抽油桿柱縱向振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型

抽油桿柱縱向振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型

單級(jí)抽油桿柱與組合抽油桿柱振動(dòng)的固有頻率以及自由振動(dòng)的固有頻率的計(jì)算20世紀(jì)60年代初，美國(guó)中產(chǎn)階級(jí)研究所對(duì)有框架油系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)參數(shù)進(jìn)行了模型計(jì)算機(jī)的模擬研究，并將模擬計(jì)算機(jī)的模擬結(jié)果總結(jié)為易于手動(dòng)計(jì)算的圖表。該技術(shù)于1965年轉(zhuǎn)讓給api，并已成為api公共服務(wù)的“上部油擠出系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和計(jì)算推薦方法”。該研究所還對(duì)抽油桿柱的振動(dòng)特性進(jìn)行了理論研究,即研究了抽油桿柱自由振動(dòng)的固有頻率和抽油桿柱對(duì)各種激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),這幾乎是迄今為止唯一的、最有權(quán)威性的研究成果。圖1為中西部研究所采用的力學(xué)模型。情況Ⅰ為抽油桿柱頂部承受正弦位移激勵(lì),下部自由;情況Ⅱ?yàn)槌橛蜅U柱頂部固定,底部承受正弦位移激勵(lì),該位移的幅值與相位必須使泵處的等效力和位移與簡(jiǎn)化前泵處的力和位移相同。文獻(xiàn)給出了單級(jí)抽油桿柱與各種組合抽油桿柱自由振動(dòng)的固有頻率以及抽油桿柱在情況Ⅰ與情況Ⅱ條件下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),但這一研究存在兩方面的不足。(1)盡管文獻(xiàn)給出的固有頻率計(jì)算公式是正確的,但所采用的計(jì)算方法概念不清晰,對(duì)此以單級(jí)抽油桿柱說(shuō)明。文獻(xiàn)中首先推導(dǎo)出了單級(jí)抽油桿柱在情況Ⅰ時(shí)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),并根據(jù)抽油桿柱產(chǎn)生共振的條件給出了各階固有頻率的計(jì)算公式pi=(2i-1)πc/(2L)(i=1,2,3,…)(1)式中pi——第i階固有頻率;c——聲音在抽油桿柱中的傳播速度;L——抽油桿柱的長(zhǎng)度。實(shí)際上,抽油桿柱振動(dòng)的固有頻率只取決于抽油桿柱的固有特性,如抽油桿柱的結(jié)構(gòu)、材料與邊界條件,而和抽油桿柱是否產(chǎn)生共振無(wú)關(guān)。式(1)中的第1階固有頻率p1稱(chēng)為抽油桿柱振動(dòng)的基頻,以p0表示,則pi和p0之間的關(guān)系為pi=(2i-1)p0(i=1?2?3??)(2)pi=(2i?1)p0(i=1?2?3??)(2)顯然,當(dāng)抽油桿柱的激勵(lì)頻率是基頻的奇數(shù)倍時(shí),抽油桿柱將產(chǎn)生共振。(2)情況Ⅱ所采用的力學(xué)模型是錯(cuò)誤的。文獻(xiàn)給出了圖1中情況Ⅱ抽油桿柱振動(dòng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),并得出了當(dāng)系統(tǒng)的激勵(lì)頻率是基頻的偶數(shù)倍時(shí)抽油桿柱將產(chǎn)生共振。但由式(2)可以看出,2p0,4p0,6p0,…并不是單級(jí)抽油桿柱自由振動(dòng)的固有頻率。顯然,上述結(jié)論是錯(cuò)誤的,它違背了振動(dòng)系統(tǒng)的共振理論。針對(duì)上述不足,筆者對(duì)抽油桿柱縱向自由振動(dòng)固有頻率方程的推導(dǎo)方法、振動(dòng)特性和共振條件做了進(jìn)一步研究。油柱垂直振動(dòng)的力學(xué)模型和固有頻率1.桿柱橫截面積當(dāng)研究抽油桿柱的振動(dòng)特性時(shí),可采用圖2所示的力學(xué)模型。圖中u*(t)——任意時(shí)刻t懸點(diǎn)相對(duì)于上死點(diǎn)的位移;u(x,t)——抽油桿柱任意截面x在時(shí)刻t相對(duì)于懸點(diǎn)的位移;E——抽油桿材料的彈性模量;A——抽油桿柱橫截面積;PP(t)——作用于抽油泵柱塞上的液體載荷時(shí)間函數(shù)。由圖2可以看出,抽油桿柱任意截面的運(yùn)動(dòng)可以分解為兩部分,一是該截面隨懸點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),二是該截面相對(duì)于懸點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。當(dāng)有桿抽油系統(tǒng)正常工作時(shí),抽油機(jī)懸點(diǎn)載荷遠(yuǎn)大于零,即抽油桿柱懸掛系統(tǒng)是不可壓縮的,另外油井的盤(pán)根密封也限制了頂部抽油桿柱的轉(zhuǎn)角變形,因此可將懸點(diǎn)簡(jiǎn)化成基礎(chǔ),而抽油桿柱頂部固定于基礎(chǔ)上,并隨基礎(chǔ)上下往復(fù)運(yùn)動(dòng)。在圖2中取單元體,根據(jù)單元體的受力平衡條件以及抽油桿柱頂部與底部的邊界條件,可得描述均質(zhì)抽油桿柱無(wú)阻尼縱向受迫振動(dòng)的數(shù)學(xué)模型為{?2u?t2-c2?2u?x2=-d2u*(t)dt2u(0?t)=0EA?u?x|x=L=ΡΡ(t)(3)2.固有頻率和基頻p0間的關(guān)系抽油桿柱無(wú)阻尼自由縱向振動(dòng)方程的通解為u=[Acos(px/c)+Bsin(px/c)]sin(pt+φ)(4)式中A,B,p,φ為4個(gè)常數(shù),根據(jù)邊界條件可得固有頻率方程為cos(pL/c)=0(5)即pi=(2i-1)πc/2L(i=1,2,…)(6)式(6)與式(1)的結(jié)果是一致的,第i階固有頻率pi和基頻p0之間的關(guān)系同式(2)。對(duì)于多級(jí)組合抽油桿柱,可應(yīng)用邊界條件與連續(xù)條件建立固有頻率方程,對(duì)此本文不再贅述。油柱的穩(wěn)定響應(yīng)和故障的擾動(dòng)抽油桿柱的受迫振動(dòng)存在兩個(gè)激勵(lì)因素:一是基礎(chǔ)的周期性運(yùn)動(dòng)u*(t);二是作用于抽油泵柱塞上周期性變化的液體載荷PP(t)。1.抽油泵柱共振條件假設(shè)懸點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),即u*(t)=asin(ωt),其中ω為懸點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的激勵(lì)頻率。當(dāng)只研究懸點(diǎn)運(yùn)動(dòng)激勵(lì)對(duì)抽油桿柱的受迫振動(dòng)時(shí),抽油桿柱振動(dòng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為u(x?t)=[cos(λx)+tg(λL)sin(λx)--1]asin(ωt)(7)式中λ=ω/c。抽油桿柱上任意一點(diǎn)的絕對(duì)位移為v(x?t)=u(x?t)+u*(t)=[cos(λx)++tg(λL)sin(λx)]asin(ωt)(8)(1)懸點(diǎn)載荷放大因數(shù)懸點(diǎn)載荷為ΡRL=EAλtg(λL)asin(ωt)(9)當(dāng)不考慮抽油桿柱振動(dòng)時(shí),懸點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的懸點(diǎn)載荷為ΡRL0=ρALaω2sin(ωt)(10)懸點(diǎn)載荷放大因數(shù)為Q1=ΡRL/ΡRL0=tg(λL)/(λL)(11)(2)抽油泵柱塞位移放大因數(shù)抽油泵柱塞位移為vΡ=v(L?t)=asin(ωt)/cos(λL)(12)抽油泵柱塞位移放大因數(shù)為R1=vp/u*=1/cos(λL)(13)(3)抽油桿柱共振條件由式(11)與式(13)可以看出,當(dāng)λL=(2i-1)π/2(i=1,2,…),即當(dāng)ω=(2i-1)p0(i=1?2?3?)(14)時(shí),懸點(diǎn)載荷放大因數(shù)與抽油泵柱塞位移放大因數(shù)均為無(wú)窮大,即當(dāng)激勵(lì)頻率為基頻的奇數(shù)倍時(shí),抽油桿柱將產(chǎn)生共振。2.抽油泵柱共振條件假設(shè)抽油泵柱塞的載荷時(shí)間函數(shù)為PP(t)=bsin(ωt),當(dāng)只研究泵載荷激勵(lì)對(duì)抽油桿柱受迫振動(dòng)的影響時(shí),抽油桿柱振動(dòng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為u(x,t)=bsin(ωt)sin(λx)/[EAλcos(λL)](15)(1)懸點(diǎn)載荷放大因數(shù)懸點(diǎn)載荷為ΡRL=bsin(ωt)/cos(λL)(16)懸點(diǎn)載荷放大因數(shù)為Q2=ΡRL/ΡΡ(t)=1/cos(λL)(17)(2)抽油泵柱塞位移放大因數(shù)抽油泵柱塞位移為vP=u(L,t)=[tg(λL)/(EAλ)]bsin(ωt)(18)不考慮抽油桿柱振動(dòng)時(shí),抽油泵柱塞位移為vΡ0=[L/(EA)]bsin(ωt)(19)柱塞位移放大因數(shù)定義為R2=vΡ/vΡ0=tg(λL)/(λL)(20)(3)抽油桿柱共振條件由式(17)與式(20)可以看出,當(dāng)激勵(lì)頻率ω=(2i-1)p0時(shí),抽油桿柱將產(chǎn)生共振,此時(shí)懸點(diǎn)載荷放大因數(shù)與柱塞位移放大因數(shù)均為無(wú)窮大。3.激勵(lì)頻率為基頻的奇數(shù)額時(shí)由上述分析可見(jiàn),無(wú)論抽油桿柱對(duì)懸點(diǎn)運(yùn)動(dòng)激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),還是抽油桿柱對(duì)泵載荷激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),當(dāng)激勵(lì)頻率ω是基頻的奇數(shù)倍時(shí),即ω=(2i-1)p0時(shí),抽油桿柱都將產(chǎn)生共振;當(dāng)激勵(lì)頻率ω是基頻的偶數(shù)倍時(shí),即ω=2ip0時(shí),抽油桿柱不會(huì)產(chǎn)生共振。由此證明,APIRP11L《有桿抽油系統(tǒng)的設(shè)計(jì)計(jì)算推薦方法》中關(guān)于激勵(lì)頻率等于基頻的偶數(shù)倍時(shí)單級(jí)桿柱將產(chǎn)生共振的結(jié)論是錯(cuò)誤的。激勵(lì)頻率等于基頻的個(gè)數(shù)倍時(shí)單級(jí)抽油桿柱是否產(chǎn)生共振應(yīng)用邊界條件直接確定抽油桿柱自由振動(dòng)固有頻率的方法簡(jiǎn)單易行,所得結(jié)果與中西部研究所根據(jù)共振條件所得結(jié)果一致。由單級(jí)抽油桿柱對(duì)懸點(diǎn)運(yùn)動(dòng)激勵(lì)以及對(duì)泵柱塞液體載荷激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)可以看出,當(dāng)激勵(lì)頻率等于抽油桿柱的固有頻率或等于基頻的奇數(shù)倍時(shí),抽油桿柱將產(chǎn)生共振。由于基頻的偶數(shù)倍頻率并不是抽油桿柱的固有頻率,因此當(dāng)激勵(lì)頻率等于基頻的偶數(shù)倍時(shí),抽油桿柱不會(huì)產(chǎn)生共振,從而證明了美國(guó)中西部研究所關(guān)于激勵(lì)頻率等于基頻偶數(shù)倍時(shí)單級(jí)抽油桿柱將產(chǎn)生共振的結(jié)論是錯(cuò)誤的。導(dǎo)致這一錯(cuò)誤結(jié)論的根本原因是該研究所所采用的力學(xué)模型(圖1c情況Ⅱ)是錯(cuò)誤的。由有桿抽油系統(tǒng)的工作過(guò)程可知,當(dāng)懸點(diǎn)通過(guò)抽油桿柱帶動(dòng)抽油泵柱塞上下往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí),作用于抽油泵柱塞上的液體載荷呈周期性變化。周期性變化的載荷將導(dǎo)致抽油桿柱振動(dòng),并使抽油