【數(shù)學】一元二次不等式及其解法1（人教A版）

第三章不等式3.2一元二次不等式及其解法一元二次不等式的基本形式:

ax2+bx+c>0(a≠0)

ax2+bx+c<0(a≠0)

ax2+bx+c≥0(a≠0)

ax2+bx+c≤0(a≠0)一、基礎(chǔ)知識講解xyo思考：一元一次方程的解與一次函數(shù)的圖象有什么關(guān)系？引例1：解不等式2x－7＞03.5答：方程的解即函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標；一、基礎(chǔ)知識講解

一元一次不等式的解集與一次函數(shù)的圖象又有什么關(guān)系？不等式的解集即函數(shù)圖象在x軸下方或上方所對應(yīng)x的范圍。思考：不等式x2-x-6>0的解與二次函數(shù)y=x2-x-6圖像又有什么關(guān)系?引例2：解不等式x2-x-6>0解：因為△=1+24>0∴方程x2-x-6=0的解是:x1=-2，x2=3

由函數(shù)y=4x2-4x+1的圖像可得不等式的解集為{x|x<-2或x>3}一、基礎(chǔ)知識講解yxo-23y=x2-x-6解不等式x2-x-6<0⊿=b2-4ac二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象方程ax2+bx+c=0的根ax2+bx+c>0（a>0）的解集ax2+bx+c<0(a>0)的解集⊿>0⊿=0⊿<0有兩個不等實根x1,x2(x1<x2){x|x<x1或x>x2}{x|x1<x<x2}有兩個相等實根x1=x2無實根{x|x≠x1}?R?x1x2xyxx1(x2)yxy1.一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系:一、基礎(chǔ)知識講解小結(jié):解一元二次不等式ax2+bx+c>0的步驟：

①將二次項系數(shù)化為“+”（a>0);

②計算ax2+bx+c=0判別式;并求其根④由圖象寫出解集.

③畫出y=ax2+bx+c的圖象;記憶口訣：(前提a>0).大于取兩邊，小于取中間一、基礎(chǔ)知識講解

題型一一元二次不等式的解法

求下列一元二次不等式的解集．(1)x2－5x>6；(2)4x2－4x＋1≤0；(3)－x2＋7x>6.[思路探索]先將二次項系數(shù)化為正，再求對應(yīng)方程的根．并根據(jù)情況結(jié)合二次函數(shù)圖象，寫出解集．解

(1)由x2－5x>6，得x2－5x－6>0.∴x2－5x－6＝0的兩根是x＝－1或6.∴原不等式的解集為{x|x<－1或x>6}．(2)4x2－4x＋1≤0，即(2x－1)2≤0，【例1】(3)由－x2＋7x>6，得x2－7x＋6<0，而x2－7x＋6＝0的兩個根是x＝1或6.∴不等式x2－7x＋6<0的解集為{x|1<x<6}．當所給不等式是非一般形式的不等式時，應(yīng)先化為一般形式，在具體求解一個一般形式的一元二次不等式的過程中，要密切結(jié)合一元二次方程的根的情況以及二次函數(shù)的圖象．

解下列不等式(1)2x2－x＋6>0；(3)(5－x)(x＋1)≥0.解

(1)∵方程2x2－x＋6＝0的判別式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，∴函數(shù)y＝2x2－x＋6的圖象開口向上，與x軸無交點．∴原不等式的解集為R.(2)原不等式可化為x2－6x＋10<0，∵Δ＝62－40＝－4<0，∴原不等式的解集為?.(3)原不等式可化為(x－5)(x＋1)≤0，所以原不等式的解集為{x|－1≤x≤5}．【變式1】

四、小結(jié)（1）化成標準形式ax2+bx+c>0(a>0)

ax2+bx+c<0(a>0)

（2）判定△與0的關(guān)系，并求出方程ax2+bx+c=0的實根;

（3）根據(jù)圖象寫出不等式的解集.1.解一元二次不等式的步驟注：畫出二次函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象寫出解集，注意數(shù)形結(jié)合二、例題分析解:原不等式可化為：相應(yīng)方程的兩根為二、例題分析例2.已知一元二次不等式ax2+bx+6>0的解集為{x∣-2<x<3}求a，b的值。練習.(1)已知不等式x2+ax+b>0的解集為{x|x<-2或x>3}，則實數(shù)a=____,b=_____.-1-6解:由題意得,a<0,且方程ax2+bx+6=0的兩根分別為-2和3,∴二、例題分析例3.解：依題意可知，對任意x∈R，不等式x2-6kx+k+8≥0

應(yīng)恒成立，所以k應(yīng)滿足:△=(-6k)2-4(k+8)≤0解得≤k≤1解：依題意可知，對任意x∈R，不等式kx2-6kx+k+8≥0

應(yīng)恒成立，所以（1）若k=0，則可得8>0，滿足題意（2）若k≠0，則應(yīng)滿足k>0△=(-6k)2-4k(k+8)≤0解得k>0-1≤k≤1∴0<k≤1綜上所述，k∈[0，1]二、例題分析不等式ax2+bx+c>0的解集是全體實數(shù)的條件是_________________________________.a=b=0且c>0,或a>0且△＝b2-4ac<0三、鞏固練習

題1.一個車輛制造廠引進了一條摩托車整車裝配流水線,這條流水線生產(chǎn)的摩托車數(shù)量x(輛)與創(chuàng)造的價值y(元)之間有如下的關(guān)系:y=-2x2+220x.

若這家工廠希望在一個星期內(nèi)利用這條流水線創(chuàng)收6000元以上,那么它在一個星期內(nèi)大約應(yīng)該生產(chǎn)多少輛摩托車?解:設(shè)在一個星期內(nèi)大約應(yīng)該生產(chǎn)x輛摩托車.根據(jù)題意,得到:-2x2+220x>6000移項整理,得x2-110x+3000<0.因為△=100>0,所以方程x2-110x+3000=0有兩個實數(shù)根x1=50,x2=60.由函數(shù)y=x2-110x+3000的圖象,得不等式的解集為{x|50<x<60}.因為x只能取整數(shù),所以當這條摩托車整車裝配流水線在一周內(nèi)生產(chǎn)的摩托車數(shù)量在51輛到59輛之間時,這家工廠能夠獲得6000元以上的收益.應(yīng)用題2.某種牌號的汽車在水泥路面上的剎車距離sm和汽車車速xkm/h有如下關(guān)系:在一次交通事故中,測得這種車的剎車距離大于39.5m,那么這輛汽車剎車前的車速至少為多少?(精確到0.01km/h)解:設(shè)這輛汽車剎車前的車速至少為xkm/h,根據(jù)題意,得到:移項整理,得x2+9x-7110>0.顯然△>0,方程x2+9x-7110=0有兩個實數(shù)根,即x1≈-88.94,x2≈79.94畫出函數(shù)y=x2+9x-7110的圖象,由圖象得不等式的解集為{x|x<-88.94,或x>79.94}在這個實際問題中,x>0,所以這輛汽車剎車前的車速至少為79.94km/h.題3.某同學要把自己的計算機接入因特網(wǎng).現(xiàn)有兩家ISP公司可供選擇.公司A每小時收費1.5元；公司B的收費原則如下：在用戶上網(wǎng)的第1小時內(nèi)收費1.7元，第2小時內(nèi)收費1.6元，以后每小時減少0.1元(若用戶一次上網(wǎng)時間超過17小時，按17小時計算).一般來說,一次上網(wǎng)時間不會超過17小時，所以，不妨假設(shè)一次上網(wǎng)時間總小于17小時，那么，一次上網(wǎng)在多長時間以內(nèi)能夠保證選擇公司A比選擇公司B所需費用少?

解:假設(shè)一次上網(wǎng)x小時，則公司A收取的費用為1.5x(元)，公司B收取的費用為(元).

如果能夠保證選擇公司A比選擇公司B所需費用少,則

(0<x<17).整理得x2-5x<0(0<x<17)

解得0<x<5所以,當一次上網(wǎng)時間在5小時以內(nèi)時，選擇公司A的費用少；超過5小時，選擇公司B的費用少.四、小結(jié)（1）化成標準形式ax2+bx+c>0(a>0)

ax2+bx+c<0(a>0)