r3空間上兩個向量的刻畫

r3空間上兩個向量的刻畫

1《類光向量》中的兩個類光向量r3是一個三維向量空間，有a=（x1，y1，z1），b=（x1，y2，b2）。定義了r3中的兩個向量a和b（數(shù)量積）之間的內(nèi)積（數(shù)量積）。a?b=ab=x1x2+y1y2-z1z2(1)定義了這種內(nèi)積的三維實向量空間R3稱為三維Minkowski空間,記為M31.設a∈M31,a≠0,若a?a>0,稱a為類空向量;若a?a<0,稱a為類時向量;若a?a=0,稱a為類光向量.規(guī)定零向量為類空向量.向量的?；蜷L定義為∥a∥=√|a?a|.若有‖a‖=1,稱a為單位向量.滿足ab=1的兩個類光向量a與b也稱為(類光)單位向量.設a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),定義a與b的外積為(矢性積)a×b=(|y1z1y2z2|?|z1x1z2x2|?|y1x1y2x2|.)(2)若ab=0,稱a與b垂直;若a×b=0,稱a與b平行.性質(zhì)1:與類光向量平行的向量都與該類光向量垂直.由M31中向量內(nèi)積與外積的定義,可以得到M31中三個向量混合積的意義(a,b,c)=(a×b)?c=|x1y1z1x2y2z2x3y3z3|.(3)若(a,b,c)>0,稱a,b,c按此順序構(gòu)成右手系.性質(zhì)2:設aa=1,bb=1,cc=-1,且它們互相垂直,按a,b,c構(gòu)成右手系,則a=b×c,b=c×a,c=b×a.(4)性質(zhì)3:設aa=1,bb=cc=0bc=1且a,b,c構(gòu)成右手系,則a=b×c,b=a×b,c=c×a(5)例如1)a=(1,0,0),b=(0,1,0),c=(0,0,1)滿足性質(zhì)2.2)a=(1,0,0),b=(0,1√2,-1√2),c=(0,1√2,1√2),滿足性質(zhì)3.性質(zhì)4:三個互相垂直的非零向量構(gòu)成的向量組中,若有一個是類光向量,則該向量組至少包含二個類光向量.如設a=(1,0,0),b=(0,1,1),c=(a,b,c).由ac=0有a=0;又bc=0,有b=c.因此c=(0,b,b),它是類光向量.2“弧長”的定義設r(t)=(x(t),y(t),z(t)),t∈[a,b],x(t),y(t),z(t)有所需的連續(xù)導數(shù).則r(t)的終點是一條曲線.若‖r(t)‖≠0,與三維歐氏空間中的情形一樣,定義曲線的弧長為s=∫t0‖r′(t)‖dt.若‖r′(t)‖=0,定義曲線的“弧長”為s=∫t0√x2(t)ty2(t)+z2(t)dt(6)下面利用曲線的弧長為參數(shù),討論M31中的曲線.設曲線r(t)不是直線,以后不再特別加以說明.1第一種類空曲線的基本公式設r(s)=(x(s),y(s),z(s),若r′(s)r′(s)>0,稱r(s)為M31中的類空曲線.它的切向量是類空向量.令α(s)=r′(s),則因α(s)α(s)=1,有α′α=0.令α′(s)=k(s)β(s),由假設,k(s)≠0,(a)若β(s)β(s)=1,則β′(s)β(s)=0.令β′(s)=aα+τγγ=β×α則a=αβ′=-α′β=-k而γ′=(β×α)′=τβ因此,得到第一種類空曲線的基本公式{α′(s)=k(s)β(s)β′(s)=-k(s)α(s)+τ(s)γ(s)γ(s)=τ(s)β(s)(7)(b)若ββ=-1令β′=aα+τγγ=α×β則a=αβ′=-α′β=-kββ=kγ′=(α×β)′=τβ因此,得到第二種類空曲線的基本公式{α′(s)=k(s)β(s)β′(s)=k(s)α(s)+τ(s)γ(s)γ′(s)=τ(s)β(s)(8)(c)若ββ=0令β′=aα+τβ+cγγβ=1,γγ=0則a=β′α=-βα′=-kββ=0c=β′β=0令γ′=aα+bβ+cγ則a=αγ′=-α′γ=-kβγ=-kb=γ′γ=0c=γ′β=-γβ′=-γ(τβ)=-τ因此,得到第三種類空曲線的基本公式{α′(s)=k(s)β(s)β′(s)=τ(s)β(s)γ′(s)=-k(s)α(s)-τ(s)γ(s)(9)2ss為,s為,s,有ss,有ssssssss,有ss,有ss,有sss,有sssssssssssssssssssssssssssssssss,有sssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss設γ(s)為一曲線,若γ′(s)γ′(s)<0,稱γ(s)為類時曲線.它的切向量是類時向量.令γ′(s)=α(s),因α(s)α(s)=1,則α′(s)α(s)=0令α′(s)=k(s)β(s)有β(s)β(s)=1β′(s)β(s)=0令β′(s)=aα+τγγ=α×β則-a=αβ′=-α′β=-kγ′=(α×β)′=τα×γ=-τβ{α′(s)=k(s)β(s)β′(s)=k(s)α(s)+τ(s)γ(s)γ′(s)=-τ(s)β(s)(10)3ss令r′(s)=α(s),則α(s)α(s)=1,α′α=0取α′(s)=k(s)β(s)則β(s)β(s)=1,β′(s)β(s)=0令β′=τα+bγγγ=0,αγ=1則b=αβ′=-α′β=-kββ=-k令γ′=aα+bβ+cγ則a=γγ′=0b=βγ′=-β′γ=-τc=αγ′=0.{α′(s)=k(s)β(s)β′(s)=τ(s)α(s)-k(s)γ(s)γ′(s)=-τ(s)β(s)(11)3為1,為1,為2,為1,為1,為1,為1,為1,2s1+2,2s1+2.,2s1+2s1+2s1+2s1+2s1+2s1+2s1+2s1+2s1+2s1+s1s1+2s1+2s1+s1s1+2s1+2s1+2s1+2s1+s1,2s1+2s1+2s1+2s1+2s1+2s1+2s1+2.2.,2s1+2s1+2s1+2s1+2.2.,2s1+2.,2s1+2.b,2s1+2s1+2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.例1則此例為(1)中(a)的情況.例2r(s)=(s2,shs2,chs2).則α(s)=(12,12,chs2,12,shs2)β(s)=(0,shS2?chS2)γ(s)=(12,-12chs2,-12shs2)αα=1,ββ=-1?γγ=1k(s)=12,τ(s)=-12此例為(1)中(b)的情況.例3則例4則此例為(2)的情況.例5則此例為(3)的情況.例6r(s)=(∫s2-12(1+s2)ds,∫2s1+s2ds,12s)則