考研數(shù)學一(矩陣的特征值與特征向量)-試卷1

考研數(shù)學一（矩陣的特征值與特征向量）-試卷1(總分：76.00，做題時間：90分鐘)一、選擇題(總題數(shù)：7，分數(shù)：14.00)1.選擇題下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求。（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________解析：2.設A為n階可逆矩陣，λ是A的一個特征值，則伴隨矩陣A*的一個特征值是

（分數(shù)：2.00）

A.λ－1｜A｜n－1．

B.λ－1｜A｜．

√

C.λ｜A｜．

D.λ｜A｜n－1．解析：解析：如Aα=λα，則A－1α=α．故選(B)．3.設A=2是可逆矩陣A的一個特征值，則+E的一個特征值是

（分數(shù)：2.00）

A.

B.

C.

√

D.解析：解析：如Aα=λα，則+1)α．當λ=2時，知．選(C)．4.設A是3階不可逆矩陣，α1，α2是Ax=0的基礎解系，α3是屬于特征值λ=1的特征向量，下列不是A的特征向量的是

（分數(shù)：2.00）

A.α1+3α2．

B.α1一α2．

C.α1+α3．

√

D.2α3．解析：解析：如Aα1=λα1，Aα2=λα2，則A(k1α1+k2α2)=k1Aα1+k2Aα2=k1λα1+k2λα2=λ(k1α1+k2α2)．因此k1α1+k2α2是A的特征向量，所以(A)、(B)、(D)均正確．設Aβ1=λβ1，Aβ2=μβ2，λ≠μ，若A(β1+β2)=k(β1+β2)，則λβ1+μβ2=kβ1+kβ2．即有(λ－k)β1+(μ—k)β2=0．因為λ—k，μ一k不全為0，與β1，β2是不同特征值的特征向量線性無關相矛盾．從而α1+α3不是A的特征向量．故應選(C)．5.設α0是A屬于特征值λ0的特征向量，則α0不一定是其特征向量的矩陣是

（分數(shù)：2.00）

A.(A+E)2．

B.一2A．

C.AT．

√

D.A*．解析：解析：由｜λE一AT｜=｜(λE—A)T｜=｜λE一A｜，知A與AT有相同的特征值，但方程組(AE—A)x=0與(AE—AT)x=0不一定同解，故A與AT特征向量不一定相同．故應選(C)．6.下列矩陣中不能相似對角化的是

（分數(shù)：2.00）

A.

B.

C.

D.

√解析：解析：(A)是實對稱矩陣，(C)有3個不同的特征值，均可對角化．(B)和(D)特征值都是0，0，3．在(B)中，n一r(0E—A)=2，說明λ=0有2個線性無關的特征向量．故可以相似對角化．在(D)中，n—r(0E—A)=1，說明λ=0只有1個線性無關的特征向量．因此不能相似對角化．故應選(D)．7.設A是n階非零矩陣，Am=0，下列命題中不一定正確的是

（分數(shù)：2.00）

A.A的特征值只有零．

B.A必不能對角化．

C.E+A+A2+…+Am－1必可逆．

D.A只有一個線性無關的特征向量．

√解析：解析：設Aα=λα，α≠0，則Amα=λmα=0．故λ=0．(A)正確．因為A≠0，r(A)≥1，那么Ax=0的基礎解系有n—r(A)個解，即λ=0有n—r(A)個線性無關的特征向量．故(B)正確，而(D)不一定正確．由(E一A)(E+A+A2+…+Am－1)=E一Am=E，知(C)正確．故應選(D)．二、填空題(總題數(shù)：9，分數(shù)：18.00)8.設A是n階矩陣，r(A)＜n，則A必有特征值1，且其重數(shù)至少是2．

（分數(shù)：2.00）填空項1:__________________

（正確答案：正確答案：λ=0）填空項1:__________________

（正確答案：n—r(A)）解析：解析：r(A)＜n｜A｜=0λ=0必是A的特征值．由r(A)＜nAx=0有非0解．設η1，η2，…，ηn－r(A)是Ax=0的基礎解系，則Aηj=0=0ηj，即λ=0是矩陣A的特征值，ηj(j=1，2，…，n—r(A))是λ=0的特征向量．因此λ=0有n—r(A)個線性無關的特征向量．從而λ=0至少是矩陣A的n—r(A)重特征值．注意：k重特征值至多有k個線性無關的特征向量．9.設A是n階可逆矩陣，A是A的特征值，則(A*)2+E必有特征值1．

（分數(shù)：2.00）填空項1:__________________

（正確答案：正確答案：[*]）解析：解析：A的特征值為λ(A*)2+E的特征值為+1．10.已知－2是A=的特征值，則x=1．

（分數(shù)：2.00）填空項1:__________________

（正確答案：正確答案：—4）解析：解析：因為－2是矩陣A的特征值，所以由11.設A是秩為2的3階實對稱矩陣，且A2+5A=0，則A的特征值是1．

（分數(shù)：2.00）填空項1:__________________

（正確答案：正確答案：－5，－5，0）解析：解析：因為A是實對稱矩陣，故A～=2．設Aα=λα(α≠0)由A2+5A=0得λ2+5λ=0．因此A的特征值為0或－5．從而A～．所以矩陣A的特征值是：－5，－5，0．12.已知α=(1，1，一1)T是矩陣A=的特征向量，則x=1．

（分數(shù)：2.00）填空項1:__________________

（正確答案：正確答案：4）解析：解析：設Aα=λα，即，亦即13.設A是3階矩陣，且各行元素之和都是5，則A必有特征向量1．

（分數(shù)：2.00）填空項1:__________________

（正確答案：正確答案：[*]）解析：解析：因為各行元素之和都是5，即亦即從而A．所以矩陣A必有特征向量14.設A是3階實對稱矩陣，特征值是0，1，2．如果λ=0與λ=1的特征向量分別是α1=(1，2，1)T與α2=(1，一1，1)T，則λ=2的特征向量是1．

（分數(shù)：2.00）填空項1:__________________

（正確答案：正確答案：t(一1，0，1)T）解析：解析：設λ=2的特征向量是α=(x1，x2，x3)，則因實對稱矩陣不同特征值的特征向量相互正交，故有所以λ=2的特征向量是t(一1，0，1)T，t≠0．15.已知A=相似，則x=1，y=2．

（分數(shù)：2.00）填空項1:__________________

（正確答案：正確答案：0）填空項1:__________________

（正確答案：1）解析：解析：由A～B，知∑aii=∑bii且一1是A的特征值，即16.已知矩陣A=有兩個線性無關的特征向量，則a=1．

（分數(shù)：2.00）填空項1:__________________

（正確答案：正確答案：－1）解析：解析：由A的特征多項式知矩陣A的特征值是λ=－1(三重根)，因為A只有2個線性無關的特征向量，故從而a=－1．三、解答題(總題數(shù)：22，分數(shù)：44.00)17.解答題解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________解析：18.某試驗性生產(chǎn)線每年一月份進行熟練工與非熟練工的人數(shù)統(tǒng)計，然后將熟練工支援其他生產(chǎn)部門，其缺額由招收新的非熟練工補齊，新、老非熟練工經(jīng)過培訓及實踐至年終考核有成為熟練工．設第n年一月份統(tǒng)計的熟練工和非熟練工所占百分比分別為xn和yn，記成αn=(Ⅰ)求αn+1與αn的關系式，并寫成矩陣形式：αn+1=Aαn；(Ⅱ)求矩陣A的特征值與特征向量；(Ⅲ)若α0=，求Anα0．

（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：(Ⅰ)按題意有用矩陣表示，即為(Ⅱ)由特征多項式得矩陣A的特征值λ1=1，λ2=對λ=1，由(E—A)x=0得基礎解系η1=，因此矩陣A屬于λ=1的特征向量是k1η1(k1≠0)．對λ=的特征向量是k2η2(k2≠0)．(Ⅲ)設x1η1+x2η2=α0，即于是)解析：19.已知矩陣A=有特征值λ=5，求a的值；并當a＞0時，求正交矩陣Q，使Q－1AQ=A．

（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：因λ=5是矩陣A的特征值，則由｜5E—A｜==3(4—a2)=0，可得a=±2．當a=2時，則由矩陣A的特征多項式知矩陣A的特征值是1，2，5．由(E—A)x=0得基礎解系α1=(0，1，一1)T；由(2E一A)x=0得基礎解系α2=(1，0，0)T；由(5E一A)x=0得基礎解系α3=(0，1，1)T．即矩陣A屬于特征值1，2，5的特征向量分別是α1，α2，α3．由于實對稱矩陣特征值不同特征向量相互正交，故只需單位化，有那么，令Q=(γ1，γ2，γ3)=，則有Q－1AQ=)解析：20.設矩陣A=的特征值有重根，試求正交矩陣Q，使QTAQ為對角形．

（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：A的特征多項式=(λ一2)[λ2+(3—a)λ一(3a+20)]，由于判別式(3一a)2+4(3a+20)=0沒有實數(shù)根，即λ2+(3一a)λ一(3a+20)≠(λ一k)2，所以只能λ=2是重根．于是λ2+(3一a)λ一(3a+20)必有λ一2的因式，因此由22+2(3—a)一(3a+20)=0，得a=－2．從而得到矩陣A的特征值是λ1=λ1=2，λ3=－7．對于λ=2，由(2E—A)x=0，即得到線性無關的特征向量α1=(一2，1，0)T，α2=(2，0，1)T．用Schmidt正交化方法，先正交化，有再將β1，β2單位化，得對于λ=－7，由(一7E—A)x=0，即得特征向量α3=(1，2，一2)T，單位化為γ3=(1，2，－2)T．那么，令Q=(γ1，γ2，γ3)=)解析：解析：因為Q是正交矩陣，有QT=Q－1，故QTAQ=A，即Q－1AQ=A．為此，應當求矩陣A的特征向量．21.設A=，正交矩陣Q使得QTAQ為對角矩陣．若Q的第1列為(1，2，1)T，求a，Q．

（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：按已知條件，(1，2，1)T是矩陣A的特征向量，設特征值是λ1，那么由知矩陣A的特征值是：2，5，一4．對λ=5，由(5E—A)x=0，得基礎解系α2=(1，一1，1)T．對λ=－4，由(一4E—A)x=0，得基礎解系α3=(一1，0，1)T．因為A是實對稱矩陣，特征值不同特征向量相互正交，故只需把α2，α3單位化，有γ2=(1，－1，1)T，γ3=(－1，0，1)T．那么令Q=，則QTAQ=Q－1AQ=)解析：解析：因為Q是正交矩陣QT=Q－1，所以QTAQ=A，即Q－1AQ=的對角線上的元素是A的特征值，Q是A的特征向量．22.設3階實對稱矩陣A的特征值，λ1=1，λ2=2，λ3=－2，且α1=(1，一1，1)T是A的屬于λ1的一個特征向量．記B=A5－4A3+E，其中E為3階單位矩陣．(Ⅰ)驗證α1是矩陣B的特征向量，并求B的全部特征值與特征向量；(Ⅱ)求矩陣B．

（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：(Ⅰ)由Aα=λα有Anα=λnα．那么，對于Aα1=λ1α1=α1，有Bα1=(A5一4A3+E)α1=A5α1一4A3α1+α1=(+1)α1=－2α1．因此，向量α1是矩陣B屬于特征值λ=－2的特征向量．類似地，對λ2=2，λ3=－2有：若Aα=λ2α，則Bα=(+1)α=α；若Aβ=λ3β，則Bβ=(+1)β=β，那么α，β是矩陣B屬于特征值λ=1的特征向量．因α，β是矩陣A不同特征值的特征向量，因此它們線性無關．從而矩陣B的特征值是：一2，1，1，且矩陣B屬于特征值λ=－2的特征向量是k1α1(k1≠0)．又由A是實對稱矩陣知，B是實對稱矩陣．那么B的屬于特征值λ=1與λ=－2的特征向量應當相互正交．設矩陣B屬于λ=1的特征向量α=(x1，x2，x3)T，則x1－x2+x3=0．解此方程組得基礎解系α2=(1，1，0)T，α3=(一1，0，1)T．故矩陣B屬于λ=1的特征向量是k2α2+k3α3(k2，k3不全為0)．(Ⅱ)令P=(α1，α2，α3)，有P－1BP=那么)解析：23.已知A是3階實對稱矩陣．滿足A4+2A3+A2+2A=0，且秩r(A)=2．求矩陣A的全部特征值，并求秩r(A+E)．

（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：設λ是矩陣A的任一特征值，α是屬于特征值λ的特征向量，則Aα=λα(α≠0)，于是Anα=λnα．那么用α右乘A4+2A3+A2+2A=0得(λ4+2λ3+λ2+2λ)α=0．因為特征向量α≠0，故λ4+2λ3+λ2+2λ=λ(λ3+2λ2+λ+2)=λ(λ+2)(λ2+1)=0．由于實對稱矩陣的特征值必是實數(shù)，從而矩陣A的特征值是0或一2．由于實對稱矩陣必可相似對角化，且秩r(A)=r(A)=2，所以A的特征值是0，一2，一2．因A～+E=，所以秩r(A+E)=r(+E)=3．)解析：24.設A是n階正交矩陣，λ是A的實特征值，α是相應的特征向量．證明λ只能是±1，并且α也是AT的特征向量．

（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：按特征值定義，對于Aα=λα，經(jīng)轉置得αTAT=(Aα)T=(λα)T=λαT，因為ATA=E，從而αTα=αTATAα=(λαT)(λα)=λ2αTα，則(1一λ2)αTα=0．因為α是實特征向量，αTα=＞0，可知λ2=1，由于λ是實數(shù)，故只能是1或一1．若λ=1，從Aα=α，兩邊左乘AT，得到ATα=ATAα=α，即α是AT關于λ=1的特征向量．)解析：25.設A，B均是n階矩陣，證明AB與BA有相同的特征值．

（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：設λ0是AB的非零特征值，α0是AB對應于λ0的特征向量，即(AB)α0=λ0α0(α0≠0)．用B左乘上式，得BA(Bα0)=λ0Bα0．下面需證Bα0≠0(這樣Bα0就是矩陣BA對應于λ0的特征向量)．(反證法)如Bα0=0，那么(AB)α0=A(Bα0)=0，這與(AB)α0=λ0α0≠0相矛盾．所以，λ0是BA的特征值．如λ0=0是AB的特征值，則因｜0E－BA｜=｜－BA｜=(－1)n｜B｜.｜A｜=(一1)n｜A｜.｜B｜=｜0E一AB｜，所以，λ0=0也是BA的特征值．同樣可證BA的特征值必是AB的特征值，所以AB與BA特征值相同．)解析：26.設A，B均是n階矩陣，且秩r(A)+r(B)＜n，證明：A，B有公共的特征向量．

（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：設r(A)=r，r(B)=s，且α1，α2，…，αn－r是齊次方程組Ax=0的基礎解系，即矩陣A關于λ=0的特征向量，β1，β2，…，βn－s是B關于λ=0的特征向量．那么，向量組α1，α2，…，αn－r，β1，β2，…，βn－s必線性相關(由于n－r+n－s=n+(n－r－s)＞n，．于是存在不全為零的實數(shù)后k1，k2，…，kn－r，l1，l2，…，ln－s，使k1α1+k2α2+…+kn－rαn－r+l1β1+l2β2+…+ln－sβn－s=0．因為α1，α2，…，αn－r線性無關，β1，β2，…，βn－s線性無關，所以k1，k2，…，kn－r與l1，l2，…，ln－s必分別不全為零．令γ=k1α1+k2α2+…+kn－rαn－r=－(l1β1+l2β2+…+ln－sβn－s)，則γ≠0，從特征向量性質(zhì)1知，γ既是A關于λ=0的特征向量，也是B關于λ=0的特征向量，因而A，B有公共的特征向量．)解析：27.若任一n維非零向量都是n階矩陣A的特征向量，則A是數(shù)量矩陣．

（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：因為任一n維非零向量都是A的特征向量，所以A有n個線性無關的特征向量，從而A可以對角化．特別地，n維單位向量ei=(0，…，1，…，0)T，i=1，2，…，n，是A的特征向量．令P=(e1，e2，…，en)，則有P=E，且若A的特征值λ1≠λ2，則由于e1，e2分別是λ1，λ2的特征向量，那么e1+e2不再是A的特征向量，這與已知條件“任一非零向量都是特征向量”相矛盾，同理可知λ1=λ2=…=λn，即A是數(shù)量矩陣．)解析：28.設A是3階矩陣，且有3個互相正交的特征向量，證明A是對稱矩陣．

（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：設A的特征值是λ1，λ2，λ3，相應的特征向量是α1，α2，α3．因為α1，α2，α3已兩兩正交，將其單位化為γ1，γ2，γ3，則γ1，γ2，γ3仍是A的特征向量，且P=(γ1，γ2，γ3)是正交矩陣，并有從而由A==A，即A是對稱矩陣．)解析：解析：非零正交向量組是線性無關的，故A有3個線性無關的特征向量；即A可以對角化，并且可以用正交變換化為對角形．29.已知A=，求A的特征值、特征向量，并判斷A能否對角化，說明理由．

（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：由特征多項式得到矩陣A的特征值λ1=2，λ2=λ3=－1．由(2E—A)x=0得基礎解系α1=(5，一2，9)T，即λ=2的特征向量是k1α1(k1≠0)．由(一E一A)x=0得基礎解系α2=(1，一1，0)T，即λ=－1的特征向量是k2α2(k2≠0)．因為矩陣A只有2個線性無關的特征向量，所以A不能相似對角化．)解析：30.已知A=，A*是A的伴隨矩陣，求A*的特征值與特征向量．

（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：因為A==B—E，而r(B)=1，則有｜λE—B｜=λ3一6λ2．所以矩陣B的特征值是6，0，0．故矩陣A的特征值是5，一1，一1．又行列式｜A｜=5，因此A*的特征值是1，一5，一5．矩陣B屬于λ=6的特征向量是α1=(1，1，1)T，屬于λ=0的特征向量是α2=(一1，1，0)T和α3=(一1，0，1)T．因此A*屬于λ=1的特征向量是k1α1(k1≠0)，屬于λ=－5的特征向量是k2α2+k3α3(k2，k3不全為0)．)解析：31.已知A=可對角化，求可逆矩陣P及對角矩陣A，使P－1AP=A．

（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：由特征多項式知矩陣A的特征值為λ1=λ2=1，λ3=－2．因為矩陣A可以相似對角化，故r(E—A)=1．而所以x=6．當λ=1時，由(E一A)x=0得基礎解系α1=(一2，1，0)T，α2=(0，0，1)T．當A=－2時，由(一2E一A)x=0得基礎解系α3=(一5，1，3)T．那么，令P=(α1，α2，α3)=)解析：32.已知A是3階不可逆矩陣，一1和2是A的特征值，B=A2一A一2E，求B的特征值，并問B能否相似對角化，并說明理由．

（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：因為矩陣A不可逆，有｜A｜=0，從而λ=0是A的特征值．由于矩陣A有3個不同的特征值，則A～于是P－1AP=．因此P－1BP=P－1A2P—P－1AP一2E=所以矩陣B的特征值是λ1=λ2=0，λ3=－2，且B可以相似對角化．)解析：33.設3階矩陣A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=3對應的特征向量依次為α1=(1，1，1)T，α2=(1，2，4)T，α3=(1，3，9)T．(Ⅰ)將向量β=(1，1，3)T用α1，α2，α3線性表出；(II)求Anβ．

（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：(Ⅰ)設x1α1+x2α2+x3α3=β，即故β=2α1一2α2+α3．(Ⅱ)Aβ=2Aα1一2Aα2+Aα3，則Anβ=2Anα1一2Anα2+Anα3=2α1一2.2nα2+3nα3=)解析：34.設矩陣A=可逆，向量α=是矩陣A*的特征向量，其中A*是A的伴隨矩陣，求a，b的值．

（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：設A*α=λα，由AA*=｜A｜E，有｜A｜α=λAα，即③一①：λ(a一2)=0．由矩陣A可逆，知A*可逆．那么特征值λ≠0，所以a=2．①×b一②：λ(b2+b一2)=0知b=1或b=－2．)解析：35.設3階實對稱矩陣A的秩為2，λ1=λ2=6是A的二重特征值，若α1=(1，1，0)T，α2=(2，1，1)T，α3=(一1，2，一3)T都是A屬于λ=6的特征向量，求矩陣A．

（分數(shù)：2.00）___________________________________________________