倫納德-高斯勢的相對動能ur曲線

倫納德-高斯勢的相對動能ur曲線

物質(zhì)由分子（或原子）組成。子熱運動與分子之間的相互作用是決定物質(zhì)各種熱學(xué)性質(zhì)的基本因素。分子之間的相互作用關(guān)系復(fù)雜，無法通過實驗直接測量。從理論（即使是劑量理論）來看，很難提供普遍而簡單的解決方案，也很難使用簡單的數(shù)學(xué)公式。通常，改進(jìn)的方法是基于實驗的簡化模型來處理問題。一個常見的模型是，假設(shè)分子之間的相互作用具有球?qū)ΨQ，1907年的美國指出，分子和原生動物之間的相互作用是。u(r)=βrn-αrm(1)u(r)=βrn?αrm(1)其中α>0,β>0,n>m>0,它們是通過實驗確定的常數(shù).式中第一項為排斥勢,第二項為吸引勢,且排斥勢作用半徑比吸引勢作用半徑小,式(1)簡稱為米勢.在多數(shù)情況下,取m=6,n為9～12之間的整數(shù),而以n=12為最佳.1924年,倫納德-瓊斯(Lennard-Jones)又提出了半經(jīng)驗公式u(r)=u0[(r0r)12-2(r0r)6](2)式中u0是在平衡位置(r=r0)時的勢能的絕對值.式(2)簡稱為倫納德-瓊斯勢.由于米勢、倫納德-瓊斯勢中均有一對參數(shù)(兩種表式分別為α、β或u0、r0)是待定的,與物質(zhì)有關(guān),對于米勢還需選定n、m的值.因此,熱學(xué)、熱力學(xué)與統(tǒng)計物理學(xué)和固體物理學(xué)教材一般僅繪制定性的分子勢能曲線與分子力曲線.本文探討米勢的相對勢能U及其相應(yīng)的相對力F與參數(shù)n、m的關(guān)系,并以雷納德—瓊斯勢為例,精確地繪制分子勢能曲線與力曲線.1美國的潛力1.1米勢的態(tài)勢分析由式(1),可得兩分子間的相互作用力f(r)=-du(r)dr=-mαrm+1+nβrn+1(3)在平衡位置r0處,分子所受的力為零.令f(r0)=0,可解得β=mαrn-m0n(4)r0=(nβmα)1n-m(5)式(4)代入式(1)得u(r)=-αrm+mαrn-m0nrn=mαr-m0n[(r0r)n-nm(r0r)m](6)在平衡位置r0處,勢能為u(r0),由上式有u0=-u(r0)=n-mnαr-m0(7)代入式(6)得u(r)=mn-mu0[(r0r)n-nm?(r0r)m](8)由上式可知,米勢由四個參數(shù)(u0、r0、n、m)確定.若給定某種分子的四個參數(shù)(u0、r0、n、m)值,則可繪制該種分子的勢能曲線.當(dāng)r=σ=n-m√mnr0(9)時,u(σ)=0,排斥勢與吸引勢的絕對值相等,且等于u斥(σ)=mu0n-m?(nm)nn-m(10)根據(jù)式(9)、式(10),可將式(8)改寫成如下形式u(r)=u斥(σ)[(σr)n-(σr)m](11)u(r)對r的一階、二階導(dǎo)數(shù)分別為du(r)dr=-f(r)=mnn-mu0r0(-rn+10rn+1+rm+10rm+1)(12)d2u(r)dr2=-df(r)dr=mnn-mu0r20((n+1)rn+20rn+2-(m+1)rm+20rm+2)(13)由式(12)、(13)可知,在平衡位置r0處,勢能有極小值u(r0)=-u0,勢能曲線拐點位于r拐勢=δ=r0n-m√n+1m+1(14)由上述討論可知米勢的勢能曲線特征為:Ⅰ當(dāng)r→0時,u(r)→+∞;當(dāng)r→+∞時,u(r)→0;在平衡位置r0(>σ)處,勢能有極小值u(r0)=-u0.Ⅱ當(dāng)0<r≤σ時,u(r)≥0;當(dāng)σ<r<+∞時,u(r)<0.Ⅲ當(dāng)0<r≤r0時,du(r)dr<0,即勢能隨r的增大而減小;當(dāng)r0<r<+∞時,du(r)dr>0,即勢能隨r的增大而增大.Ⅳ勢能曲線拐點位于δ(>r0)處,當(dāng)0<r<δ時,曲線是凹的;當(dāng)δ<r<+∞時,曲線是凸的.1.2相對勢能曲線的繪制令相對距離R=r/r0,相對勢能U(R)=u(R)/u0,則式(8)變?yōu)閁(R)=mn-m(1Rn-nm?1Rm)(15)上式表示米勢的相對勢能僅由二個參數(shù)(n、m)確定,與參數(shù)(r0、u0)無關(guān).只要給定參數(shù)n、m的值,就可以繪制一類分子的相對勢能曲線.1.3平衡位置t在討論固體、液體中分子的熱振動以及固體的熱膨脹時,需要知道分子在平衡位置附近的勢能曲線形狀.為此,將米勢u(r)在平衡位置r=r0處(即令r=r0+x)展開成泰勒級數(shù)u(r)=u(r0)+(dudr)r=r0?x+12!(d2udr2)r=r0?x2+13!(d3udr3)r=r0?x3+14!(d4udr4)r=r0?x4+?式(8)對r的零階、一階、二階與三階導(dǎo)數(shù)在平衡位置r=r0處的值分別為u(r0)=-u0?du(r)dr|r=r0=mnn-mu0r0[-rn+10rn+1+rm+10rm+1]r=r0=0?d2u(r)dr2|r=r0=mnn-mu0r20[(n+1)rn+20rn+2-(m+1)rm+20rm+2]r=r0=mnu0r20?d3u(r)dr3|r=r0=mnn-mu0r30[-(n+1)(n+2)rn+30rn+3+(m+1)(m+2)rm+30rm+3]r=r0=-mn(m+n+3)u0r30(16)代入米勢u(r)的展開式,并保留到第四項,得u(x)≈-u0+12mnu0r20x2-16mn(m+n+3)u0r30x3(17)上式為米勢u(r)的近似式,其成立條件為x?r0.若令相對距離X=x/r0,相對勢能U(X)=u(x)/u0,則式(17)可改寫為U(X)=-1+12mnX2-16mn(m+n+3)X3(18)上式為米勢u(r)的近似式,其成立條件為X?1.若保留到第二項,則勢能曲線為拋物線,分子應(yīng)在平衡位置附近作簡諧振動;若保留到第三項,則勢能曲線不是拋物線,勢能曲線在平衡位置附近不再對稱,分子將在平衡位置附近作非簡諧振動.1.4米勢曲線設(shè)計式(4)代入式(3)得f(r)=mαr-(m+1)0[-(r0r)m+1+(r0r)n+1]令f0斥=mαr-(m+1)0,并由式(7)可得f0斥=mαr-(m+1)0=mnn-m?u0r0(19)它是平衡位置r0處分子受到的斥力.于是,與米勢相應(yīng)的分子間的相互作用力為f(r)=mnn-m?u0r0[-(r0r)m+1+(r0r)n+1]=f0斥[-(r0r)m+1+(r0r)n+1](20)當(dāng)r=r0時,f(r0)=0,排斥力與吸引力的大小相等.由(13)式可知,勢能曲線拐點(r勢拐=δ=r0n-m√n+1m+1)對應(yīng)于力曲線的“極小值”f(δ)=f0斥(m+1n+1)m+1n-m(m+1n+1-1)=-f0斥(n-mn+1)(m+1n+1)m+1n-m(21)令d2f(r)dr2=-d3u(r)dr3=0,可得力曲線拐點r力拐=λ=r0n-m√(n+1)(n+2)(m+1)(m+2)(22)由上述討論可知米勢的力曲線特征為:Ⅰ當(dāng)r→0時,f(r)→+∞;當(dāng)時r→+∞,f(r)→0;在r=δ(對應(yīng)于勢能曲線拐點)處,f(r)有極小值.Ⅱ當(dāng)0<r≤r0時,f(r)≥0;當(dāng)r0<r<+∞時,f(r)<0.Ⅲ當(dāng)0<r≤δ時,df(r)dr<0,即f(r)隨r的增大而減小;當(dāng)δ<r<+∞時,df(r)dr>0,即f(r)隨r的增大而增大.Ⅳ力曲線拐點位于λ(>δ)處,當(dāng)0<r<λ時,曲線是凹的;當(dāng)λ<r<+∞時,曲線是凸的.1.5相對力曲線的繪制令相對距離R=r/r0,相對力F(R)=f(r)/f0斥,則式(20)變?yōu)镕(R)=(1R)n+1-(1R)m+1(23)上式表示米勢的相對力僅由二個參數(shù)(n、m)確定,與參數(shù)(r0、u0)無關(guān).只要給定參數(shù)n、m的值,就可以繪制一類分子的相對力曲線.1.6x+12mnm+n+3u2004由式(17),可得米勢的近似分子力為f(x)=-du(x)dx≈-mnu0r20x+12mn(m+n+3)u0r30x2(24)令相對距離X=x/r0,相對分子力F(X)=f(x)/f0斥,則式(24)可改寫為F(X)=-(n-m)X+12(n-m)(m+n+3)X2(25)(24)式與(25)式的成立條件均為X?1.2倫納德瓊斯2.1倫納德-斯塔勢的ur值當(dāng)米勢中的m=6、n=12時,米勢即為倫納德-瓊斯勢u(r)=βr12-αr6(26)令式(8)中的m=6、n=12,上式變?yōu)槭?2)的形式u(r)=u0[(r0r)12-2(r0r)6](2)令式(10)、式(11)中的m=6、n=12,則u斥(σ)=4u0,倫納德-瓊斯勢可寫成如下形式u(r)=4u0[(σr)n-(σr)m](27)2.2相對進(jìn)攻指數(shù)12-2r-28令式(15)中的m=6、n=12,可得倫納德-瓊斯勢的相對勢能為U(R)=R-12-2R-6(28)根據(jù)上式,使用數(shù)學(xué)軟件Matlab繪制雷納德-瓊斯勢的相對勢能曲線以及排斥勢、吸引勢的相對勢能曲線,如圖1所示.相對勢能曲線是不對稱的,平衡位置(R=1)的左邊較陡,右邊較平坦,勢能曲線拐點位于R=1.1087處.2.3林分密度的相對力令式(20)中的m=6、n=12,可得倫納德-瓊斯勢的分子力為f(r)=f0斥[-(r0r)7+(r0r)13](29)式中f0斥=12u0/r0是平衡位置r0處分子受到的斥力.令式(23)中的m=6、n=12,可得倫納德-瓊斯勢的相對分子力為F(R)=R-(n+1)-R-(m+1)=R-13-R-7(30)根據(jù)上式,使用數(shù)學(xué)軟件Matlab繪制雷納德-瓊斯勢的相對力曲線以及排斥力、吸引力的相對力曲線,如圖2所示.相對力曲線也是不對稱的,平衡位置(R=1)的左邊較陡,右邊較平坦,力曲線拐點位于R=1.2171處.根據(jù)文獻(xiàn)提供的氣體參數(shù)u0(平衡位置的勢能的大小)和σ(排斥勢與吸引勢的絕對值相等點)的值,利用關(guān)系式r0=6√2σ、δ=r06√13/7?f0斥=12u0/r0可計算出平衡位置r0、f(r)的極值點δ(|f(δ)|/f0斥=0.22416),平衡位置處分子受到的斥力f0斥的值,見表1.2.4雷納德-斯德哥爾摩勢特性的近似分析令式(18)中的m=6、n=12,可得倫納德-瓊斯勢在平衡位置附近的近似相對勢能為U(X)=-1+36X2-252X3(31)其成立條件為X?1.由它所繪制的雷納德-瓊斯勢的近似相對勢能曲線如圖3中的實線所示.從圖3可知,近似的相對勢能曲線也是不對稱的,平衡位置(X=0)的左邊較陡,右邊較平坦.2.5分子間距對拉格朗日乘子法發(fā)展的影響令式(25)中的m=6、n=12,可得倫納德-瓊斯勢在平衡位置附近的近似相對力為F(X)=-6X+63X2(32)由它所繪制的繪制雷納德-瓊斯勢的近似相對力曲線如圖4中的實線所示.若略去式(32)的第二項,則近似相對力為線性恢復(fù)力,其相對力曲線如圖4中的虛線所示.由圖4可看出,恢復(fù)力在平衡位置兩邊也不對稱.當(dāng)X>0時,恢復(fù)力比線性關(guān)系所預(yù)期的值小,則當(dāng)X<0時,恢復(fù)力比線性關(guān)系所預(yù)期的值大.即兩分子間距增大時,吸引力比線性關(guān)系所預(yù)期的值小,兩分子間距減小時,斥力比線性關(guān)系所預(yù)期的值大.本文引入相對距離R、相對勢能U與相對力F,導(dǎo)出了米勢的相對勢能U(R)及其相應(yīng)的相對力F(R)與參數(shù)n、m的關(guān)系,并精確地繪制了倫納德-瓊斯勢的相對勢能U(R)曲線及其相應(yīng)的相對力F(R)曲線,形象直觀準(zhǔn)確地顯示了它們的