人教版數(shù)學(xué)八年級上冊 13.3.2 等邊三角形

13.3.2等邊三角形第1課時等邊三角形的性質(zhì)與判定1.掌握等邊三角形的定義.2.理解等邊三角形的性質(zhì)與判定定理.3.經(jīng)過應(yīng)用等邊三角形的性質(zhì)與判定的過程培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力.4.通過對等邊三角形的學(xué)習(xí)，了解等邊三角形的對稱美,增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的信心.【教學(xué)重點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)和判定方法.【教學(xué)難點(diǎn)】等邊三角形性質(zhì)的應(yīng)用.一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識在等腰三角形中,有一種特殊的等腰三角形——三條邊都相等的三角形,它叫等邊三角形.請大家畫圖并結(jié)合等腰三角形的知識探討等邊三角形具有哪些特征,同學(xué)間互相交流.教師歸納總結(jié)如下:1.等邊三角形是軸對稱圖形,它有三條對稱軸.2.等邊三角形的三個內(nèi)角都相等,并且每一個角都等于60°.3.三角都相等的三角形是等邊三角形.4.有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.其中,前兩個是等邊三角形性質(zhì),后兩個是等邊三角形的判定.【教學(xué)說明】學(xué)生的發(fā)言會是多方位多角度的,教師應(yīng)從邊、角、對稱性等類型歸納.同時強(qiáng)調(diào),作為特殊的等腰三角形,等邊三角形首先具備等腰三角形的所有性質(zhì).教師講課前，先讓學(xué)生完成“名師導(dǎo)學(xué)”.二、思考探究，獲取新知例1如圖,已知P,Q是△ABC的邊BC上兩點(diǎn),且PB=PQ=QC=AP=AQ,求∠BAC的大小.【分析】由已知顯然可知△APQ是等邊三角形,每個角都是60°.又知△APB與△AQC都是等腰三角形,兩底角相等,由三角形外角性質(zhì)即可推得∠PAB=30°.解:∵AP=AQ=PQ,∴△APQ是等邊三角形.∴∠PAQ=∠APQ=∠AQP=60°.又∵AP=PB,∴∠PAB=∠PBA.又∵∠APQ=∠PBA+∠PAB,∴∠PAB=30°.同理∠QAC=30°.∴∠BAC=∠PAB+∠PAQ+∠QAC=120°.【教學(xué)說明】本例綜合應(yīng)用等邊三角形與等腰三角形在角方面的性質(zhì),要求解題要規(guī)范,表述要有條理,言必有據(jù),可讓學(xué)生說出過程中每一步的依據(jù).例2在等邊△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，BO，CO的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)E和點(diǎn)F.求證：△OEF是等邊三角形.【分析】由角平分線得∠OBC=∠OCB=30°,再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得OE=BE,OF=CF.據(jù)此可計(jì)算出∠OEF及∠OFE的度數(shù)，進(jìn)而可證得△OEF是等邊三角形.【證明】∵E,F分別是BO,CO的垂直平分線上的點(diǎn)，∴OE=BE,OF=CF.∵△ABC是等邊三角形，且OB,CO分別平分∠ABC,∠ACB,∴∠OBE=∠BOE=∠OCF=∠COF=30°.∴∠OEF=∠OFE=60°.∴∠EOF=60°.∴△OEF是等邊三角形（三個角都相等的三角形是等邊三角形）.【教學(xué)說明】證明一個三角形是等邊三角形，要靈活運(yùn)用判定方法，根據(jù)已知提供的條件靈活選擇，本題可用多種方法證明.三、運(yùn)用新知，深化理解1.△ABC中,AB=BC,∠B=∠C,則∠A=.2.下列說法不正確的是().A.有兩個角為60°的三角形是等邊三角形B.有一個外角是120°的等腰三角形是等邊三角形C.有兩個外角相等的等腰三角形是等邊三角形D.三個外角都相等的三角形是等邊三角形3.已知∠AOB=30°,點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)部,P1與P關(guān)于OB對稱,P2與P關(guān)于OA對稱,則△P1OP2是()三角形.A.直角B.鈍角C.等腰D.等邊4.如圖,在等邊△ABC中,D為BC上一點(diǎn),BD=2CD,DE⊥AB于E,CE交AD于P.求∠APE的度數(shù).【教學(xué)說明】用多媒體(或小黑板)出示以上問題,學(xué)生可在老師指導(dǎo)下完成,鞏固所學(xué)知識.【答案】1.60°2.C3.D4.解：∵△ABC為等邊三角形.∴∠B=∠ACB=60°，AC=BC，又∵DE⊥AB，∠B=60°，∴∠BDE=30°.∴BE=BD，而BD=2CD∴BE=CD.在△BCE和△CAD中∴△BCE≌△CAD，∴∠BCE=∠DAC而∠BCE+∠ACE=60°，∴∠DAC+∠ACE=60°.∴∠APC=120°，∴∠APE=60°.四、師生互動，課堂小結(jié)教師指導(dǎo)學(xué)生回憶本節(jié)所學(xué)知識點(diǎn),學(xué)生間交流,互相查漏補(bǔ)缺.1.布置作業(yè)：從教材“習(xí)題13.3”中選取.2.完成創(chuàng)優(yōu)作業(yè)中本課時的“課時作業(yè)”部分.本課時學(xué)習(xí)特殊的等腰三角形——等邊三角形，可讓學(xué)生先自主探索再合作交流，小組內(nèi)、小組間充分交流后概括所得結(jié)論，這既鞏固等腰三角形的應(yīng)用知識，又類比探索等腰三角形性質(zhì)和判定定理的方法，加深了對等腰三角形與等邊三角形聯(lián)系與區(qū)別的理解.第2課時含30°角的直角三角形的性質(zhì)1.熟練掌握含30°角的直角三角形的性質(zhì).2.會利用性質(zhì)解題.3.通過直尺量取得到直觀結(jié)論，然后加以證明。4.本節(jié)課使學(xué)生經(jīng)歷了“實(shí)驗(yàn)——猜想——證明”的過程，使同學(xué)們初步體驗(yàn)了自然科學(xué)的一般研究方法，提高了學(xué)生研究和學(xué)習(xí)的興趣.【教學(xué)重點(diǎn)】在直角三角形中，如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.【教學(xué)難點(diǎn)】巧妙運(yùn)用性質(zhì)解題.一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識用兩個全等的含30°角的直角三角尺，試著把它們拼在一起，看能否拼成一個等邊三角形，然后以小組為單位一起討論可從中發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論，并予以證明.老師指導(dǎo)拼圖，得出結(jié)論，并一起證明結(jié)論.（1）在直角三角形中，30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半.（2）在三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角為30°.【教學(xué)說明】教師講課前，先讓學(xué)生完成“自主預(yù)習(xí)”.二、思考探究，獲取新知例1在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC=60°,∠BAC的平分線AM的長為15cm，求BC的長.【分析】要求BC的長，可分別求出BM和CM的長.利用等腰三角形的判定得出BM=AM，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)得CM=AM,將所求線段轉(zhuǎn)化為已知線段進(jìn)行求解.解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC=60°,∴∠B=30°.∵AM平分∠BAC,∴∠CAM=∠BAM=30°.∴∠B=∠BAM,∴AM=BM=15cm.∴在Rt△ACM中，∠CAM=30°.∵CM=AM=7.5cm.∴BC=CM+BM=7.5+15=22.5cm.【教學(xué)說明】在直接求一條線段不易求的情況下，可以將其轉(zhuǎn)化為求易求的兩條線段的和或差進(jìn)行計(jì)算.例2在Rt△ABD中，∠ADB=90°,∠A=60°,作DC∥AB,且∠DBC=∠BDC,DC與BC交于點(diǎn)C，已知CD=4cm.（1）求∠CBD的度數(shù)；（2）求AB的長.【分析】(1)根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余，可知∠DBA的度數(shù)，再由DC∥AB及等腰三角形的性質(zhì)即可計(jì)算∠CBD的度數(shù)；（2）可作等腰三角形CBD底邊上的高，延長交AB于點(diǎn)E.根據(jù)等腰三角形“三線合一”，可以得出CE平分BD且平分∠DCB,由此可知△BCE是等邊三角形，所以BE=4,則DE=BE=4.再證明△ADE是等邊三角形即可.解：（1）在Rt△ADB中，∵∠A=60°,∠ADB=90°,∴∠ABD=30°.又∵AB∥CD,∴∠CDB=∠ABD=30°.∴∠CBD=∠CDB=30°.（2）過點(diǎn)C作CM⊥BD于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)E，連接DE,則DE=EB,∴∠EDB=∠EBD=30°.∵∠CDM=30°,∠CMD=90°,∴CM=CD=2.又∵∠EBM=∠CBM=30°,BM=BM,∠EMB=∠CMB=90°,∴△CBM≌△EBM(ASA),∴EM=CM=2.∴DE=2EM=4.∵∠DEA=∠EDB+∠EBD=60°,∠A=60°,∴AD=DE=4.又∵∠ADB=90°,∠ABD=30°,∴AB=2AD=8.【教學(xué)說明】直角三角形30°角的性質(zhì)常與直角三角形的兩個銳角互余同時運(yùn)用，此性質(zhì)是求線段長度和證明線段間倍分問題的重要依據(jù).例3如圖所示，在△ABC中，AB=AC,D為BC邊上的點(diǎn)，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E、F，∠BAC=120°.求證：DE+DF=BC.【分析】∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°.又DE⊥AB,DF⊥AC,可以構(gòu)造兩個含30°角的直角三角形.【證明】∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=(180°-120°)=30°.又∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED=∠CFD=90°.在Rt△BDE中，∵∠B=30°,∴DE=BD.同理，在Rt△CDF中，DF=CD.∴DE+DF=BD+CD=(BD+CD)=BC.例4如圖所示，在四邊形ABCD中，AD=4,BC=1,∠A=30°,∠ADC=120°,試求CD的長.【分析】由于CD不是特殊三角形的邊長，所以無法利用已知條件直接求出，延長AD、BC，將題中已知條件集中在兩個特殊的三角形中.解：延長AD、BC交于點(diǎn)E,在Rt△ABE中，∠E=180°-90°-30°=60°,又∵∠CDE=180°-120°=60°,∴∠DCE=60°.∴△CED是等邊三角形.設(shè)CD=x,則BE=1+x,AE=4+x,在Rt△ABE中，∵∠A=30°,∴AE=2BE.即4+x=2(1+x),解得x=2,即CD的長為2.三、運(yùn)用新知，深化理解1.若三角形的三個內(nèi)角的比為1∶2∶3,則它的最短邊與最長邊的比為（）.A.1∶3B.1∶2C.2∶3D.1∶42.如果一個三角形是軸對稱圖形，