【高中數(shù)學(xué)】2023-2024學(xué)年北師大版必修第二冊(cè) 向量的數(shù)乘運(yùn)算 向量的數(shù)乘與向量共線的關(guān)系課件（36張）

3.1向量的數(shù)乘運(yùn)算

3.2向量的數(shù)乘與向量共線的關(guān)系課標(biāo)闡釋

1.理解向量數(shù)乘運(yùn)算的定義及幾何意義.(數(shù)學(xué)抽象、直觀想象)2.掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算律,能夠用已知向量表示未知向量.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)3.掌握共線向量的基本定理,會(huì)判斷或證明兩個(gè)向量共線.(邏輯推理)4.了解直線的方向向量的概念,會(huì)運(yùn)用直線的方向向量的知識(shí)證明三點(diǎn)共線.(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)思維脈絡(luò)

激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥夏季的雷雨天,我們往往先看到閃電,后聽到雷聲,雷閃發(fā)生于同一點(diǎn)而傳到我們這兒為什么有個(gè)時(shí)間差?這說明聲速與光速的大小不同,光速是聲速的88萬倍.若設(shè)光速為v1,聲速為v2,將向量類比于數(shù),則有v1=880000v2.對(duì)于880000v2,我們規(guī)定是一個(gè)向量,其方向與v2相同,其長(zhǎng)度為v2長(zhǎng)度的880000倍.這樣實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算稱為向量的數(shù)乘.那么向量數(shù)乘的幾何意義及運(yùn)算律是怎樣規(guī)定的呢?激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥一、向量的數(shù)乘運(yùn)算1.向量的數(shù)乘的概念實(shí)數(shù)λ與向量a的乘積是一個(gè)向量,記作λa,滿足以下條件:(1)當(dāng)λ>0時(shí),向量λa與向量a的方向相同;當(dāng)λ<0時(shí),向量λa與向量a的方向相反;當(dāng)λ=0時(shí),0a=0.(2)|λa|=|λ||a|.這種運(yùn)算稱為向量的數(shù)乘.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥2.向量的數(shù)乘的幾何意義如圖,由實(shí)數(shù)與向量數(shù)乘λa的定義可以看出,它的幾何意義是:當(dāng)λ>0時(shí),表示向量a的有向線段在原方向伸長(zhǎng)或縮短為原來的|λ|倍;當(dāng)λ<0時(shí),表示向量a的有向線段在反方向伸長(zhǎng)或縮短為原來的|λ|倍.3.單位向量由向量數(shù)乘的定義容易推出,在非零向量a方向上的單位向量是

.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微思考數(shù)乘向量與數(shù)乘數(shù)有什么區(qū)別?提示前者結(jié)果是一個(gè)向量,后者結(jié)果是一個(gè)數(shù).微判斷判斷(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”).(1)實(shí)數(shù)λ與向量a,則λ+a與λ-a的和是向量.(

)(2)對(duì)于非零向量a,向量-3a與向量a方向相反.(

)(3)對(duì)于非零向量a,向量-6a的模是向量3a的模的2倍.(

)答案(1)×

(2)√

(3)√激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥二、數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律1.數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律設(shè)λ,μ為實(shí)數(shù),a,b為向量,那么根據(jù)向量的數(shù)乘定義,可以得到以下運(yùn)算律:(1)(λ+μ)a=λa+μa;(2)λ(μa)=(λμ)a;(3)λ(a+b)=λa+λb.2.向量的線性運(yùn)算向量的加法、減法和數(shù)乘的綜合運(yùn)算,通常稱為向量的線性運(yùn)算(或線性組合).若一個(gè)向量c由向量a,b的線性運(yùn)算得到,如c=2a+3b,則稱向量c可以用向量a,b線性表示.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥名師點(diǎn)析1.(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb.2.對(duì)于任意向量a,b以及任意實(shí)數(shù)λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)1A.2a-b

B.2b-aC.a-b

D.b-a答案B激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)2答案C激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥三、共線(平行)向量基本定理給定一個(gè)非零向量b,則對(duì)于任意向量a,a∥b的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使a=λb.名師點(diǎn)析1.向量共線的條件:當(dāng)向量b=0時(shí),b與任一向量a共線.當(dāng)b≠0,對(duì)于向量a,如果存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使a=λb,那么由實(shí)數(shù)與向量積的定義知,a與b共線.反之,已知向量a與b共線,b≠0,且向量a的長(zhǎng)度是向量b的長(zhǎng)度的λ倍,即|a|=λ|b|,則當(dāng)a與b同方向時(shí),a=λb;當(dāng)a與b反方向時(shí),有a=-λb.2.已知三點(diǎn)A,B,C共線,O是平面內(nèi)任意一點(diǎn),則有

,其中λ+μ=1.3.如果非零向量a與b不共線,且λa=μb,那么λ=μ=0.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微探究根據(jù)共線向量定理,對(duì)于非零向量a,b,如何確定實(shí)數(shù)λ,使得a=λb?答案(1)確定符號(hào).b與a同向時(shí),λ為正;b與a反向時(shí),λ為負(fù).(2)確定λ的絕對(duì)值.微思考共線向量定理中為什么要規(guī)定b≠0?提示(1)若將條件b≠0去掉,即當(dāng)b=0時(shí),顯然a與b共線;(2)若a≠0,則不存在實(shí)數(shù)λ,使a=λb;(3)若a=0,則對(duì)任意實(shí)數(shù)λ,都有a=λb.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥四、直線的向量表示探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)數(shù)乘向量的定義及幾何意義例1(1)設(shè)a是非零向量,λ是非零實(shí)數(shù),則下列結(jié)論正確的是(

)A.a與-λa的方向相反 B.|-λa|≥|a|C.a與λ2a的方向相同 D.|-λa|=|λ|a(2)點(diǎn)C是線段AB靠近點(diǎn)A的一個(gè)三等分點(diǎn),則下列不正確的是(

)答案(1)C

(2)B探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

對(duì)向量數(shù)乘運(yùn)算的三點(diǎn)說明(1)λa中的實(shí)數(shù)λ叫作向量a的系數(shù).(2)向量數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義是把a(bǔ)沿著a的方向或a的反方向擴(kuò)大或縮小.(3)當(dāng)λ=0或a=0時(shí),λa=0.注意是0,而不是0.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)向量的線性運(yùn)算例2(1)計(jì)算下列各式:①3(a-2b+c)-(2c+b-a);(2)設(shè)x,y是未知向量.①解方程5(x+a)+3(x-b)=0;探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

1.向量的數(shù)乘運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的代數(shù)運(yùn)算,實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用,但是在這里的“同類項(xiàng)”“公因式”指向量,實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù).2.向量也可以通過列方程來解,把所求向量當(dāng)作未知數(shù),利用解代數(shù)方程的方法求解,同時(shí)在運(yùn)算過程中要多注意觀察,恰當(dāng)運(yùn)用運(yùn)算律,簡(jiǎn)化運(yùn)算.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練2已知2a-b=m,a+3b=n,則a,b用m,n可以表示為a=

,b=

.

探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)共線向量定理及其應(yīng)用角度1

向量共線的判定例3判斷下列各小題中的向量a,b是否共線(其中e1,e2是兩非零不共線向量).(1)a=5e1,b=-10e1;(3)a=e1+e2,b=3e1-3e2.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)解(1)因?yàn)閎=-2a,所以a與b共線.(2)因?yàn)閍=b,所以a與b共線.(3)設(shè)a=λb,則e1+e2=λ(3e1-3e2),所以(1-3λ)e1+(1+3λ)e2=0.因?yàn)閑1與e2是兩個(gè)非零不共線向量,所以1-3λ=0,1+3λ=0.這樣的λ不存在,因此a與b不共線.反思感悟

向量共線的判定一般是用其判定定理,即給定一個(gè)非零向量b,若存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使得a=λb,則任意向量a與非零向量b共線.解題過程中,需要把兩向量用共同的已知向量來表示,進(jìn)而互相表示,由此判斷共線.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練3已知向量e1、e2是兩個(gè)共線向量,若a=e1-e2,b=2e1+2e2,求證:a∥b.證明若e1=e2=0,則a=b=0,所以a與b共線,即a∥b;若e1,e2中至少有一個(gè)不為零向量,不妨設(shè)e1≠0,則e2=λe1(λ∈R),且a=(1-λ)e1,b=2(1+λ)e1,所以a∥e1,b∥e1.因?yàn)閑1≠0,所以a∥b.綜上可知,a∥b.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)角度2

用已知向量表示未知向量

答案C探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

用已知向量來表示所求未知向量是解向量相關(guān)問題的基礎(chǔ),除了要利用向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算外,還應(yīng)充分利用平面幾何的一些定理、性質(zhì),如三角形的中位線定理、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等,把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量進(jìn)行求解.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)角度3

證明三點(diǎn)共線問題

探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

1.證明三點(diǎn)共線,通常轉(zhuǎn)化為證明由這三點(diǎn)構(gòu)成的兩個(gè)向量共線.兩個(gè)向量共線的充要條件是解決向量共線問題的依據(jù).2.若A,B,C三點(diǎn)共線,則向量

在同一直線