抽油桿柱縱向振動的動力學(xué)模型

抽油桿柱縱向振動的動力學(xué)模型

單級抽油桿柱與組合抽油桿柱振動的固有頻率以及自由振動的固有頻率的計算20世紀(jì)60年代初，美國中產(chǎn)階級研究所對有框架油系統(tǒng)的動態(tài)參數(shù)進(jìn)行了模型計算機(jī)的模擬研究，并將模擬計算機(jī)的模擬結(jié)果總結(jié)為易于手動計算的圖表。該技術(shù)于1965年轉(zhuǎn)讓給api，并已成為api公共服務(wù)的“上部油擠出系統(tǒng)的設(shè)計和計算推薦方法”。該研究所還對抽油桿柱的振動特性進(jìn)行了理論研究,即研究了抽油桿柱自由振動的固有頻率和抽油桿柱對各種激勵的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),這幾乎是迄今為止唯一的、最有權(quán)威性的研究成果。圖1為中西部研究所采用的力學(xué)模型。情況Ⅰ為抽油桿柱頂部承受正弦位移激勵,下部自由;情況Ⅱ為抽油桿柱頂部固定,底部承受正弦位移激勵,該位移的幅值與相位必須使泵處的等效力和位移與簡化前泵處的力和位移相同。文獻(xiàn)給出了單級抽油桿柱與各種組合抽油桿柱自由振動的固有頻率以及抽油桿柱在情況Ⅰ與情況Ⅱ條件下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),但這一研究存在兩方面的不足。(1)盡管文獻(xiàn)給出的固有頻率計算公式是正確的,但所采用的計算方法概念不清晰,對此以單級抽油桿柱說明。文獻(xiàn)中首先推導(dǎo)出了單級抽油桿柱在情況Ⅰ時的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),并根據(jù)抽油桿柱產(chǎn)生共振的條件給出了各階固有頻率的計算公式pi=(2i-1)πc/(2L)(i=1,2,3,…)(1)式中pi——第i階固有頻率;c——聲音在抽油桿柱中的傳播速度;L——抽油桿柱的長度。實際上,抽油桿柱振動的固有頻率只取決于抽油桿柱的固有特性,如抽油桿柱的結(jié)構(gòu)、材料與邊界條件,而和抽油桿柱是否產(chǎn)生共振無關(guān)。式(1)中的第1階固有頻率p1稱為抽油桿柱振動的基頻,以p0表示,則pi和p0之間的關(guān)系為pi=(2i-1)p0(i=1?2?3??)(2)pi=(2i?1)p0(i=1?2?3??)(2)顯然,當(dāng)抽油桿柱的激勵頻率是基頻的奇數(shù)倍時,抽油桿柱將產(chǎn)生共振。(2)情況Ⅱ所采用的力學(xué)模型是錯誤的。文獻(xiàn)給出了圖1中情況Ⅱ抽油桿柱振動的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),并得出了當(dāng)系統(tǒng)的激勵頻率是基頻的偶數(shù)倍時抽油桿柱將產(chǎn)生共振。但由式(2)可以看出,2p0,4p0,6p0,…并不是單級抽油桿柱自由振動的固有頻率。顯然,上述結(jié)論是錯誤的,它違背了振動系統(tǒng)的共振理論。針對上述不足,筆者對抽油桿柱縱向自由振動固有頻率方程的推導(dǎo)方法、振動特性和共振條件做了進(jìn)一步研究。油柱垂直振動的力學(xué)模型和固有頻率1.桿柱橫截面積當(dāng)研究抽油桿柱的振動特性時,可采用圖2所示的力學(xué)模型。圖中u*(t)——任意時刻t懸點相對于上死點的位移;u(x,t)——抽油桿柱任意截面x在時刻t相對于懸點的位移;E——抽油桿材料的彈性模量;A——抽油桿柱橫截面積;PP(t)——作用于抽油泵柱塞上的液體載荷時間函數(shù)。由圖2可以看出,抽油桿柱任意截面的運(yùn)動可以分解為兩部分,一是該截面隨懸點的運(yùn)動,二是該截面相對于懸點的運(yùn)動。當(dāng)有桿抽油系統(tǒng)正常工作時,抽油機(jī)懸點載荷遠(yuǎn)大于零,即抽油桿柱懸掛系統(tǒng)是不可壓縮的,另外油井的盤根密封也限制了頂部抽油桿柱的轉(zhuǎn)角變形,因此可將懸點簡化成基礎(chǔ),而抽油桿柱頂部固定于基礎(chǔ)上,并隨基礎(chǔ)上下往復(fù)運(yùn)動。在圖2中取單元體,根據(jù)單元體的受力平衡條件以及抽油桿柱頂部與底部的邊界條件,可得描述均質(zhì)抽油桿柱無阻尼縱向受迫振動的數(shù)學(xué)模型為{?2u?t2-c2?2u?x2=-d2u*(t)dt2u(0?t)=0EA?u?x|x=L=ΡΡ(t)(3)2.固有頻率和基頻p0間的關(guān)系抽油桿柱無阻尼自由縱向振動方程的通解為u=[Acos(px/c)+Bsin(px/c)]sin(pt+φ)(4)式中A,B,p,φ為4個常數(shù),根據(jù)邊界條件可得固有頻率方程為cos(pL/c)=0(5)即pi=(2i-1)πc/2L(i=1,2,…)(6)式(6)與式(1)的結(jié)果是一致的,第i階固有頻率pi和基頻p0之間的關(guān)系同式(2)。對于多級組合抽油桿柱,可應(yīng)用邊界條件與連續(xù)條件建立固有頻率方程,對此本文不再贅述。油柱的穩(wěn)定響應(yīng)和故障的擾動抽油桿柱的受迫振動存在兩個激勵因素:一是基礎(chǔ)的周期性運(yùn)動u*(t);二是作用于抽油泵柱塞上周期性變化的液體載荷PP(t)。1.抽油泵柱共振條件假設(shè)懸點的運(yùn)動規(guī)律為簡諧運(yùn)動,即u*(t)=asin(ωt),其中ω為懸點運(yùn)動的激勵頻率。當(dāng)只研究懸點運(yùn)動激勵對抽油桿柱的受迫振動時,抽油桿柱振動的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為u(x?t)=[cos(λx)+tg(λL)sin(λx)--1]asin(ωt)(7)式中λ=ω/c。抽油桿柱上任意一點的絕對位移為v(x?t)=u(x?t)+u*(t)=[cos(λx)++tg(λL)sin(λx)]asin(ωt)(8)(1)懸點載荷放大因數(shù)懸點載荷為ΡRL=EAλtg(λL)asin(ωt)(9)當(dāng)不考慮抽油桿柱振動時,懸點運(yùn)動所產(chǎn)生的懸點載荷為ΡRL0=ρALaω2sin(ωt)(10)懸點載荷放大因數(shù)為Q1=ΡRL/ΡRL0=tg(λL)/(λL)(11)(2)抽油泵柱塞位移放大因數(shù)抽油泵柱塞位移為vΡ=v(L?t)=asin(ωt)/cos(λL)(12)抽油泵柱塞位移放大因數(shù)為R1=vp/u*=1/cos(λL)(13)(3)抽油桿柱共振條件由式(11)與式(13)可以看出,當(dāng)λL=(2i-1)π/2(i=1,2,…),即當(dāng)ω=(2i-1)p0(i=1?2?3?)(14)時,懸點載荷放大因數(shù)與抽油泵柱塞位移放大因數(shù)均為無窮大,即當(dāng)激勵頻率為基頻的奇數(shù)倍時,抽油桿柱將產(chǎn)生共振。2.抽油泵柱共振條件假設(shè)抽油泵柱塞的載荷時間函數(shù)為PP(t)=bsin(ωt),當(dāng)只研究泵載荷激勵對抽油桿柱受迫振動的影響時,抽油桿柱振動的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為u(x,t)=bsin(ωt)sin(λx)/[EAλcos(λL)](15)(1)懸點載荷放大因數(shù)懸點載荷為ΡRL=bsin(ωt)/cos(λL)(16)懸點載荷放大因數(shù)為Q2=ΡRL/ΡΡ(t)=1/cos(λL)(17)(2)抽油泵柱塞位移放大因數(shù)抽油泵柱塞位移為vP=u(L,t)=[tg(λL)/(EAλ)]bsin(ωt)(18)不考慮抽油桿柱振動時,抽油泵柱塞位移為vΡ0=[L/(EA)]bsin(ωt)(19)柱塞位移放大因數(shù)定義為R2=vΡ/vΡ0=tg(λL)/(λL)(20)(3)抽油桿柱共振條件由式(17)與式(20)可以看出,當(dāng)激勵頻率ω=(2i-1)p0時,抽油桿柱將產(chǎn)生共振,此時懸點載荷放大因數(shù)與柱塞位移放大因數(shù)均為無窮大。3.激勵頻率為基頻的奇數(shù)額時由上述分析可見,無論抽油桿柱對懸點運(yùn)動激勵的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),還是抽油桿柱對泵載荷激勵的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),當(dāng)激勵頻率ω是基頻的奇數(shù)倍時,即ω=(2i-1)p0時,抽油桿柱都將產(chǎn)生共振;當(dāng)激勵頻率ω是基頻的偶數(shù)倍時,即ω=2ip0時,抽油桿柱不會產(chǎn)生共振。由此證明,APIRP11L《有桿抽油系統(tǒng)的設(shè)計計算推薦方法》中關(guān)于激勵頻率等于基頻的偶數(shù)倍時單級桿柱將產(chǎn)生共振的結(jié)論是錯誤的。激勵頻率等于基頻的個數(shù)倍時單級抽油桿柱是否產(chǎn)生共振應(yīng)用邊界條件直接確定抽油桿柱自由振動固有頻率的方法簡單易行,所得結(jié)果與中西部研究所根據(jù)共振條件所得結(jié)果一致。由單級抽油桿柱對懸點運(yùn)動激勵以及對泵柱塞液體載荷激勵的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)可以看出,當(dāng)激勵頻率等于抽油桿柱的固有頻率或等于基頻的奇數(shù)倍時,抽油桿柱將產(chǎn)生共振。由于基頻的偶數(shù)倍頻率并不是抽油桿柱的固有頻率,因此當(dāng)激勵頻率等于基頻的偶數(shù)倍時,抽油桿柱不會產(chǎn)生共振,從而證明了美國中西部研究所關(guān)于激勵頻率等于基頻偶數(shù)倍時單級抽油桿柱將產(chǎn)生共振的結(jié)論是錯誤的。導(dǎo)致這一錯誤結(jié)論的根本原因是該研究所所采用的力學(xué)模型(圖1c情況Ⅱ)是錯誤的。由有桿抽油系統(tǒng)的工作過程可知,當(dāng)懸點通過抽油桿柱帶動抽油泵柱塞上下往復(fù)運(yùn)動時,作用于抽油泵柱塞上的液體載荷呈周期性變化。周期性變化的載荷將導(dǎo)致抽油桿柱振動,并使抽油