2023-2024學(xué)年沈陽(yáng)市第一三四中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

2023-2024學(xué)年沈陽(yáng)市第一三四中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上，這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”．若滿足，頂點(diǎn)，且其“歐拉線”與圓相切，則：①．圓M上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為②．圓M上存在三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為③．若點(diǎn)在圓M上，則的最小值是④．若圓M與圓有公共點(diǎn)，則上述結(jié)論中正確的有（）個(gè)A.1 B.2C.3 D.42．已知過(guò)點(diǎn)的直線與圓相切，且與直線平行，則（）A.2 B.1C. D.3．等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A. B.8C.1或 D.或4．如圖，在三棱錐中，，二面角的正弦值是，則三棱錐外接球的表面積是（）A. B.C. D.5．等比數(shù)列{}中，已知=8，+=4，則的值為（）A.1 B.2C.3 D.56．已知，是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上的一點(diǎn)，若以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)P，且，則C的離心率為（）A. B.C. D.7．若雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且它的兩條漸近線方程是，則雙曲線的方程是（）A. B.C. D.8．與空間向量共線的一個(gè)向量的坐標(biāo)是（）A. B.C. D.9．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的的值為，則輸入的的值可能為（）A.96 B.97C.98 D.9910．在等比數(shù)列中，，是方程的兩個(gè)實(shí)根，則（）A.-1 B.1C.-3 D.311．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則“數(shù)列是等比數(shù)列”為“存在，使得”的（）A.既不充分也不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.充分不必要條件12．設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，已知正方形邊長(zhǎng)為，長(zhǎng)方形中，，平面與平面互相垂直，是線段的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為_(kāi)_____14．若直線與直線相互平行，則實(shí)數(shù)___________.15．在報(bào)名的3名男教師和3名女教師中，選取3人參加義務(wù)獻(xiàn)血，要求男、女教師都有，則不同的選取方法數(shù)為_(kāi)_________.(結(jié)果用數(shù)值表示)16．如圖，E，F(xiàn)分別是三棱錐的棱AD，BC的中點(diǎn)，，，，則異面直線AB與EF所成的角為_(kāi)_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知等差數(shù)列公差不為0，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和；（2）記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.18．（12分）設(shè)四邊形為矩形，點(diǎn)為平面外一點(diǎn)，且平面，若，.（1）求與平面所成角的大小；（2）在邊上是否存在一點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為，若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若點(diǎn)是的中點(diǎn)，在內(nèi)確定一點(diǎn)，使的值最小，并求此時(shí)的值.19．（12分）某城市地鐵公司為鼓勵(lì)人們綠色出行，決定按照乘客經(jīng)過(guò)地鐵站的數(shù)量實(shí)施分段優(yōu)惠政策，不超過(guò)12站的地鐵票價(jià)如下表：乘坐站數(shù)票價(jià)（元）246現(xiàn)有甲、乙兩位乘客同時(shí)從起點(diǎn)乘坐同一輛地鐵，已知他們乘坐地鐵都不超過(guò)12站，且他們各自在每個(gè)站下地鐵的可能性是相同的.（1）若甲、乙兩人共付費(fèi)6元，則甲、乙下地鐵的方案共有多少種？（2）若甲、乙兩人共付費(fèi)8元，則甲比乙先下地鐵的方案共有多少種？20．（12分）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在圓上，過(guò)點(diǎn)P作軸的垂線，垂足為Q且.（1）求動(dòng)點(diǎn)D的軌跡E的方程；（2）直線與圓相切，且直線與曲線E相交于兩不同的點(diǎn)A、B，T為線段AB的中點(diǎn).線段OA、OB分別與圓O交于M、N兩點(diǎn)，記的面積分別為，求的取值范圍.21．（12分）已知函數(shù)，且）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和

.（1）求實(shí)數(shù)，的值；（2）若，求數(shù)列前項(xiàng)和

.22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，橢圓E：過(guò)點(diǎn)，離心率為（1）求E的方程；（2）設(shè)直線（k∈R）與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)M，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)k，直線AM，BM的斜率乘積為定值？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】由題意求出的垂直平分線可得△的歐拉線，再由圓心到直線的距離求得，得到圓的方程，求出圓心到原點(diǎn)的距離，加上半徑判斷A；求出圓心到直線的距離判斷B；再由的幾何意義，即圓上的點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率判斷C；由兩個(gè)圓有公共點(diǎn)可得圓心距與兩個(gè)半徑之間的關(guān)系，求得的取值范圍判斷D【詳解】由題意，△的歐拉線即的垂直平分線，，，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，則的垂直平分線方程為，即由“歐拉線”與圓相切，到直線的距離，，則圓的方程為：，圓心到原點(diǎn)的距離為，則圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為，故①錯(cuò)誤；圓心到直線的距離為，圓上存在三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，故②正確；的幾何意義：圓上的點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率，設(shè)過(guò)與圓相切的直線方程為，即，由，解得，的最小值是，故③錯(cuò)誤；的圓心坐標(biāo)，半徑為，圓的的圓心坐標(biāo)為，半徑為，要使圓與圓有公共點(diǎn)，則圓心距的范圍為，，，解得，故④錯(cuò)誤故選：A2、C【解析】先根據(jù)垂直關(guān)系設(shè)切線方程，再根據(jù)圓心到切線距離等于半徑列式解得結(jié)果.【詳解】因?yàn)榍芯€與直線平行，所以切線方程可設(shè)為因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)P(2，2)，所以因?yàn)榕c圓相切，所以故選：C3、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式及等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則因?yàn)?，所以，即，解得或，所以?故選：C.4、A【解析】利用二面角S﹣AC﹣B的余弦值求得，由此判斷出，且兩兩垂直，由此將三棱錐補(bǔ)形成正方體，利用正方體的外接球半徑，求得外接球的表面積.【詳解】設(shè)是的中點(diǎn)，連接，由于，所以，所以是二面角的平面角，所以.在三角形中，，在三角形中，，在三角形中，由余弦定理得：，所以，由于，所以兩兩垂直.由此將三棱錐補(bǔ)形成正方體如下圖所示，正方體的邊長(zhǎng)為2，則體對(duì)角線長(zhǎng)為.設(shè)正方體外接球的半徑為，則，所以外接球的表面積為，故選：.5、C【解析】由等比數(shù)列性質(zhì)求出公比，將原式化簡(jiǎn)后計(jì)算【詳解】設(shè)等比數(shù)列{}的公比為，則＝，＝，所以＝=.又＋＝＋＝（＋）＝8×＝2，＋＝＋＝（＋）＝8×＝1，所以＋＋＋＝2＋1＝3.故選：C6、B【解析】根據(jù)題意，在中，設(shè)，則，進(jìn)而根據(jù)橢圓定義得，進(jìn)而可得離心率.【詳解】在中，設(shè)，則，又由橢圓定義可知?jiǎng)t離心率，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率的計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)已知條件，結(jié)合橢圓的定義，在焦點(diǎn)三角形中根據(jù)邊角關(guān)系求解.7、A【解析】根據(jù)雙曲線漸近線方程設(shè)出方程，再由其過(guò)的點(diǎn)即可求解.【詳解】漸近線方程是，設(shè)雙曲線方程為，又因?yàn)殡p曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以有，所以雙曲線方程為，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：A8、C【解析】根據(jù)空間向量共線的坐標(biāo)表示即可得出結(jié)果.【詳解】.故選：C.9、D【解析】根據(jù)程序框圖得出的變換規(guī)律后求解【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可得輸出的T關(guān)于t的變換周期為4，而，故時(shí)，輸出的值為，故選：D10、B【解析】由韋達(dá)定理可知，結(jié)合等比中項(xiàng)的性質(zhì)可求出.【詳解】解：在等比數(shù)列中，由題意知：，，所以，，所以且，即.故選：B.11、D【解析】由充分必要條件的定義，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，以及利用特殊數(shù)列的分法，即可求解.【詳解】由題意，數(shù)列是等比數(shù)列，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，所以存在，使得，即充分性成立；若存在，使得，可取，即，可得，當(dāng)，可得，此時(shí)數(shù)列不是等比數(shù)列，即必要性不成立，所以數(shù)列是等比數(shù)列為存在，使得的充分不必要條件.故選：D.12、A【解析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)判斷其單調(diào)性即可【詳解】令，，令得，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，，，，，，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出，后可求異面直線所成角的余弦值.【詳解】長(zhǎng)方形可得，因?yàn)槠矫媾c平面互相垂直，平面平面，平面，故平面，故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，，故.故答案為：14、##【解析】由題意可得，從而可求出的值【詳解】因?yàn)橹本€與直線相互平行，所以，解得，故答案為：15、18【解析】由題設(shè)，選取方式有兩男教師一女教師或兩女教師一男教師，應(yīng)用組合數(shù)求出選取方法數(shù).【詳解】選取方式有：選兩男教師一女教師或選兩女教師一男教師，∴不同的選取方法有：種.故答案為：18.16、【解析】取的中點(diǎn)，連結(jié)，由分別為的中點(diǎn)，可得(或其補(bǔ)角)為異面直線AB與EF所成的角，在求解即可.【詳解】取的中點(diǎn)，連結(jié)由分別為的中點(diǎn)，則所以(或其補(bǔ)角)為異面直線AB與EF所成的角由分別是的中點(diǎn),則，又在中,，則所以,又，所以在直角中，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），（2）【解析】（1）根據(jù)分式的合分比性質(zhì)以及等差數(shù)列的性質(zhì)即可求出；（2）根據(jù)裂項(xiàng)相消法即可求出【小問(wèn)1詳解】由題意：，即，又∵，∴，∴，∴，.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，?18、（1）（2）存在，距離為（3）位置答案見(jiàn)解析，【解析】（1）利用線面垂直的判定定理證明平面，然后由線面角的定義得到PC與平面PAD所成的角為，在中，由邊角關(guān)系求解即可.（2）假設(shè)BC邊上存在一點(diǎn)G滿足題設(shè)條件，不放設(shè)，則，再根據(jù)得，進(jìn)而得答案.（3）延長(zhǎng)CB到C'，使得C'B=CB，連結(jié)C'E，過(guò)E作于E'，利用三點(diǎn)共線，兩線段和最小，得到，過(guò)H作于H'，連結(jié)HB，在中，求解HB即可.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又因?yàn)榈酌媸蔷匦?，所以，又平面，所以平面，故與平面所成的角為，因?yàn)?，，所以故直線PC與平面PAD所成角的大小為；【小問(wèn)2詳解】解：假設(shè)BC邊上存在一點(diǎn)G滿足題設(shè)條件，不妨設(shè)，則因?yàn)槠矫?，到平面的距離為所以，即因?yàn)榇霐?shù)據(jù)解得，即，故存在點(diǎn)G，當(dāng)時(shí)，使得點(diǎn)D到平面PAG的距離為；【小問(wèn)3詳解】解：延長(zhǎng)CB到C'，使得C'B=CB，連結(jié)C'E，過(guò)E作于E'，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，故，過(guò)H作于H'，連結(jié)HB，在中，，，所以.19、（1）24（種）（2）21（種）【解析】（1）先根據(jù)共付費(fèi)6元得一人付費(fèi)2元一人付費(fèi)4元，再確定人與乘坐站數(shù)，即可得結(jié)果；（2）先根據(jù)共付費(fèi)8元得一人付費(fèi)2元一人付費(fèi)6元或兩人都付費(fèi)4元，再求甲比乙先下地鐵的方案數(shù).【小問(wèn)1詳解】由已知可得：甲、乙兩人共付費(fèi)6元，則甲、乙一人付費(fèi)2元一人付費(fèi)4元，又付費(fèi)2元的乘坐站數(shù)有1，2，3三種選擇，付費(fèi)4元的乘坐站數(shù)有4，5，6，7四種選，所以甲、乙下地鐵的方案共有（3×4）×2=24（種）.【小問(wèn)2詳解】甲、乙兩人共付費(fèi)8元，則甲、乙一人付費(fèi)2元一人付費(fèi)6元或兩人都付費(fèi)4元；當(dāng)甲付費(fèi)2元，乙付費(fèi)6元時(shí)，甲乘坐站數(shù)有1，2，3三種選擇，乙乘坐站數(shù)有8，9，10，11，12五種選擇，此時(shí)，共有35=15（種）方案；當(dāng)兩人都付費(fèi)4元時(shí)，若甲在第4站下地鐵，則乙可在第5，6，7站下地鐵，有3種方案；若甲在第5站下地鐵，則乙可在第6，7站下地鐵，有2種方案；若甲在第6站下地鐵，則乙可在第7站下地鐵，有1種方案；綜上，甲比乙先下地鐵的方案共有（種）.20、（1）；（2）.【解析】(1)設(shè)出點(diǎn)D的坐標(biāo)，借助向量運(yùn)算表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)代入圓O的方程計(jì)算作答.(2)在直線的斜率存在時(shí)設(shè)出其方程，與軌跡E的方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理表示出，再利用二次函數(shù)性質(zhì)計(jì)算得解，然后計(jì)算直線的斜率不存在的值作答.【小問(wèn)1詳解】設(shè)點(diǎn)，則，因，則有，又點(diǎn)P在圓上，即，所以動(dòng)點(diǎn)D的軌跡E的方程是.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為：，因直線與圓相切，則，即，而時(shí)，直線與橢圓E相切，不符合題意，因此，由消去x并整理得：，設(shè)，則，而點(diǎn)T是線段AB中點(diǎn)，則有：，令，則，而，當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，而，于是得，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線，，此時(shí)，所以的取值范圍是.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值問(wèn)題，往往需要利用韋達(dá)定理構(gòu)建目標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，自變量可以斜率或點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)等.而目標(biāo)函數(shù)的最值可以通過(guò)二次函數(shù)或基本不等式或?qū)?shù)等求得.21、（1），（2）【解析】（1）將A、B點(diǎn)坐標(biāo)代入，計(jì)算求解，即可得答案.（2）由（1）可得解析式，即可得，利用分組求和法，