則對(duì)角線AC和BD長(zhǎng)之比為

A.l：2B.l；3C.l/V2D.l/V3

2.如圖所示，P是菱形ABCD的對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P垂直于AC的直線交菱形ABCD

的邊于M、N兩點(diǎn)，設(shè)AC=2,BD=1,AP=x,4AMN的面積為y,則y關(guān)于x的函數(shù)圖

象的大致形狀是（）

3.（2020?畢節(jié)）如圖，在矩形ABCO中，對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,尸分別是AO,

AO的中點(diǎn)，連接ER^AB=6cm,BC=8cm,則ER的長(zhǎng)是（）

A.2.2cmB.2.3cmC.2.4cmD.2.5cm

4.如圖，在口ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O.若增加一個(gè)條件，使口ABCD成為菱形，下

列給出的條件不巧砸的是（）

A.AB=ADB.AC±BD

C.AC=BDD.ZBAC=ZDAC

5.（3分）如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)O,AC=8.BD=6,點(diǎn)、E

是CD上一點(diǎn)，連接0E,若OE=CE,則0E的長(zhǎng)是（）

C.3D.4

6.（2020.樂(lè)山）如圖，在菱形ABCO中，AB=4,ZBAD=l20°,。是對(duì)角線的中點(diǎn)，過(guò)

點(diǎn)。作OE_LCO于E,連接QA,則四邊形AOEO的周長(zhǎng)為（）

B.9+小C.7+2小D.8

7.（2020.深圳）如圖,矩形紙片ABC。中，AB=6,BC=12.將紙片折疊，使點(diǎn)8落在邊AO

的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)G處,折痕為EE,點(diǎn)￡、E分別在邊A0和邊上.連接8G,交CO于點(diǎn)

K,FG交CD于點(diǎn)、H.給出以下結(jié)論:

①EF工BG；②GE=GF；③^GOK和△GK"的面積相等；④當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合時(shí)，ZDEF

=75°.其中1E頌的結(jié)論共有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

8.（2020?泰安）如圖，矩形A3CO中，AC,BO相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)B作3FLAC交CD于點(diǎn)R

交AC于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)。作OE〃鰭交AB于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)、N,連接EMEM.則下列結(jié)論：

①DN=BM；?EM//FN；?AE=FC；④當(dāng)AO=AO時(shí)，四邊形。E3F是菱形.其中，正確

結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

二、填空題

9.如圖，矩形ABCD的面積是15,邊AB的長(zhǎng)比AD的長(zhǎng)大2,則AD的長(zhǎng)是

□

A'-----------'B

10.如圖，在菱形ABCD中，E、F分別是AD、BD的中點(diǎn)，若EF=2,則菱形ABCD的周長(zhǎng)

為.

11.把圖①中的菱形沿對(duì)角線分成四個(gè)全等的直角三角形，將這四個(gè)直角三角形分別拼成如圖

②，圖③所示的正方形，則圖①中菱形的面積為.

圖K24-8

12.如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,且AC=8,BD=6,則菱形ABCD

的高DH=.

13.如圖，菱形ABCD的面積為120cm2,正方形AECF的面積為50cm1,則菱形的邊長(zhǎng)為

cm.

14.如圖，正方形ABCO的頂點(diǎn)C,A分別在x軸，y軸上，BC是菱形BDCE的對(duì)角線，若

ZD=60°,BC=2,則點(diǎn)D的坐標(biāo)是

15.如圖，延長(zhǎng)矩形ABCD的邊BC至點(diǎn)E,使CE=BD,連接AE.如果NADB=30。，則NE

=度.

16.如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6,BC=10點(diǎn)E在CD上，將△BCE沿BE折疊，點(diǎn)C

恰落在邊AD上的點(diǎn)F處；點(diǎn)G在AF上，將AABG沿BG折疊，點(diǎn)A恰落在線段BF上的

點(diǎn)H處.有下列結(jié)論：

3

①NEBG=45。；②△DEFs/^ABG；③SAABGJSAFGH;?AG+DF=FG.

其中正確的是.(把所有正確結(jié)論的序號(hào)都選上)

三'解答題

17.如圖，在菱形ABCO中，AC為對(duì)角線，點(diǎn)E,尸分別在AB,AD±.,BE=DF,連接EE

(1)求證:ACJLEf;

(2)延長(zhǎng)E/交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接BD交AC于點(diǎn)0,若8。=4,tanG=］求A。的長(zhǎng).

18.如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)0,ZABC：ZBAD=1：2,BE〃AC,CE

〃BD.

(1)求以〃NDBC的值；

(2)求證：四邊形0BEC是矩形.

E

19.如圖，A3是。。的直徑，OO_LAB于點(diǎn)。，連接D4交。。于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)。作。。的切線

交。。于點(diǎn)E,連接8C交。。于點(diǎn)￡

⑴求證:CE=EE

(2)連接AF并延長(zhǎng)，交。。于點(diǎn)G填空：

①當(dāng)NO的度數(shù)為時(shí)，四邊形EC/G為菱形；

②當(dāng)N。的度數(shù)為時(shí)，四邊形ECOG為正方形.

20.如圖，在菱形A8C0中，A3=5,sinNABO=方-，點(diǎn)P是射線8C上一點(diǎn)，連接AP交菱

形對(duì)角線8。于點(diǎn)E,連接EC

⑴求證：AABE會(huì)ACBE；

(2)如圖①，當(dāng)點(diǎn)尸在線段上時(shí)，且8P=2,求的面積；

(3)如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，若CELEP,求線段的長(zhǎng).

圖①圖②

21.如圖，在DABCO中，對(duì)角線AC與8。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E,F分別為OB,0。的中點(diǎn)，延

長(zhǎng)AE至G,使EG=AE,連接CG

⑴求證:△ABEgaCOE

⑵當(dāng)AB與AC滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形EGCT是矩形?請(qǐng)說(shuō)明理由.

AD

O

2021中考數(shù)學(xué)三輪專題沖刺：矩形、菱形?答案

一、選擇題

1.【答案】D［解桐由菱形ABC。的周長(zhǎng)為8cm得邊長(zhǎng)A3=2cm.又高AE長(zhǎng)為百cm,所以

ZABC=60°,所以△ABC,△AC。均為正三角形，AC=2cm,3O=2AE=2j5cm.故對(duì)角線AC

和長(zhǎng)之比為1；b，應(yīng)選D.

2.【答案】C【解析】本題考查菱形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的圖

象和性質(zhì).解題思路：設(shè)AC、BD交于點(diǎn)O,由于點(diǎn)P是菱形ABCD的對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，

APMNxMN1

所以0VxV2.當(dāng)OVxVl時(shí)，△AMNsaABDn)=^K=7=-r=MN=x=y=7x2.此二次

AUDU11，

函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸是x=0,此時(shí)y隨x的增大而增大.所以B和D均不符合條件.當(dāng)

l<x<2時(shí)，△CMNsZM2BD=;^=薪=-j-=>MN=2—x=y=5x(2—x)=-5x2+x.

此二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱軸是x=l,此時(shí)y隨x的增大而減小.所以A不符合條件.綜

上所述，只有C是符合條件的.

3.【答案】D,

【解析】本題考查矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理..

解：矩形A8CD中，"：AB=6cm,：.DC=6cm,'：ZBCD=90°,BC=8cm,：.BD=IO.

??,對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)O,.?.0。=」8。=5.?.,點(diǎn)E,尸分別是AO,AD的中點(diǎn)，.?.所

2

=2.5.故選D.

4.【答案】C【解析】鄰邊相等的平行四邊形是菱形，所以A正確；對(duì)角線互相垂直的平行

四邊形是菱形，所以B正確；對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，所以C錯(cuò)誤；由NBAC=ND4C

可得對(duì)角線是角平分線，所以D正確.

5.【答案】B

【解析】根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分求出OB,OC,AC±BD,然后利用勾股定理列式求

出BC,最后根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求解即可.

???菱形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,

1111.

OB=1BD=^x6=3fOA=OC="=2X8=4,ACLBD,

由勾股定理得，BC=^OB2+OC2=p+42=5,

：.AD=5,

"：OE=CE,

：.ZDCA=ZEOC,

?..四邊形ABC。是菱形，

：.ZDCA=ZDAC,

：.ZDAC=ZEOC,

：.OE//AD,

\'AO=OC,

：.OE是△AOC的中位線，

1

OE=/￡>=2.5.

6.【答案】B

【解析】由已知及菱形的性質(zhì)求得NABO=NCDB=3（F,AO1BD,利用含30。的直角三角形

邊的關(guān)系分別求得A。、DO、OE、DE,進(jìn)而求得四邊形AOE。的周長(zhǎng)?四邊形ABC。是菱

形，。是對(duì)角線AC的中點(diǎn),：.AOLBD,AD=AB=4,AB//DC；VZBAD=120°,/.ZABD

=NADB=NCDB=30。；VOE±DC,.,.在RraA。。中，AD=4,AO=^AD=2,DO=

NAD2-AO2=2小;在RfZ\￡>EO中，OE=3（）D=5,DE-=yjAD2-AO2=3,，四邊形AOEO

的周長(zhǎng)為AO+OE+DE+AO=2+小+3+4=9+小.

7.【答案】C

【解析】由軸對(duì)稱可知，B、G關(guān)于EF對(duì)稱，E尸垂直平分BG,故①正確；又由矩形A8CO

知，AD〃BC,：./GEF=NBFE,連接BE,NBEF=/GEF,：./BEF=/BFE,：.BE=BF,

而B(niǎo)E=GE,BF=GF,：.GE=GF,故②正確；由8E=GE=BE=G尸知，四邊形BEG尸是菱

形，，GK平分NOGH,而DG<GH,:.DK,KH,：.S&GD#S&GKH,故③錯(cuò)誤；當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)C

工人一,180°—NAE3

重合時(shí)，BF=BC=n,：.BE=U,而AB=6,.?.NAEB=30°,.?.NGEf=-----------------=75°,

故④正確；因此本題選C.

8.【答案】D

【解析】本題考查了矩形的性質(zhì)、三角形全等的條件與性質(zhì)、等邊三角形的條件與性質(zhì)、平行

四邊形的條件與性質(zhì)以及菱形的判定方法，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以AB=CD,AD=BC,

AD〃BC,所以NDAN=NBCM.因?yàn)锽FLAC,DE//BF,所以DELAC,即ZAND=ZCMB=90°,

所以△ADNgZ\CBM,所以DN=BM,ZAND=ZCBM,則4ADE之ACBF,所以AE=CF、

DE=BF,所以NE=MF,即①②③都是正確的，由AE=CF、AB=CD,所以BE=DF,所以四邊

形AEBF是平行四邊形.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以AO=DO,因?yàn)楫?dāng)時(shí)，

AO=DO=AO,所以△ADO是等邊三角形，所以NAND=ZBDE=30°，所以NBDE=ZABD=30°,

所以DE=BE,所以四邊形DEBF是菱形，則④也是正確的，因此本題選D.

二、填空題

9.【答案】3【解析】本題主要考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題.設(shè)AD=x,由題知，AB

=x+2,又?.?矩形ABCD的面積為15,則x(x+2)=15,得到x?+又一15=0,解得，xi=-

5(舍)，X2=3,/.AD=3.

10.【答案】16【解析】VE,F分別是AD,BD的中點(diǎn)，；.AB=2EF=4,...菱形ABCD周

長(zhǎng)是4AB=16.

11.【答案】12［解析］設(shè)圖①中小直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a,b(b>a),則由圖②，圖③

可列方程組f+b=5,解得,二

所以菱形的面積S=*x6=12.故答案為12.

=1,［b=3,

12.【答案】48【解析】?.,$菱形=gACBD=2ABDH,，AC?BD=2ABDH.?四邊形ABCD

是菱形，??.NAOB=90。，AO=1AC=4,BO=1BD=3,/.^E^AAOB中，AB=^42+32=5,

.8x6

.,.DH=Z-7=4.8.

13.【答案】13【解析】如解圖，連接AC、BD交于O,則有g(shù)AC-BD=120,...AC?BD=240,

又..?菱形對(duì)角線互相垂直平分，，2OA?2OB=240,二OA-OB=60,VAE2=50,OA2+OE2

=AE2,OA=OE,；.OA=5,AOB=12,AAB=^OA2+OB2=^/122+52=13.

14.【答案】(/+2,7)【解析】如解圖，過(guò)點(diǎn)D作DGLBC于G,DF_Lx軸于F,?在菱形

BDCE中，BD=CD,/BDC=60°,Z\BCD是等邊三角形，，DF=CG=^BC=1,CF=DG

=小，.*.OF=V3+2,，D(小+2,1).

15.【答案】15【解析】如解圖，連接AC「.?四邊形ABCD是矩形，...AD=BC,AC=BD,

又?.,AB=BA,.'.△DAB?△CBA(SSS),/.ZACB=ZADB=30°,VCE=BD,/.AC=CE,

/.ZE=ZCAE=|ZACB=15°.

--

RC田解圖

16.【答案】西@【解析】由折疊的性質(zhì)得，NCBE=NFBE,NABG=NFBG,，NEBG

=ZFBE+ZFBG=^X90°=45°,故①正確；由折疊的性質(zhì)得，BF=BC=10,BA=BH=6,

.*.HF=BF-BH=4,AF=A/BF2-BA2=^/102-62=8,設(shè)GH=x,則GF=8-x,在心△GHF

中，X2+42=(8-X)2,/.X=3,.*.GF=5,/.AG=3,同理在汝△FDE中,由FDZMEFZ-ED?,

/口810.ED4AB.人,_1,

得ED=§,EF=y,AFD=3^AG=2,??△def^aABG不相似，故②不正確；SMBG=]X3X6

=9,SAFGH=1X3X4=6,SA，BG、=:93

/.c7=9,故③正確；,；AG=3,DF=AD—AF=2,；.FG=5,

bz\FGH0Z

...AG+DF=FG=5,故④正確.綜上，答案是①③④.

三、解答題

17.【答案】

解:(1)證明:???四邊形ABCD為菱形,

：.AB=AD,AC平分NBAD

?；BE=DF,：.AB-BE=AD-DF,

：.AE=AF,

...△AEF是等腰三角形，

YAC平分NBA。，：.AC1EF.

（2）...四邊形ABC。為菱形，

：.CG//AB,B0=-BD=2,

2

易知EF//BD,

四邊形EBDG為平行四邊形，

ZG=ZABD,tanZABD=tanZG=-,

2

/.tanZABD----=~,."0=1.

BO22

18.【答案】

（1）【思路分析】根據(jù)四邊形ABCD是菱形，ZABC：ZBAD=1：2,可求出NDBC的度數(shù),

其正切值可求出.

解：?.?四邊形ABCD是菱形，

，AD〃BC,ZDBC=|ZABC,

NABC+NBAD=180。，

又YNABC:ZBAD=1：2,

AZABC=60°,（2分）

ZDBC=|ZABC=3O°,

J3

：.tanZDBC=tan30°=羊（3分）

（2）【思路分析】由BE〃AC,CE〃BD可知四邊形BOCE是平行四邊形，再結(jié)合菱形對(duì)角線

垂直的性質(zhì)即可證明四邊形BOCE是矩形.

證明：?.?四邊形ABCD是菱形，

.*.AC±BD,即ABOC=90°,（4分）

VBE//AC,CE〃BD,

，BE〃OC,CE〃OB,

二四邊形OBEC是平行四邊形，且NBOC=90。，

二四邊形OBEC是矩形.（5分）

方法指導(dǎo)1（1）要求一個(gè)角的正切值,可通過(guò)相關(guān)計(jì)算先求得角的度數(shù)，再求其正切值，這種情

況往往所求角度為特殊值；或者將該角置于直角三角形中，通過(guò)求直角三角形邊長(zhǎng)來(lái)，求其正

切值.（2）矩形的判定：①平行四邊形十有一個(gè)角是直角；②平行四邊形十對(duì)角線相等；③四

邊形的三個(gè)角是直角.

19.【答案】

解:⑴證明:連接0C.

?.?CE是。。的切線，OC±CE.

：.ZFCO+ZECF=90°.

'：DOLAB,：.ZB+ZBF0=9Q°.

■:4CFE=NBF0,

：.ZB+ZCFE=90°.

VOC=OB,：.ZFCO=ZB.

：.ZECF=ZCFE.

：.CE=EF.

(2)?..AB是。。的直徑，AZACB=9Q°.

：.ZDCF=90°.

:.NDCE+NECF=90。,ZD+ZEFC=90°.

由(1)得/EC/=NCFE,

：.ZD=ZDCE.

：.ED=EC.

：.ED=EC=EF.

即點(diǎn)E為線段。f的中點(diǎn).

①四邊形ECFG為菱形時(shí)，CF=CE.

'：CE=EF,：.CE=CF=EF.

...△CEF為等邊三角形.

：.ZCFE=60°.

：.ZD=30°.

故填30°.

②四邊形ECOG為正方形時(shí)，△ECO為等腰直角三角形.

二ZCEF=45°.

"：ZCEF=ZD+ZDCE,

：.ZD=ZDCE=22.5°.

故填22.5°.

20.【答案】

(1)證明：?.?四邊形ABC。是菱形,

：.AB=BC,NABE=/CBE.

在AABE和中，AB=BC,NABE=NCBE,BE=BE,

：.△ABE絲△CBE(SAS)；

(2)解：如解圖①，連接AC交BO于點(diǎn)。，分別過(guò)點(diǎn)A、E作BC的垂線，垂足分別為點(diǎn)”、F,

BPFHC

解圖①

?.?四邊形A3CD是菱形，

：.AC±BD,

J5

'：AB=5,si