2023-2024學(xué)年浙江省金華市云富高級(jí)中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

2023-2024學(xué)年浙江省金華市云富高級(jí)中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．正三棱錐的側(cè)面都是直角三角形，，分別是，的中點(diǎn)，則與平面所成角的余弦值為（）A. B.C. D.2．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)，焦距長(zhǎng)成等比數(shù)列，則橢圓離心率為（）A. B.C. D.3．傾斜角為45°，在y軸上的截距為－1的直線方程是()A.x－y＋1＝0 B.x－y－1＝0C.x＋y－1＝0 D.x＋y＋1＝04．有一個(gè)圓錐形鉛垂，其底面直徑為10cm，母線長(zhǎng)為15cm．P是鉛垂底面圓周上一點(diǎn)，則關(guān)于下列命題：①鉛垂的側(cè)面積為150cm2；②一只螞蟻從P點(diǎn)出發(fā)沿鉛垂側(cè)面爬行一周、最終又回到P點(diǎn)的最短路徑的長(zhǎng)度為cm．其中正確的判斷是（）A.①②都正確 B.①正確、②錯(cuò)誤C.①錯(cuò)誤、②正確5．如下圖，邊長(zhǎng)為2的正方體中，O是正方體的中心，M，N，T分別是棱BC，，的中點(diǎn)，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.到平面MON的距離為16．已如雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線交雙曲線的右支于A，B兩點(diǎn)，若，且，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.7．若雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且它的兩條漸近線方程是，則雙曲線的離心率是（）A. B.C. D.108．若直線的傾斜角為120°，則直線的斜率為（）A. B.C. D.9．已知命題p：函數(shù)在（0，1）內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)；命題q：函數(shù)在上是減函數(shù)，若p且為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B.2C.1<≤2 D.≤l或>210．音樂(lè)與數(shù)學(xué)有著密切的聯(lián)系，我國(guó)春秋時(shí)期有個(gè)著名的“三分損益法”：以“宮”為基本音，“宮”經(jīng)過(guò)一次“損”，頻率變?yōu)樵瓉?lái)的，得到“微”，“微”經(jīng)過(guò)一次“益”，頻率變?yōu)樵瓉?lái)的，得到“商”……依此規(guī)律損益交替變化，獲得了“宮”“微”“商”“羽”“角”五個(gè)音階.據(jù)此可推得（）A.“商”“羽”“角”的頻率成公比為的等比數(shù)列B.“宮”“微”“商”的頻率成公比為的等比數(shù)列C.“宮”“商”“角”的頻率成公比為的等比數(shù)列D.“角”“商”“宮”的頻率成公比為的等比數(shù)列11．下圖是一個(gè)“雙曲狹縫”模型，直桿沿著與它不平行也不相交的軸旋轉(zhuǎn)時(shí)形成雙曲面，雙曲面的邊緣為雙曲線．已知該模型左、右兩側(cè)的兩段曲線(曲線AB與曲線CD)所在的雙曲線離心率為2，曲線AB與曲線CD中間最窄處間的距離為10cm，點(diǎn)A與點(diǎn)C，點(diǎn)B與點(diǎn)D均關(guān)于該雙曲線的對(duì)稱中心對(duì)稱，且|AB|＝30cm，則|AD|＝（）A.10cm B.20cmC.25cm D.30cm12．如圖，在平行六面體中，，則與向量相等的是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知平面，過(guò)空間一定點(diǎn)P作一直線l，使得直線l與平面，所成的角都是30°，則這樣的直線l有______條14．已知空間向量，，，若，，共面，則實(shí)數(shù)___________.15．若函數(shù)解析式，則使得成立的的取值范圍是___________.16．已知拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為10.拋物線的方程為_(kāi)____________；準(zhǔn)線方程為_(kāi)______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）為了了解高二段1000名學(xué)生一周課外活動(dòng)情況，隨機(jī)抽取了若干學(xué)生的一周課外活動(dòng)時(shí)間，時(shí)間全部介于10分鐘與110分鐘之間，將課外活動(dòng)時(shí)間按如下方式分成五組：第一組，第二組，…，第五組．按上述分組方法得到的頻率分布直方圖如圖所示，已知圖中從左到右前3個(gè)組的頻率之比為3∶8∶19，且第二組的頻數(shù)為8（1）求第一組數(shù)據(jù)的頻率并計(jì)算調(diào)查中隨機(jī)抽取了多少名學(xué)生的一周課外活動(dòng)時(shí)間；（2）求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)18．（12分）如圖，底面是矩形的直棱柱中，；（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的大??；19．（12分）已知函數(shù)，曲線y＝f(x)在點(diǎn)（0，4）處的切線方程為（1）求a，b的值；（2）求f(x)的極大值20．（12分）如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，PA＝AD＝2，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)（1）求證：平面MND⊥平面PCD；（2）求點(diǎn)P到平面MND的距離21．（12分）已知拋物線的準(zhǔn)線方程是.（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）設(shè)直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：.22．（10分）已知空間中三點(diǎn)，，，設(shè)，（1）求向量與向量的夾角的余弦值；（2）若與互相垂直，求實(shí)數(shù)的值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】以P為原點(diǎn)，PA為x軸，PB為y軸，PC為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出PB與平面PEF所成角的正弦值.【詳解】∵正三棱錐的側(cè)面都是直角三角形，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，∴以P為原點(diǎn)，PA為x軸，PB為y軸，PC為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，，，設(shè)平面PEF的法向量，則，取，得，設(shè)PB與平面PEF所成角為，則，∴PB與平面PEF所成角的正弦值為.故選：C.2、A【解析】由題意，，結(jié)合，求解即可【詳解】∵橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)，焦距長(zhǎng)成等比數(shù)列∴∴又∵∴∴，即∴e=又在橢圓e＞0∴e=故選：A3、B【解析】由題意，，所以，即，故選B4、C【解析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為扇形，由扇形的面積公式計(jì)算即可判斷①，在展開(kāi)圖中可知沿著爬行即為最短路徑，計(jì)算即可判斷②.【詳解】直徑為10cm，母線長(zhǎng)為15cm.底面圓周長(zhǎng)為.將其側(cè)面展開(kāi)后得到扇形半徑為cm，弧長(zhǎng)為，則扇形面積為，①錯(cuò)誤.將其側(cè)面展開(kāi)，則爬行最短距離為，由弧長(zhǎng)公式得展開(kāi)后扇形弧度數(shù)為,作，，又,,cm,②正確.故選：C5、D【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算判斷A,B,C；對(duì)D，算出平面MON的法向量，進(jìn)而求出向量在該法向量方向上投影的絕對(duì)值，即為所求距離.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則.對(duì)A，，則，則A正確；對(duì)B，，則，則B正確；對(duì)C，，則C正確；對(duì)D，設(shè)平面MON的法向量為，則，取z=1，得，，所以到平面MON的距離為,則D錯(cuò)誤.故選：D.6、A【解析】先作輔助線，設(shè)出邊長(zhǎng)，結(jié)合題干條件得到，，利用勾股定理得到關(guān)于的等量關(guān)系，求出離心率.【詳解】連接，設(shè)，則根據(jù)可知，，因?yàn)?，由勾股定理得：，由雙曲線定義可知：，，解得：，，從而，解得：，所以，，由勾股定理得：，從而，即該雙曲線的離心率為.故選：A7、A【解析】由已知設(shè)雙曲線方程為：，代入求得，計(jì)算即可得出離心率.【詳解】雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且它的兩條漸近線方程是，設(shè)雙曲線方程為：，代入得：，.所以雙曲線方程為：..雙曲線C的離心率為故選：A8、B【解析】求得傾斜角的正切值即得【詳解】k=tan120°=.故選：B9、C【解析】命題p為真時(shí)：；命題q為真時(shí)：，因?yàn)閜且為真命題，所以命題p為真，命題q為假，即，選C考點(diǎn)：命題真假10、C【解析】根據(jù)文化知識(shí)，分別求出相對(duì)應(yīng)的頻率，即可判斷出結(jié)果【詳解】設(shè)“宮”的頻率為a，由題意經(jīng)過(guò)一次“損”，可得“徵”的頻率為a，“徵”經(jīng)過(guò)一次“益”，可得“商”的頻率為a，“商”經(jīng)過(guò)一次“損”，可得“羽”頻率為a，最后“羽”經(jīng)過(guò)一次“益”，可得“角”的頻率是a，由于a，a，a成等比數(shù)列，所以“宮、商、角”的頻率成等比數(shù)列，且公比為，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的定義，考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題11、B【解析】由離心率求出雙曲線方程，由對(duì)稱性設(shè)出點(diǎn)A，B，D坐標(biāo)，求出坐標(biāo)，求出答案.【詳解】由題意得：，解得：，因?yàn)殡x心率，所以，，故雙曲線方程為，設(shè)，則，，則，所以，則，解得：，故.故選：B12、A【解析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算法則——三角形法，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，在平行六面體中，，可得.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】設(shè)平面，在平面內(nèi)作于點(diǎn)O，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)O作，設(shè)OM是的角平分線，過(guò)棱m上一點(diǎn)P作，則過(guò)點(diǎn)O在平面OMQP上存在2條直線l，使得直線l與OB、OA成，直線l與平面且與平面，所成的角都是30°，在的補(bǔ)角一側(cè)也存在2條滿足條件的直線l，由此可得答案.【詳解】解：設(shè)平面，在平面內(nèi)作于點(diǎn)O，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)O作，因?yàn)槠矫妫?，設(shè)OM是的角平分線，則，過(guò)棱m上一點(diǎn)P作，則過(guò)點(diǎn)O在平面OMQP上存在2條直線l，使得直線l與OB、OA成，此時(shí)直線l與平面且與平面，所成的角都是30°，同理，在的補(bǔ)角一側(cè)也存在2條滿足條件的直線l，所以這樣的直線l有4條，故答案為：4.14、1【解析】根據(jù)向量共面，可設(shè)，先求解出的值，則的值可求.【詳解】因?yàn)?，，共面且，不共線，所以可設(shè)，所以，所以，所以，所以，故答案為：1.15、【解析】由題意先判斷函數(shù)為偶函數(shù)，再利用的導(dǎo)函數(shù)判斷在上單調(diào)遞增，根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性得上單調(diào)遞減.要使成立，即，解不等式即可得到答案.【詳解】，，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增.為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減.要使成立，即.故答案為：.16、①.②.【解析】由題意得：拋物線焦點(diǎn)為F（0，），準(zhǔn)線方程為y=﹣．因?yàn)辄c(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為10，所以根據(jù)拋物線的定義得到方程，得到該拋物線的準(zhǔn)線方程【詳解】∵拋物線方程∴拋物線焦點(diǎn)為F（0，），準(zhǔn)線方程為y=﹣，又∵點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為10，∴根據(jù)拋物線的定義，得9+=10，∴p=2，拋物線∴準(zhǔn)線方程為故答案為:,.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）0.06，50名（2）64（分鐘）【解析】（1）利用頻率和為1可求解頻率，再利用頻率，頻數(shù)，總數(shù)之間的關(guān)系可求解學(xué)生人數(shù)；（2）平均數(shù)：頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的中點(diǎn)乘以對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)方形面積之和；【小問(wèn)1詳解】設(shè)圖中從左到右前3個(gè)組的頻率分別為3x，8x，19x依題意，得所以．所以第一組數(shù)據(jù)的頻率為，設(shè)調(diào)查中隨機(jī)抽取了n名學(xué)生的課外活動(dòng)時(shí)間，則，得，所以調(diào)查中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的課外活動(dòng)時(shí)間小問(wèn)2詳解】由題意，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)(分鐘)18、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）通過(guò)證明和可得答案；（2）連接，則為直線與平面所成角的平面角，在直角三角形中計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】棱柱為直棱柱，面，又面，又直棱柱的底面是矩形，，又，平面，平面，平面；【小問(wèn)2詳解】連接，面，則為直線與平面所成角的平面角在直角三角形中，則，，所以直線與平面所成角的大小為.19、（1）a＝4，b＝4（2）【解析】（1）由題意得到關(guān)于的方程組，求解方程組即可求出答案.（2）結(jié)合（1）中求得的函數(shù)解析式，求導(dǎo)得到的單調(diào)性，可得當(dāng)x＝－2時(shí)，函數(shù)f(x)取得極大值.【小問(wèn)1詳解】由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8從而a＝4，b＝4【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，令f′(x)＝0得，x＝－ln2或x＝－2從而當(dāng)時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x∈(－2，－ln2)時(shí)，f′(x)<0故f(x)在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－2，－ln2)上單調(diào)遞減當(dāng)x＝－2時(shí)，函數(shù)f(x)取得極大值，極大值為20、（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）作出如圖所示空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題中數(shù)據(jù)可得、、的坐標(biāo)，利用垂直向量數(shù)量積為零的方法算出平面、平面的法向量分別為，，和，1，，算出，可得，從而得出平面平面；（2）由（1）中求出的平面法向量，，與向量，2，，利用點(diǎn)到平面的距離公式加以計(jì)算即可得到點(diǎn)到平面的距離【詳解】（1）證明：平面，，、、兩兩互相垂直，如圖所示，分別以、、所在直線為軸、軸和軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，0，，，1，，，1，，，1，，，2，設(shè)，，是平面的一個(gè)法向量，可得，取，得，，，，是平面的一個(gè)法向量，同理可得，1，是平面的一個(gè)法向量，，，即平面的法向量與平面的法向量互相垂直，可得平面平面；（2）解：由（1）得，，是平面的一個(gè)法向量，，2，，得，點(diǎn)到平面的距離21、（Ⅰ）（Ⅱ）詳見(jiàn)解析【解析】（Ⅰ）利用排趨性的準(zhǔn)線方程求出p，即可求解拋物線的方程；（Ⅱ）直線y=k（x-2）（k≠0）與拋物線聯(lián)立，通過(guò)韋達(dá)定理求解直線的斜率關(guān)系即可證明OM⊥ON試題解析：（Ⅰ）解：因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為，所以，解得，所以拋物線的方程為.（Ⅱ）證明：設(shè)，.將代入，消去整理得.所以.由，，兩式相乘，得，注意到，異號(hào)，所以.