2023-2024學(xué)年湖南省永州市東安縣一中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測模擬試題含解析

2023-2024學(xué)年湖南省永州市東安縣一中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測模擬試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.2．?dāng)?shù)學(xué)家歌拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．這條直線被后人稱為三角形的歐拉線．已知的三個頂點分別為，，，則的歐拉線方程是（）A. B.C. D.3．已知是空間的一個基底，若，，若，則（）A. B.C.3 D.4．設(shè)P為橢圓C：上一點，，分別為左、右焦點，且，則（）A. B.C. D.5．已知函數(shù)，若對任意兩個不等的正數(shù)，，都有恒成立，則a的取值范圍為（）A. B.C. D.6．設(shè),則是的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件7．過點且與直線垂直的直線方程是（）A. B.C. D.8．已知F(3,0)是橢圓的一個焦點，過F且垂直x軸的弦長為，則該橢圓的方程為（）A.+=1 B.+=1C.+=1 D.+=19．圓的圓心和半徑分別是（）A. B.C. D.10．已知雙曲線左右焦點為，過的直線與雙曲線的右支交于，兩點，且，若線段的中垂線過點，則雙曲線的離心率為（）A.3 B.2C. D.11．已知空間向量，，且與互相垂直，則k的值是（）A.1 B.C. D.12．設(shè)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，若（為常數(shù)），則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某足球俱樂部選拔青少年隊員，每人要進行3項測試．甲隊員每項測試通過的概率均為，且不同測試之間相互獨立，設(shè)他通過的測試項目數(shù)為X，則_________14．記為等差數(shù)列的前n項和.若，則_________.15．設(shè)為三角形的一個內(nèi)角，已知曲線：，則可能是___________.（寫出不同曲線的名稱，盡可能多.注：在一些問題情景中，直線可以理解成是特殊的曲線）16．曲線在點處的切線方程為_____________________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知三角形的三個頂點，求邊所在直線的方程，以及該邊上中線所在直線的方程18．（12分）已知橢圓：的一個焦點與曲線的焦點重合，且離心率為.（1）求橢圓的方程（2）設(shè)直線：交橢圓于M，N兩點.①若且的面積為，求的值.②若軸上的任意一點到直線與直線（為橢圓的右焦點）的距離相等，求證：直線恒過定點，并求出該定點坐標(biāo)19．（12分）如圖，在三棱錐中，底面，．點，，分別為棱，，的中點，是線段的中點，，（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）已知點在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長20．（12分）如圖，ABCD是邊長為2的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝2AF＝2（1）證明：AC∥平面BEF；（2）求點C到平面BEF的距離21．（12分）在中，其頂點坐標(biāo)為.（1）求直線的方程；（2）求的面積.22．（10分）已知數(shù)列的首項，其前n項和為，且滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項和為，且，求n.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】分析可知，對任意的恒成立，由參變量分離法可得出，求出在時的取值范圍，即可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為，則，由題意可知對任意的恒成立，則對任意的恒成立，當(dāng)時，，.故選：B.2、B【解析】根據(jù)的三個頂點坐標(biāo)，先求解出重心的坐標(biāo)，然后再根據(jù)三個點坐標(biāo)求解任意兩條垂直平分線的方程，聯(lián)立方程，即可算出外心的坐標(biāo)，最后根據(jù)重心和外心的坐標(biāo)使用點斜式寫出直線方程.【詳解】由題意可得的重心為．因為，，所以線段的垂直平分線的方程為．因為，，所以直線的斜率，線段的中點坐標(biāo)為，則線段的垂直平分線的方程為．聯(lián)立，解得，則的外心坐標(biāo)為，故的歐拉線方程是，即故選：B.3、C【解析】由，可得存在實數(shù)，使，然后將代入化簡可求得結(jié)果【詳解】，，因，所以存在實數(shù)，使，所以，所以，所以，得，，所以，故選：C4、B【解析】根據(jù)橢圓的定義寫出，再根據(jù)條件即可解得答案.【詳解】根據(jù)P為橢圓C：上一點，則有，又，所以，故選：B.5、A【解析】將已知條件轉(zhuǎn)化為時恒成立，利用參數(shù)分離的方法求出a的取值范圍【詳解】對任意都有恒成立，則時，，當(dāng)時恒成立，

，當(dāng)時恒成立，，故選：A6、B【解析】,，所以是必要不充分條件，故選B.考點：1.指、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；2.充分條件與必要條件.7、C【解析】根據(jù)兩直線垂直時斜率乘積為，可以直接求出所求直線的斜率，再根據(jù)點斜式求出直線方程，最后化成一般式方程即可.【詳解】因為直線的斜率為，故所求直線的斜率等于，所求直線的方程為，即，故選：C8、C【解析】根據(jù)已知條件求得，由此求得橢圓的方程.【詳解】依題意，所以橢圓方程為.故選：C9、B【解析】將圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求解.【詳解】解：.故選：B.10、C【解析】由雙曲線的定義得出中各線段長（用表示），然后通過余弦定理得出的關(guān)系式，變形后可得離心率【詳解】由題意又則有：可得：，，中，中．可得：解得：則有：故選：C11、D【解析】由＝0可求解【詳解】由題意，故選：D12、C【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.【詳解】.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)二項分布的方差公式即可求出【詳解】因為，所以故答案為：14、5【解析】根據(jù)等差數(shù)列前項和的公式及等差數(shù)列的性質(zhì)即可得出答案.【詳解】解：，所以.故答案為：5.15、焦點在軸上的橢圓，焦點在軸上的雙曲線，兩條直線.【解析】討論，和三種情況，進而根據(jù)曲線方程的特征得到答案.【詳解】若，則曲線：，而，曲線表示焦點在y軸上的橢圓；若，則曲線：或，曲線表示兩條直線；若，則曲線：，而，曲線表示焦點在x軸上的雙曲線.故答案為：焦點在y軸上橢圓，焦點在x軸上的雙曲線，兩條直線.16、【解析】首先判定點在曲線上，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得答案.【詳解】由題意可知點在曲線上，而，故曲線在點處的切線斜率為，所以切線方程：，即，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、；【解析】根據(jù)兩點式方程和中點坐標(biāo)公式求解，并化為一般式方程即可.【詳解】解：過的兩點式方程為，整理得即邊所在直線的方程為，邊上的中線是頂點A與邊中點M所連線段，由中點坐標(biāo)公式可得點M的坐標(biāo)為，即過，的直線的方程為，即整理得所以邊上中線所在直線的方程為18、（1）（2）①；②證明見解析，定點的坐標(biāo)為【解析】（1）由所給條件確定基本量即可.（2）①代入消元，韋達(dá)定理整體思想，列出關(guān)于的方程從而得解；②由已知可知，得到關(guān)于、的一次關(guān)系式可得證.【小問1詳解】由已知橢圓的右焦點坐標(biāo)為，，所以，橢圓的方程：【小問2詳解】①將與橢圓方程聯(lián)立得.設(shè)，，則，解得，∴，，點到直線的距離為，∴，解得（舍去負(fù)值），∴.②設(shè)，，將與橢圓方程聯(lián)立，得，當(dāng)時，∴，，，若軸上任意一點到直線與的距離均相等，則軸為直線與的夾角的平分線，∴，即，∴.∴，解得.∴.∴直線恒過一定點，該定點的坐標(biāo)為.19、（1）證明見解析；（2）；（3）或【解析】本小題主要考查直線與平面平行、二面角、異面直線所成的角等基礎(chǔ)知識.考查用空間向量解決立體幾何問題的方法.考查空間想象能力、運算求解能力和推理論證能力.首先要建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點的坐標(biāo)，證明線面平行只需求出平面的法向量，計算直線對應(yīng)的向量與法向量的數(shù)量積為0，求二面角只需求出兩個半平面對應(yīng)的法向量，借助法向量的夾角求二面角，利用向量的夾角公式，求出異面直線所成角的余弦值，利用已知條件，求出的值.試題解析：如圖，以A為原點，分別以，，方向為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.依題意可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）.（1）證明：=（0，2，0），=（2，0，）.設(shè)，為平面BDE的法向量，則，即.不妨設(shè)，可得.又=（1，2，），可得.因為平面BDE，所以MN//平面BDE.（2）解：易知為平面CEM的一個法向量.設(shè)為平面EMN的法向量，則，因為，，所以.不妨設(shè)，可得.因此有，于是.所以，二面角C—EM—N的正弦值為.（3）解：依題意，設(shè)AH=h（），則H（0，0，h），進而可得，.由已知，得，整理得，解得，或.所以，線段AH的長為或.【考點】直線與平面平行、二面角、異面直線所成角【名師點睛】空間向量是解決空間幾何問題的銳利武器，不論是求空間角、空間距離還是證明線面關(guān)系利用空間向量都很方便，利用向量夾角公式求異面直線所成的角又快又準(zhǔn)，特別是借助平面的法向量求線面角，二面角或點到平面的距離都很容易.20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，進而求出平面BEF的法向量，然后證明線面平行；（2）算出在向量方向上的投影，進而求得答案.【小問1詳解】因為DE⊥平面ABCD，DA、DC平面ABCD，所以DE⊥DA，DE⊥DC，因為ABCD是正方形，所以DA⊥DC.以D為坐標(biāo)原點，所在方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則A(2，0，0)，C(0，2，0)，B(2，2，0)，E(0，0，2)，F(xiàn)(2，0，1)，所以，，設(shè)平面BEF的法向量，因為，所以－2x－2y＋2z＝0，－2y＋z＝0，令y＝1，則＝(1，1，2)，又因為＝(－2，2，0)，所以，即，而平面BEF，所以AC∥平面BEF.【小問2詳解】設(shè)點C到平面BEF的距離為d，而，所以，所以點C到平面BEF的距離為21、（