【數(shù)學(xué)(選修)】雙曲線與直線位置關(guān)系

8.4直線與雙曲線的位置關(guān)系（第一課時(shí)）橢圓與直線的位置關(guān)系及判斷方法判斷方法?<0?=0?>0（1）聯(lián)立方程組（2）消去一個(gè)未知數(shù)（3）相離相切相交一.復(fù)習(xí)引入直線與雙曲線位置關(guān)系：XYO分類：相離；相切；相交。XYO二.探究新知三.歸納總結(jié)根據(jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)判定XYOXYO相離:0個(gè)交點(diǎn)相交:一個(gè)交點(diǎn)相交:兩個(gè)交點(diǎn)相切:一個(gè)交點(diǎn)1.圖象法:一解不一定相切，相交不一定兩解，兩解不一定同支.溫馨提示：例1.過點(diǎn)P(1,1)與雙曲線只有共有_______條.

4交點(diǎn)的一個(gè)直線XYO（1，1）。把直線方程代入雙曲線方程得到一元一次方程得到一元二次方程直線與雙曲線的漸近線平行相交（一個(gè)交點(diǎn)）

計(jì)算判別式>0=0<0相交相切相離2.代數(shù)法:判斷直線與雙曲線位置關(guān)系的操作流程圖（2次系數(shù)等于0）（2次系數(shù)不等于0）（兩個(gè)交點(diǎn)）（一個(gè)交點(diǎn)）（無交點(diǎn)）例2.已知直線y=kx-1與雙曲線x2-y2=4,試討論實(shí)數(shù)k的取值范圍,使直線與雙曲線

(1)有兩個(gè)公共點(diǎn);(2)與右支交于兩點(diǎn).(1)解：將直線代入雙曲線方程化簡整理得（※）要使直線與雙曲線有兩個(gè)相異的公共點(diǎn)，則（※）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，應(yīng)滿足的取值范圍

要使直線與雙曲線的右支有兩個(gè)相異的公共點(diǎn)，則應(yīng)滿足（2）解：將直線代入雙曲線方程

化簡整理（※）解得注:直線與雙曲線的右支有兩個(gè)交點(diǎn),實(shí)際上給出了方程解的范圍,涉及到二次方程的根的分布問題.解題時(shí)需要注意!由韋達(dá)定理得：變式應(yīng)用:已知直線y=kx-1與雙曲線x2-y2=4,試討論實(shí)數(shù)k的取值范圍,使直線與雙曲線(1)沒有公共點(diǎn);(2)只有一個(gè)公共點(diǎn);(3)交于異支兩點(diǎn)；k=±1，或k=±

-1＜k＜1；(1)k＜或k＞；走向高考

曲線總有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是（）若不論K為何值，直線與B例3：解：雙曲線中的弦長問題解：將y=ax+1代入3x2-y2=1又設(shè)方程的兩根為x1,x2，A(x1,y1),B(x2,y2),得(3-a2)x2-2ax-2=0,它有兩個(gè)實(shí)根，必須△>0,∵原點(diǎn)O（0，0）在以AB為直徑的圓上，例4、直線y-ax-1=0和曲線3x2-y2=1相交，交點(diǎn)為A、B，當(dāng)a為何值時(shí)，以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)。典型例題:雙曲線中的垂直問題解：將y=ax+1代入3x2-y2=1又設(shè)方程的兩根為x1,x2，A(x1,y1),B(x2,y2),得(3-a2)x2-2ax-2=0,它有兩個(gè)實(shí)根，必須△>0,∵原點(diǎn)O（0，0）在以AB為直徑的圓上，∴OA⊥OB，即x1x2+y1y2=0,即x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0,∴(a2+1)x1x2+a(x1+x2)+1=0,解得a=±1.例5.以P（1，8）為中點(diǎn)作雙曲線為y2-4x2=4的一條

弦AB，求直線AB的方程。典型例題:解法一：（1）當(dāng)過P點(diǎn)的直線AB和x軸垂直時(shí)，直線被雙曲線

截得的弦的中點(diǎn)不是P點(diǎn)。（2）當(dāng)過P點(diǎn)的直線AB和x軸不垂直時(shí)，設(shè)其斜率為k．

則直線AB的方程為y-8=k（x-1）雙曲線的中點(diǎn)弦問題例5.以P（1，8）為中點(diǎn)作雙曲線為y2-4x2=4的一條

弦AB，求直線AB的方程。變式：已知雙曲線x2－y2/2＝1，試問過點(diǎn)A(1,1)，能否作直線l，使與雙曲線交于P1、P2兩點(diǎn)，且點(diǎn)A是線段P1P2的中點(diǎn)？這樣的直線l如果存在，求出它的方程；如果不存在，說明理由。分析：只需證明線段AB、CD的中點(diǎn)重合即可。證明:(1)若L有斜率，設(shè)L的方程為:y=kx+b典型例題:雙曲線的中點(diǎn)弦問題證明:(1)若L有斜率，設(shè)L的方程為:y=kx+b【分析】雙曲線的方程是確定的，直線的方程是不定的.利用MN的垂直平分線與坐標(biāo)軸所圍成的面積尋找k、m的關(guān)系式，根據(jù)兩者的約束條件"直線l與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)"，確定k的取值范圍.高考真題(2008·天津卷)已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)是Fl(-3,0)，一條漸近線方程是.(1)求雙曲線C的方程；(2)若以k(k≠0)為斜率的直線l與雙曲線C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M、N，且線段MN的垂直平分線與兩坐標(biāo)軸圍