關(guān)于實變函數(shù)教學(xué)的一些思考

關(guān)于實變函數(shù)教學(xué)的一些思考

1基于實變函數(shù)的內(nèi)容實際變化函數(shù)是高師數(shù)學(xué)專業(yè)的一項重要基礎(chǔ)課程。其任務(wù)是讓學(xué)生掌握現(xiàn)代抽象分析的基本思想，提高抽象思維和表達能力，加深對數(shù)學(xué)表現(xiàn)的理解，加深對數(shù)學(xué)的理解。實變函數(shù)的內(nèi)容已經(jīng)廣泛滲透到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域,例如泛函分析、現(xiàn)代偏微分方程、調(diào)和分析、分形理論等。Lebesgue積分的創(chuàng)立是二十世紀(jì)數(shù)學(xué)標(biāo)志性成就之一,而測度論是現(xiàn)代概率論的基礎(chǔ)。因此,學(xué)好實變函數(shù)有著重要意義。但是由于實變函數(shù)概念的抽象和理論的艱深,許多學(xué)習(xí)過這門課程的學(xué)生感到實變函數(shù)晦澀難學(xué),很難理解。作為任教老師應(yīng)當(dāng)認真研究這門課的教法,上好這門課,使學(xué)生能真正理解這門課的思想實質(zhì)。2改進實用函數(shù)教育法的一些方法2.1結(jié)合正反兩方面的實例數(shù)學(xué)中的所謂反例就是用以否定錯誤命題而舉的例子。反例可以分成三類:用來否定似是而非的命題的,用來說明命題和定理的條件、結(jié)論是不可更改的,用來糾正直觀上可能產(chǎn)生的錯覺的。反例同正面例子結(jié)合,可以達到以反輔正、殊途同歸的目的。實變函數(shù)概念繁多,而且相互聯(lián)系很強,一個概念往往與許多概念密切相關(guān)。如果學(xué)生對其中一個概念不能深刻理解,往往會影響到對一批概念的理解。同時,實變函數(shù)概念往往很抽象,這也使得學(xué)生在理解概念時不容易把握其內(nèi)涵。在講解概念時,除了認真講清概念的含義外還應(yīng)當(dāng)結(jié)合正反兩方面的例子,即使學(xué)生理解概念的本質(zhì),也使學(xué)生去掉一些錯誤的認識。例如:講解可測函數(shù)的概念時,應(yīng)當(dāng)首先講清其含義,特別強調(diào)是對于任意的a∈R,E[f>a]為可測集,則稱f為E上一個Lebesgue可測函數(shù),然后證明這等價于對于任意的a∈R,E[f≥a](或E[f≤a]或E[f<a])為可測集。最后再從反面構(gòu)成一個非可測函數(shù)的例子,使學(xué)生知道即便對于任意的a∈R,E[f=a]為可測集,f不一定為E上的可測函數(shù)。例1在(0,∞)中取不可測集A,在E=R1上定義f(x)={x,x∈A,?xx?Af(x)={x,x∈A,-xx?A則?x∈R1,集E[f=a]至多包含兩點,所以是可測集,但因集E[f>0]∩(0,∞)=A不可測,所以f為不可測函數(shù)。實變函數(shù)論中的定理條件往往很簡單卻很抽象,容易被學(xué)生忽視,通過一些反例可以幫助學(xué)生把握這些極容易被忽視和認識模糊的地方。例如,Egoroff定理中條件mE<∞是不可少的。例2取E=(0,+∞),則mE=∞。作E上函數(shù)列:fn(x)={1,x∈(0,n]?0?x∈(n,+∞),n=1,2,?fn(x)={1,x∈(0,n]?0?x∈(n,+∞),n=1,2,?顯然,{fn(x)}處處收斂于1,但是對于任意δ>0與可測集Eδ?E,當(dāng)mEδ<δ時,{fn(x)}在E＼Eδ上不一致收斂于1。事實上對任何n,因mEδ<δ,所以(n,∞)＼Eδ≠〉。從而存在x∈(n,∞)＼Eδ使fn(x)=0。在使用反例教學(xué)時,應(yīng)從正面例子入手,同時反例也不宜舉得過多。2.2利用lebesgue積分進行內(nèi)實變函數(shù)是一門承上啟下的課程,一方面它是數(shù)學(xué)分析課的繼續(xù)、發(fā)展、深化和拓廣,另一方面,它也是泛函分析、偏微方程、概率論與隨機過程等的基礎(chǔ)。這是實變函數(shù)同其他課程的聯(lián)系,是外部的聯(lián)系。Riemann積分是數(shù)學(xué)分析的重要內(nèi)容,而Lebesgue積分是變實函數(shù)論的主要組成部分,這兩種積分從思想及形式上有著明顯的區(qū)別,但它們也有著深刻的聯(lián)系,Lebesgue積分是Riemann積分本質(zhì)的改造,這種改造是對Riemann積分的缺陷認識基礎(chǔ)上進行的。首先Riemann積分對函數(shù)連續(xù)性的要求比較高,Riemann可積函數(shù)的間斷點集只能是零測度集。其次,由于Riemann可積函數(shù)列的極限函數(shù)不一定是Riemann可積的。這就使得交換積分與極限的順序還必須附加一些強的條件。Lebesgue積分是在Lebesgue測度與Lebesgue可測函數(shù)等新的概念引入基礎(chǔ)上對Riemann積分的一種變革,不同于Riemann積分,Lebesgue積分是通過值域分劃得到新的積分和。同樣,數(shù)學(xué)分析中連續(xù)函數(shù)的概念與可測函數(shù)是緊密聯(lián)系的。一方面,連續(xù)函數(shù)必為可測函數(shù),反之未必。另一方面,由魯津定理知,可測函數(shù)是基本上連續(xù)的函數(shù)。把實變函數(shù)論中的概念同數(shù)學(xué)分析中有關(guān)概念加以比較,可以加深對這些概念的理解。實變函數(shù)同泛函分析有著密切的聯(lián)系。例如,泛函分析中的Lp[a,b]空間,C[a,b]的共軛空間等,現(xiàn)代概率論的公理體系是建立在測度論的基礎(chǔ)之上。實變函數(shù)中有大量分形的例子,由于實變函數(shù)課程講述的時間安排,我們不可能在講述實變函數(shù)時,仔細的介紹實變函數(shù)與這些后續(xù)課程的聯(lián)系。但我們在講述實變函數(shù)時,簡單地介紹其與相關(guān)后續(xù)課程的重要聯(lián)系,使學(xué)生認識到實變函數(shù)的應(yīng)用,會增強學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣,提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性與積極性。實變函數(shù)內(nèi)容理論體系嚴(yán)密完整,前后知識貫穿一起,這是其內(nèi)部的聯(lián)系。學(xué)習(xí)完各章節(jié)后,分別對各章節(jié)內(nèi)容予以梳理,有助于學(xué)生從總體把握,知道各個部分的內(nèi)在聯(lián)系,在整體中理解部分。2.3直觀化的教學(xué)手段很多學(xué)過實變函數(shù)的學(xué)生總結(jié)起來總是感到實變函數(shù)不可捉摸,難以深入理解其思想本質(zhì),這是由于實變函數(shù)理論的高度抽象性。教學(xué)過程中適當(dāng)?shù)貞?yīng)用直觀化教學(xué)手段,可以幫助學(xué)生克服覺著實變函數(shù)難懂、抽象、枯燥的心理,學(xué)好實變函數(shù)。實變函數(shù)直觀化的教學(xué)手段應(yīng)是多樣性的,它可以是為學(xué)生所熟悉的數(shù)學(xué)分析中的直觀例子。例如,講到開集概念時,使用開圓或開區(qū)間做例子等。直觀化的教學(xué)手段還應(yīng)包括實變函數(shù)發(fā)展史中富有趣味、直觀形象且具啟發(fā)意義的例子。例如,講到基數(shù)時,可以簡單地介紹史學(xué)家對原始人獵物分配過程的猜測性描述,從而引出一一對應(yīng)可以作為比較兩個無限集的元素多少的手段。再如,講到不存在最大基數(shù)的定理時,可由有限集上這一結(jié)論的成立(即n<2n,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這一結(jié)論,再結(jié)合著名的理發(fā)師悖論講述這一定理的證明思路。在講到Riemann積分與Lebesgue積分的區(qū)別時,可以使用Lebesgue本人所使用的一個例子:償還一筆錢,可以從口袋中摸出不同面值的鈔票,還給債主,直到還清,這叫Riemann積分,也可以分不同面值將口袋中錢還給債主,這叫Lebesgue積分。直觀化的圖示可以幫助學(xué)生清理思路,認識概念、命題之間的聯(lián)系。例如:結(jié)合實變函數(shù)教學(xué),介紹數(shù)學(xué)史中關(guān)于實變函數(shù)的論述,可以增加學(xué)生對實變函數(shù)的感性認識,理解其思想實質(zhì),增強學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識。目前,已有一些實變函數(shù)教科書將實變函數(shù)有關(guān)概念的發(fā)展演化列舉在其章節(jié)附錄中(見)。2.4以問題為導(dǎo)向,拓展課程體系,增加學(xué)生學(xué)習(xí)的基礎(chǔ),提高學(xué)生專業(yè)生學(xué)生感到實變函數(shù)難于掌握,一個重要原因是面對習(xí)題總是感覺到束手無策。實變函數(shù)的大部分習(xí)題是證明題,理論性很強,需要學(xué)生在熟悉所學(xué)概念與定理的基礎(chǔ)上,展開抽象思維,認真分析,合理推證,這對學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)要求很高。如果學(xué)生對課后習(xí)題不能順利做出,長此以往,就會使學(xué)生產(chǎn)生實變函數(shù)難學(xué)的心理負擔(dān),不利于學(xué)生對實變函數(shù)知識與概念的鞏固復(fù)習(xí)。因此,分章及梳理小結(jié),精選習(xí)題,上好習(xí)題課,對于學(xué)生掌握實變函數(shù)問題的典型方法、分解難點,增強學(xué)習(xí)信心十分必要,選題原則是強調(diào)基本概念、性質(zhì)、定理,突出基本方法,題目不宜太多太難,應(yīng)努力使學(xué)生發(fā)現(xiàn)解題技巧,選題對于一類習(xí)題要有啟發(fā)性,講解時要做好師生互動,有些只要講解思路予以提示即可,對于繁難題目可以認真講解。結(jié)合所學(xué)內(nèi)容,設(shè)計小的專題研究問題,會增強學(xué)生的興趣,也培養(yǎng)了學(xué)生的科研能力,對于提高學(xué)生的綜合素質(zhì)極為有利。例如,可測函數(shù)列的收斂性問