復(fù)合函數(shù)總結(jié)復(fù)習(xí)

.z.課次教學(xué)方案〔教案〕課題復(fù)合函數(shù)教學(xué)目標掌握復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程，定義域，值域，單調(diào)性與奇偶性的求法一、復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成設(shè)是到的函數(shù)，是到上的函數(shù)，且，當取遍中的元素時，取遍，則就是到上的函數(shù)。此函數(shù)稱為由外函數(shù)和函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)。說明：⑴復(fù)合函數(shù)的定義域，就是復(fù)合函數(shù)中的取值圍。⑵稱為直接變量，稱為中間變量，的取值圍即為的值域。⑶與表示不同的復(fù)合函數(shù)。例1．設(shè)函數(shù)，求．⑷假設(shè)的定義域為，則復(fù)合函數(shù)中，．注意：的值域．解復(fù)合函數(shù)題的關(guān)鍵之一是寫出復(fù)合過程例1：指出以下函數(shù)的復(fù)合過程?！?〕y=√2-*2(2)y=sin3*(3)y=3cos√1-*2解：(１)y=√2-*2是由y=√u,u=2-*2復(fù)合而成的?！?〕y=sin3*是由y=sinu,u=3*復(fù)合而成的?！?〕y=3cos√1+*2是由y=3cosu,u=√r,r=1-*2復(fù)合而成的。例2：復(fù)合函數(shù)的定義域問題⑴假設(shè)函數(shù)的定義域是[0，1]，求的定義域；⑵假設(shè)的定義域是[-1，1]，求函數(shù)的定義域；⑶定義域是，求定義域．要點1：解決復(fù)合函數(shù)問題，一般先將復(fù)合函數(shù)分解，即它是哪個函數(shù)和哪個外函數(shù)復(fù)合而成的．解答：⑴函數(shù)是由A到B上的函數(shù)與B到C上的函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)．函數(shù)的定義域是[0，1]，∴B=[0,1]，即函數(shù)的值域為[0，1]．∴，∴，即，∴函數(shù)的定義域[0，]．⑵函數(shù)是由A到B上的函數(shù)與B到C上的函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)．的定義域是[-1，1]，∴A=[-1,1]，即-1，∴,即的值域是[-3，1]，∴的定義域是[-3，1]．要點2：假設(shè)的定義域為，則的定義域就是不等式的的集合；假設(shè)的定義域為，則的定義域就是函數(shù)的值域。⑶函數(shù)是由A到B上的函數(shù)與B到C上的函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)．的定義域是[-4，5),∴A=[-4,5)即，∴即的值域B=[-1，8〕又是由到上的函數(shù)與B到C上的函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)，而,從而的值域∴∴∴∴的定義域是[1，〕．練習(xí)：1，f(*)的定義域為[0，1],求f(2*-1)的定義域。2，f(2*-1)的定義域為[0，1],求f(*)的定義域。3，f(*+3)的定義域為[１，２],求f〔2*-5〕的定義域。說明：①的定義域為(a,b)，求的定義域的方法：的定義域為，求的定義域。實際上是中間變量的的取值圍，即，。通過解不等式求得的圍，即為的定義域。②的定義域為(a,b)，求的定義域的方法：假設(shè)的定義域為，求的定義域。實際上是復(fù)合函數(shù)直接變量的取值圍，即。先利用求得的圍，則的圍即是的定義域,即使函數(shù)的解析式形式所要求定義域真包含的值域，也應(yīng)以的值域做為所求的定義域，因為要確保所求外含數(shù)與條件下所要求的外含數(shù)是同一函數(shù)，否則所求外含數(shù)將失去解決問題的有效性。2．求有關(guān)復(fù)合函數(shù)的解析式，例6．①求；②，求．例7．①，求；②，求．要點3：求復(fù)合函數(shù)的解析式，直接把中的換成即可。求的常用方法有：配湊法和換元法。配湊法就是在中把關(guān)于變量的表達式先湊成整體的表達式，再直接把換成而得。換元法就是先設(shè)，從中解出〔即用表示〕，再把〔關(guān)于的式子〕直接代入中消去得到，最后把中的直接換成即得，這種代換遵循了同一函數(shù)的原則。例8．①是一次函數(shù)，滿足，求；②，求．要點4：⑴當函數(shù)的類型求函數(shù)的解析式時，一般用待定系數(shù)法。⑵假設(shè)抽象的函數(shù)表達式，則常用解方程組、消參的思想方法求函數(shù)的解析式。滿足*個等式，這個等式除是未知量外，還出現(xiàn)其他未知量，如、等，必須根據(jù)等式再構(gòu)造出其他等式組成方程組，通過解方程組求出。解析式的求法練習(xí)代入法例1、，求待定系數(shù)法例2、二次函數(shù)滿足，且的兩實根平方和為10，圖像過點，求解析式換元法例3、，求解析式配湊法〔用于二次函數(shù)較多〕例4、，求解析式消元法〔構(gòu)造方程組法，賦值法〕例5、2，求解析式利用函數(shù)的性質(zhì)求解析式例6、函數(shù)是定義在區(qū)間上的偶函數(shù)，且時，(1)求解析式(2)假設(shè)矩形頂點在函數(shù)圖像上，頂點在*軸上，求矩形面積的最大值例7、函數(shù)是定義在R上的周期函數(shù)，周期，函數(shù)是奇函數(shù)，又知在上是一次函數(shù)，在上是二次函數(shù)，且在時函數(shù)取得最小值，最小值為-5〔1〕證明：〔2〕試求，的解析式〔3〕試求在上的解析式復(fù)合函數(shù)的值域換元法：求函數(shù)；的值域分式法求的值域。例1、〔指、對數(shù)函數(shù)作層函數(shù)〕己在函數(shù)〔1〕求函數(shù)的值域〔2〕假設(shè)時，函數(shù)的最小值為和最大值例2、〔耐克函數(shù)〕求函數(shù)的值域【變式訓(xùn)練】求函數(shù)的值域例3、〔其它函數(shù)復(fù)合〕求函數(shù)的值域二、復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)1、復(fù)合函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性：〔同增異減〕,增減性一樣時,為增函數(shù),,增減性相反時,為減函數(shù).求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟是：(1)求函數(shù)的定義域；(2)用換元法把復(fù)合函數(shù)分解成常見函數(shù)；(3)求各常見函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(4)把中間變量的變化區(qū)間轉(zhuǎn)化成自變量的變化區(qū)間；(5)按復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的規(guī)律，求出復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．例8、求以下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：

y=(*2－4*+3)2例9、求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例10、求y=的單調(diào)區(qū)間和最值。例11、求y=的單調(diào)區(qū)間。例12、求y=1/〔*2－4*+3〕的單調(diào)區(qū)間。2、復(fù)合函數(shù)的奇偶性假設(shè)函數(shù)的定義域都是關(guān)于原點對稱的,則由的奇偶性得到的奇偶性的規(guī)律是:函數(shù)奇偶性奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)即當且僅當和都是奇函數(shù)時,復(fù)合函數(shù)是奇函數(shù).〔與奇數(shù)偶數(shù)的乘法類似〕

假設(shè)f〔*〕=*3,g(*)=*2+1

判斷以下函數(shù)奇偶性：

A.f(*〕*g〔*)

B.f(g(*))

C.g(f(*))

課后作業(yè)：1、假設(shè)函數(shù)定義域為，則函數(shù)的定義域為2、函數(shù)定義域為R，則實數(shù)的取值圍是3、，則=4、，則=5、函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于點A(0,1)對稱〔1〕求函數(shù)的解析式〔2〕假設(shè)，且在區(qū)間上的值不小于6，數(shù)的取值圍6、設(shè)是定義在R上的函數(shù)，且滿足，當時，，求時的解析式7、的定義域為R,則求的取值圍8、函數(shù),求函數(shù)的定義域，并討論它的奇偶性單調(diào)性。9、求函數(shù)的值域。10、求函數(shù)在上的值域?？偨Y(jié)：１．復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成；設(shè)函數(shù)，，則我們稱是由外函數(shù)和函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)。其中被稱為直接變量，被稱為中間變量。復(fù)合函數(shù)中直接變量的取值圍叫做復(fù)合函數(shù)的定義域，中間變量的取值圍，即是的值域，是外函數(shù)的定義域。２．有關(guān)復(fù)合函數(shù)的定義域求法及解析式求法：⑴定義域求法：求復(fù)合函數(shù)的定義域只要解中間變量的不等式〔由解〕；求外函數(shù)的定義域只要求中間變量的值域圍〔由求的值域〕。一個復(fù)合函數(shù)求另一個復(fù)合函數(shù)的定義域，必須先求出外函數(shù)的定義域。特別強調(diào)，此時求出的外函數(shù)的定義域一定是前一個復(fù)合函數(shù)的函數(shù)的值域。⑵解析式求法：待定系數(shù)法、配湊法、換元法、解方程組消元法．四：外函數(shù)解析式其本身決定定義域的主要依據(jù)有：⑴當為整式或奇次根式時，R；⑵當為偶次根式時，被開方數(shù)不小于0〔即≥0〕；⑶當為分式時，分母不為0；當分母是偶次根式時，被開方數(shù)大于0；⑷當為指數(shù)式時，對零指數(shù)冪或負整數(shù)指數(shù)冪，底不為0〔如，中〕。⑸當是由一些根本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的，它的定義域應(yīng)是使各局部都有意義的自變量的值組成的集合，即求