人教版數(shù)學八年級上冊 14.2 乘法公式

14.2乘法公式14.2.1平方差公式1.會推導平方差公式，并能運用公式進行簡單的運算.2.在探究平方差公式的過程中，培養(yǎng)符號感和推理能力.3.培養(yǎng)學生觀察、歸納、概括的能力.4.在計算過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，用數(shù)學符號表示，感受數(shù)學的簡潔美.【教學重點】平方差公式的推導和應用.【教學難點】理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，靈活應用平方差公式.一、情境導入，初步認識出示下列習題，由學生分組完成：1.計算：（x+3）（x-3），（t+2）（t-2），（3y+1）（3y-1），（x+y）（x-y）.2.試用簡便方法求結(jié)果：（1）2001×1999=_____；998×102=_______.【教學說明】根據(jù)多項式乘以多項式法則可求得題1，題2根據(jù)題目特點，把因數(shù)變形得2001×1999=（2000+1）（2000-1）=20002-1×2000+1×2000+1×（-1）=20002-1=3999999.要求學生以小組為單位，共同探究上述過程的結(jié)構(gòu)特征與變化特征，并從中總結(jié)出一般性規(guī)律來.教師講課前，先讓學生完成“名師導學”.二、思考探究，獲取新知由學生進行充分的交流探討后，師生共同歸納.上述結(jié)構(gòu)的式子用公式表示為：（a+b）（a-b）=a2-b2，即兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差，稱之為平方差公式.（1）推導：（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2.（2）公式特點：左邊是兩個二項式相乘，這兩項中有一項是相同的，另一項互為相反數(shù)，右邊是乘式中兩項的平方差（相同數(shù)的平方減去互為相反數(shù)的平方）.（3）公式中的a、b可以是數(shù)、單項式或多項式.（4）符合平方差公式特點的乘法式子可直接套用公式.例1下列兩個多項式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能？能用平方差公式計算的，寫出計算結(jié)果.（1）（2a-3b）(3b-2a);(2)(-2a+3b)(2a+3b);(3)(-2a-3b)(-2a+3b);(4)(2a+3b)(2a-3b);(5)(-2a-3b)(2a-3b);(6)(2a+3b)(-2a-3b);【分析】兩個多項式因式中，如果一項相同，另一項互為相反數(shù)就可用平方差公式.解：（1）（6）不能用平方差公式，（2）（3）（4）（5）可以用平方差公式.例2計算：（1）59.9×60.1；（2）102×98.【分析】（1）中的兩個因式分別變成60-0.1和60+0.1，再用平方差公式計算；（2）中兩個因式分別可轉(zhuǎn)化成100+2與100-2.【教學說明】運用平方差公式計算，先要觀察所要計算的式子（或經(jīng)轉(zhuǎn)化后的式子）是否具有平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，然后套用公式計算.例3利用平方差公式計算下列各題.（1）（2x+1）（2x-1）-3x2.（2）（1-2x）（1+2x）（1+4x2）（1+16x4）.【分析】（1）中的乘法計算可用平方差公式；（2）應先進行（1-2x）（1+2x）的計算，再逐步應用平方差公式求得結(jié)果.三、運用新知，深化理解1.計算下列各題.2.利用平方差公式計算下列各題：（1）499×501；（2）2002×2004-20032.3.請認真分析下面一組等式的特征：1×3=22-1，3×5=42-1，5×7=62-1，……猜想這一組等式有什么規(guī)律.將你猜想到的規(guī)律用一個只含字母n的式子表示出來.【教學說明】要求學生獨立完成上述各題，再與小組成員交流，查漏糾錯.四、師生互動，課堂小結(jié) 閱讀下列材料，回憶鞏固平方差公式.平方差公式的幾何意義也就是利用圖形來表示公式.如圖1，在邊長為a的正方形中挖掉一個邊長為b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一個矩形（如圖2），通過計算兩個圖形（陰影部分）的面積，驗證了一個等式，則這個等式就是平方差公式，即（a+b）（a-b）=a2-b2.1.布置作業(yè)：從教材“習題14.2”中選取部分題.2.完成創(chuàng)優(yōu)作業(yè)本課時的“課時作業(yè)”部分.平方差公式體現(xiàn)了特殊多項式相乘的結(jié)果，教師可引導學生由多項式乘法法則推出，然后引導學生觀察公式的結(jié)構(gòu)特征，從本質(zhì)上認識符合公式特征的多項式相乘，以便于靈活解決實際問題.14.2.2完全平方公式1.完全平方公式的推導及其應用.2.完全平方公式的幾何解釋.3.經(jīng)歷探索完全平方公式的過程，進一步發(fā)展符號感和推理能力.4.在靈活應用公式的過程中激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)探究精神.【教學重點】完全平方公式的應用.【教學難點】完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征及幾何解釋.一、情境導入，初步認識問題一位老人非常喜歡孩子，每當有孩子到他家做客時，老人都要拿出糖果招待他們，來一個孩子，就給一塊糖；來兩個孩子，就給每個孩子兩塊糖，……（1）第1天有a個男孩子去了老人家，老人一共給了這些孩子多少塊糖？（2）第2天有b個女孩子去了老人家，老人一共給了這些孩子多少塊糖？（3）第3天這（a+b）個孩子一起去看老人，老人一共給了孩子們多少塊糖？（4）這些孩子第3天得到的糖果數(shù)與前兩天他們得到的糖果總數(shù)哪個多？多多少？為什么？【教學說明】（4）的結(jié)果需要化簡，應用乘法法則可求出（a+b）2.引導學生結(jié)合教材認識從幾何角度解釋（a+b）2的結(jié)果.教師講課前，先讓學生完成“名師導學”.【歸納總結(jié)】公式的表達式：（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2.公式的特征：公式的左邊是一個二項式的平方，右邊是一個二次三項式；左邊是兩數(shù)和的形式時，右邊就是這兩數(shù)的平方和加上這兩數(shù)積的2倍（和對應加）；左邊是兩數(shù)差的形式時，右邊就是這兩數(shù)的平方和減去這兩數(shù)積的2倍（差對應減）；兩公式結(jié)構(gòu)相同，僅一個符號不同.二、思考探究，獲取新知例1計算下列各題.【分析】（1）、（2）可直接應用公式.計算時，如遇小數(shù)，應將其化成分數(shù)，這樣可方便計算.（3）、（4）應注意符號，或可直接應用公式（a-b）2=a2-2ab+b2.例2計算：（1）1032；（2）2992.【分析】通過觀察可發(fā)現(xiàn)103=100+3，299=300-1，這樣可應用完全平方公式.【教學說明】引導學生在實際練習中重點體驗完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征，正確套用公式，同時注意把完全平方公式展開后每一項的符號不能出錯.例3運用乘法公式計算.（1）（a-b+c）（a+b-c）；（2）（2x-y+1）（y-1+2x）；（3）（x-y+z）2.【分析】1.為了應用公式計算，先必須對式中各項添上括號，其法則是：如果括號前是正號，括到括號里的各項都不變號；如果括號前面是負號，括到括號里的各項都改變符號.2.（1）中可以將兩因式變成a與b-c的和與差；（2）中兩因式可以變成2x與y-1的和與差，運用平方差公式計算；（3）的底數(shù)可變形為兩式的和或差.【教學說明】（1）只有符號不同的兩個三項式相乘，通過添括號都可以將算式變形為完全平方式或平方差；（2）兩因式中絕對值相同的各項若符號全部相同或完全相反，則為完全平方式；若一部分符號相同，則為平方差.三、運用新知，深化理解計算：［（x-2y）（x+2y）］2-［（x-2y）2-（x+2y）2］2.【教學說明】上述計算是在平方差公式、完全平方公式的基本應用上的延伸，可要求學生嘗試動手練習，教師再予以指導.【歸納總結(jié)】①對于比較復雜的整式乘法，先不要急于運算，應首先分析其特點，盡可能用公式進行運算，而且運算過程中盡可能地合并同類項.②必要的時候靈活運用運算公式，采用其逆運算，可以使運算過程簡