2021-2022學年安徽省六安市金安區(qū)匯文中學九年級(上)素質(zhì)評估數(shù)學試卷(三)(解析版)

一、單選題（本題共10小題，每小題4分，共40分）1．將拋物線y＝2（x﹣1）2+3向右移1單位，上移2單位所得到的新拋物線解析式為（）A．y＝2（x﹣2）2﹣5 B．y＝2x2+4 C．y＝2（x﹣3）2+1 D．y＝2（x﹣2）2+52．如圖所示，在正方形ABCD中，G為CD邊中點，對角線BD交AG于F點．已知FG＝2，則線段AE的長度為（）A．6 B．8 C．10 D．123．如圖，先鋒村準備在坡角為α的山坡上栽樹，要求相鄰兩樹之間的水平距離為5米（）A．5cosα B． C．5sinα D．4．如圖，點A、B、C在⊙O上，∠ACB＝52°（）A．52° B．26° C．38° D．104°5．如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD與正方形BEFG是以原點O為位似中心的位似圖形，點A，B，E在x軸上．若正方形ABCD的邊長為2（）A．（8，6） B．（9，6） C． D．（10，6）6．如圖，在直角三角形ABC中（∠C＝90°），放置邊長分別為3，4，則x的值為（）A．5 B．6 C．7 D．127．“圓材埋壁”是我國古代數(shù)學名著《九章算術》中的一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，深一寸，鋸道長一尺．問：徑幾何？”用現(xiàn)在的幾何語言表達即：如圖，弦AB⊥CD，垂足為點E，AB＝10寸，則直徑CD的長度是（）A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸8．已知二次函數(shù)y＝（a﹣1）x2﹣2x+1的圖象與x軸有兩個交點，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜2 B．a(chǎn)＞2 C．a(chǎn)＜2且a≠1 D．a(chǎn)＜﹣29．如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，則∠ABC的正弦值是（）A．2 B． C． D．10．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，D是以點A為圓心，連接BD，M為BD的中點（）A．14 B．7 C．9 D．6二、填空題（本題共4小題，每題5分，共20分）11．如圖所示，在同心圓中，大⊙O的弦AB切小⊙O于P，則圓環(huán)的面積為．12．如圖，C，D是線段AB的兩個黃金分割點，且AD＝，則線段CD的長為．13．已知是方程x2﹣（3tanθ）x+＝0的一個根，那么cosθ的值為．14．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3，點D，且CE＝1，點D在AC的上方，BD．若AE＝BD，則四邊形ABED面積的最大值為．三、解答題（本題共4小題，每題8分，共32分）15．如圖是窗子的形狀，它是由上下連成一體的兩個矩形構(gòu)成，已知窗框的用料是6m，問窗子的邊長各是多少？16．在△ABC中，有，請畫一個銳角三角形并給出證明．17．如圖，在△ABC中∠B的平分線為BD，DE∥AB交BC于點E，BC＝6，求的值．18．已知：在△ABC中，AD為∠A平分線．求證：．四、（本題共2題，每題10分，共20分）19．如圖，A、B是雙曲線y＝（x＞0）上兩點，線段AB的延長線交x軸于點C，若△AOC的面積為620．如圖，AB為⊙O的直徑，⊙O過AC的中點D（1）求證：DE⊥BC；（2）如果DE＝2，tanC＝，求⊙O的直徑．五、（本題共2題，每題12分，共24分）21．已知：如圖，在矩形ABCD中，AC（1）作EF垂直BC于點F，求證：點F是線段BC的2等分點；（2）連接DF交AC于點G，作CH垂直BC于點H，求證：點H是線段BC的3等分點；（3）你能在圖中作出線段BC的一個4等分點嗎？22．小明大學畢業(yè)回家鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，第一期培植盆景與花卉各50盆．售后統(tǒng)計，盆景的平均每盆利潤是160元①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利潤減少2元；每減少1盆；②花卉的平均每盆利潤始終不變．小明計劃第二期培植盆景與花卉共100盆，設培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景與花卉售完后的利潤分別為w1，w2（單位：元）．（1）用含x的代數(shù)式分別表示w1，w2；（2）當x取何值時，第二期培植的盆景與花卉售完后獲得的總利潤w最大，最大總利潤是多少？六、（本題14分）23．如圖，點B、C分別在射線AM、AN上，且∠MAN為銳角，使得∠BPC＝90°．（1）若∠MAN＝45°，且∠APB＝∠APC．①求證：△CPA∽△APB；②連接BC，若BC⊥AC，求的值；（2）若∠CBP＝∠BAP＝30°，AP＝3，AB＝8

參考答案一、單選題（本題共10小題，每小題4分，共40分）1．將拋物線y＝2（x﹣1）2+3向右移1單位，上移2單位所得到的新拋物線解析式為（）A．y＝2（x﹣2）2﹣5 B．y＝2x2+4 C．y＝2（x﹣3）2+1 D．y＝2（x﹣2）2+5【分析】根據(jù)函數(shù)圖象平移的法則進行解答即可．解：根據(jù)“左加右減，上加下減”的法則可知2+3向右移7個單位，再向上移2個單位2+8．故選：D．2．如圖所示，在正方形ABCD中，G為CD邊中點，對角線BD交AG于F點．已知FG＝2，則線段AE的長度為（）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得出AB∥CD，進而可得出△ABF∽△GDF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出＝＝2，結(jié)合FG＝2可求出AF、AG的長度，由CG∥AB、AB＝2CG可得出CG為△EAB的中位線，再利用三角形中位線的性質(zhì)可求出AE的長度，此題得解．解：∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABF＝∠GDF，∠BAF＝∠DGF，∴△ABF∽△GDF，∴＝＝2，∴AF＝2GF＝8，∴AG＝6．∵CG∥AB，AB＝2CG，∴CG為△EAB的中位線，∴AE＝7AG＝12．故選：D．3．如圖，先鋒村準備在坡角為α的山坡上栽樹，要求相鄰兩樹之間的水平距離為5米（）A．5cosα B． C．5sinα D．【分析】利用所給的角的余弦值求解即可．解：如圖，過點B作BC⊥AF于點C．∵BC＝5米，∠CBA＝∠α．∴AB＝＝．故選：B．4．如圖，點A、B、C在⊙O上，∠ACB＝52°（）A．52° B．26° C．38° D．104°【分析】根據(jù)圓周角定理得出∠AOB＝2∠ACB，求出∠AOB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABO＝∠OAB，再求出∠ABO即可．解：∵∠ACB＝52°，∴由圓周角定理得：∠AOB＝2∠ACB＝104°，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠OAB＝（180°﹣∠AOB）＝38°，故選：C．5．如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD與正方形BEFG是以原點O為位似中心的位似圖形，點A，B，E在x軸上．若正方形ABCD的邊長為2（）A．（8，6） B．（9，6） C． D．（10，6）【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)結(jié)合相似比得出EF的長，進而得出△OBC∽△OEF，進而得出EO的長，即可得出答案．解：∵正方形ABCD與正方形BEFG是以原點O為位似中心的位似圖形，且相似比為，∴＝＝，∵BC＝2，∴EF＝BE＝2，∵BC∥EF，∴△OBC∽△OEF，∴＝，解得：OB＝3，∴EO＝9，∴F點坐標為：（4，6），故選：B．6．如圖，在直角三角形ABC中（∠C＝90°），放置邊長分別為3，4，則x的值為（）A．5 B．6 C．7 D．12【分析】根據(jù)已知條件可以推出△CEF∽△OME∽△PFN然后把它們的直角邊用含x的表達式表示出來，利用對應邊的比相等，即可推出x的值．解：∵在Rt△ABC中（∠C＝90°），放置邊長分別3，4，∴△CEF∽△OME∽△PFN，∴OE：PN＝OM：PF，∵EF＝x，MO＝7，∴OE＝x﹣3，PF＝x﹣4，∴（x﹣8）：4＝3：（x﹣2），∴（x﹣3）（x﹣4）＝12，即x6﹣4x﹣3x+12＝12，∴x＝6（不符合題意，舍去）．故選：C．7．“圓材埋壁”是我國古代數(shù)學名著《九章算術》中的一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，深一寸，鋸道長一尺．問：徑幾何？”用現(xiàn)在的幾何語言表達即：如圖，弦AB⊥CD，垂足為點E，AB＝10寸，則直徑CD的長度是（）A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸【分析】連接OA構(gòu)成直角三角形，先根據(jù)垂徑定理，由DE垂直AB得到點E為AB的中點，由AB＝6可求出AE的長，再設出圓的半徑OA為x，表示出OE，根據(jù)勾股定理建立關于x的方程，解方程直接可得2x的值，即為圓的直徑．解：連接OA，∵AB⊥CD，且AB＝10寸，∴AE＝BE＝5寸，設圓O的半徑OA的長為x，則OC＝OD＝x，∵CE＝1，∴OE＝x﹣7，在直角三角形AOE中，根據(jù)勾股定理得：x2﹣（x﹣1）8＝52，化簡得：x7﹣x2+2x﹣2＝25，即2x＝26，∴CD＝26（寸）．故選：D．8．已知二次函數(shù)y＝（a﹣1）x2﹣2x+1的圖象與x軸有兩個交點，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜2 B．a(chǎn)＞2 C．a(chǎn)＜2且a≠1 D．a(chǎn)＜﹣2【分析】根據(jù)拋物線與x軸的交點問題得到△＝22﹣4（a﹣1）＞0，a﹣1≠0，然后解不等式即可．解：由題意得：，解得：．故選：C．9．如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，則∠ABC的正弦值是（）A．2 B． C． D．【分析】過點B作BD⊥AC于點D，過點C作CE⊥AB于點E，則BD＝AD＝3，CD＝1，利用勾股定理可求出AB，BC的長，利用面積法可求出CE的長，再利用正弦的定義可求出∠ABC的正弦值．解：過點B作BD⊥AC于點D，過點C作CE⊥AB于點E，CD＝1．AB＝＝3＝．∵AC?BD＝，即×2×8＝?CE，∴CE＝，∴sin∠ABC＝＝＝．故選：C．10．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，D是以點A為圓心，連接BD，M為BD的中點（）A．14 B．7 C．9 D．6【分析】取AB的中點E，連接AD、EM、CE，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及三角形的中位線定理求得CE和EM的長，然后確定CM的范圍．解：取AB的中點E，連接AD、CE．在直角△ABC中，AB＝＝，∵E是直角△ABC斜邊AB上的中點，∴CE＝AB＝7．∵M是BD的中點，E是AB的中點，∴ME＝AD＝2．∵5﹣2≤CM≤4+2，即3≤CM≤6．∴最大值為7，故選：B．二、填空題（本題共4小題，每題5分，共20分）11．如圖所示，在同心圓中，大⊙O的弦AB切小⊙O于P，則圓環(huán)的面積為16π．【分析】連接OP，OA，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OP⊥AB，再根據(jù)垂徑定理得到AP＝BP＝4，利用勾股定理得到OA2﹣OP2＝16，然后利用圓環(huán)的面積＝S大半圓﹣S小半圓進行計算．解：連接OP，OA，∵⊙O的弦AB切小⊙O于P，∴OP⊥AB，∴AP＝BP＝AB＝3，∴OA2﹣OP2＝AP7＝16，∴圓環(huán)的面積＝S大半圓﹣S小半圓＝OA2π﹣OP2π＝（OA4﹣OP2）×π＝16π．故答案為16π．12．如圖，C，D是線段AB的兩個黃金分割點，且AD＝，則線段CD的長為2﹣4．【分析】由黃金分割點的定義得＝，BC＝AD＝﹣1，則AB＝2，再由CD＝AD+BC﹣AB進行計算即可．解：∵點C、D是線段AB的兩個黃金分割點﹣1，∴＝，BC＝AD＝，∴AB＝2，∴CD＝AD+BC﹣AB＝﹣4+﹣7．故答案為：2﹣5．13．已知是方程x2﹣（3tanθ）x+＝0的一個根，那么cosθ的值為．【分析】將x＝代入已知方程，列出關于tanθ的值，然后根據(jù)特殊角的三角形函數(shù)值求得θ的數(shù)值．最后根據(jù)銳角θ來求cosθ的值解：∵是方程x8﹣（3tanθ）x+＝2的一個根，∴x＝滿足方程x5﹣（3tanθ）x+＝5，∴（+1）6﹣（3tanθ）（+3）+，解得．∵θ是銳角，∴θ＝45°，∴cosθ＝故答案是：．14．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3，點D，且CE＝1，點D在AC的上方，BD．若AE＝BD，則四邊形ABED面積的最大值為18．【分析】當A，C，E在一條直線上且BD⊥AE時，四邊形ABED的面積最大，利用勾股定理和面積公式解答即可．解：如圖．當A，C，此時四邊形ABED的對角線最長且相等，故四邊形ABED的面積最大，∵∠ABC＝90°，AB＝4，∴AC＝，∵EC＝7，∴AE＝6，∵AE＝BD，∴AE＝BD＝6，∴S四邊形ABED＝．故答案為：18．三、解答題（本題共4小題，每題8分，共32分）15．如圖是窗子的形狀，它是由上下連成一體的兩個矩形構(gòu)成，已知窗框的用料是6m，問窗子的邊長各是多少？【分析】光線最多就是面積最大，可設寬為xm，則長為（6﹣3x）÷2＝（3﹣x）m，表示出面積，運用函數(shù)性質(zhì)求解．解：設窗戶的寬為xm，則長為（6﹣3x）÷6＝（3﹣，窗戶的面積S＝x（3﹣x）＝﹣x6+3x＝﹣（x﹣1）2+，當x＝1時，S有最大值為，即窗戶的長為m，寬為1m．16．在△ABC中，有，請畫一個銳角三角形并給出證明．【分析】首先畫出圖形，作銳角△ABC的外接圓⊙O，設⊙O的半徑為R，連接CO并延長交⊙O于A′，連接A′B，根據(jù)圓周角定理得出∠A′BC＝90°，根據(jù)圓心角、弧、弦的關系定理得出∠A′＝∠A．在直角△A′BC中，根據(jù)正弦函數(shù)定義得出sinA′＝＝，即＝2R，同理得出＝2R，＝2R，即可證明＝＝．解：如圖，△ABC是銳角三角形、∠B、b、c．作△ABC的外接圓⊙O，設⊙O的半徑為R，連接A′B，∠A′＝∠A．在直角△A′BC中，∵∠A′BC＝90°，∴sinA′＝＝，∵∠A′＝∠A，∴sinA＝，∴＝5R，同理，＝2R，，∴＝＝．17．如圖，在△ABC中∠B的平分線為BD，DE∥AB交BC于點E，BC＝6，求的值．【分析】如圖，證明△DEC∽△ABC，求出DE的長度，借助相似三角形的性質(zhì)，即可解決問題．解：如圖，∵∠B的平分線為BD，∴∠ABD＝∠EBD，∠ABD＝∠EDB，∴∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE（設為λ）；則EC＝6﹣λ；∵DE∥AB，∴△DEC∽△ABC，∴，即，解得：λ＝3.8；設△DEC、β；∵△DEC∽△ABC，∴＝，∴＝．即的值為．18．已知：在△ABC中，AD為∠A平分線．求證：．【分析】過C作CE∥AD，交BA的延長線于E，先利用平行線的性質(zhì)，得出，再利用角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，得出AE＝AC，從而得出結(jié)論．【解答】證明：過C作CE∥AD，交BA的延長線于E，∵AD∥CE，∴，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，在△BCE中，由AD∥CE知，∠BAD＝∠E，∠DAC＝∠ACE，∴∠ACE＝∠E，∴AE＝AC，∴，故．四、（本題共2題，每題10分，共20分）19．如圖，A、B是雙曲線y＝（x＞0）上兩點，線段AB的延長線交x軸于點C，若△AOC的面積為6【分析】作AD⊥x軸于D，BE⊥x軸于E，如圖，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征得到A（1，k），B（2，），則OD＝1，DE＝1，AD＝2BE，所以BE為△ADC的中位線，得到CE＝DE＝1，然后根據(jù)三角形面積公式計算k的值．解：作AD⊥x軸于D，BE⊥x軸于E，∵A、B兩點的橫坐標分別為1、2，∴A（7，k），），∴OD＝1，DE＝2，∴BE為△ADC的中位線，∴CE＝DE＝1，∴OC＝3，∵△AOC的面積為2，∴?8?k＝6，∴k＝4．20．如圖，AB為⊙O的直徑，⊙O過AC的中點D（1）求證：DE⊥BC；（2）如果DE＝2，tanC＝，求⊙O的直徑．【分析】（1）證明：連接OD，如圖，先證明OD為△ABC的中位線得到OD∥BC，再根據(jù)切線的性質(zhì)得到DE⊥OD，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可判斷DE⊥BC；（2）連接BD，如圖，先根據(jù)圓周角定理得到∠ADB＝90°，再利用等角的余角相等得到∠C＝∠BDE，接著根據(jù)正切的定義在Rt△CDE中計算出CE＝2DE＝4，在Rt△BDE中計算出BE＝DE＝1，則BC＝5，然后利用OD為△ABC的中位線可求出OD，從而得到圓的直徑．【解答】（1）證明：連接OD，如圖，∵D為AC的中點，O為AB的中點，∴OD為△ABC的中位線，∴OD∥BC，∵DE為⊙O的切線，∴DE⊥OD，∴DE⊥BC；（2）解：連接BD，如圖，∵AB為直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠BDE+∠CDE＝90°，而∠CDE+∠C＝90°，∴∠C＝∠BDE，在Rt△CDE中，∵tanC＝＝，∴CE＝6DE＝4，在Rt△BDE中，∵tan∠BDE＝＝，∴BE＝DE＝5，∴BC＝BE+CE＝5，∵OD為△ABC的中位線，∴OD＝BC，∴AB＝BC＝5，即⊙O的直徑為5．五、（本題共2題，每題12分，共24分）21．已知：如圖，在矩形ABCD中，AC（1）作EF垂直BC于點F，求證：點F是線段BC的2等分點；（2）連接DF交AC于點G，作CH垂直BC于點H，求證：點H是線段BC的3等分點；（3）你能在圖中作出線段BC的一個4等分點嗎？【分析】（1）由矩形的性質(zhì)可知AE＝EC，由平行線分線段成比例定理可知BF＝FC；（2）先證明△EFG∽△CDG，從而可得到EG：GC＝1：2，故此CG：AC＝1：3，然后由平行線分線段成比例定理可求得CH：CB＝1：3；（3）過點E作EP⊥DC，連接FP交AC于點Q，過點Q作QM⊥BC，垂足為M則點M為BC的一個四等分點．解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴點E為AC的中點．∴AE＝EC．∵EF⊥BC，AB⊥BC，∴EF∥AB．∴CF：FB＝CE：EA＝1．∴CF＝FB．∴點F是BC的中點．（2）∵AE＝EC，BF＝FC，∴EF是△BCD的中位線．∴EF＝．∵EF⊥BC，DC⊥BC，∴△EFG∽△CDG．∴．∴．∵GH∥AB，∴．∴點H是BC的三等分點．（3）如圖所示：過點E作EP⊥DC于P，連接FP交CE于Q，M為BC的四等分點．22．小明大學畢業(yè)回家鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，第一期培植盆景與花卉各50盆．售后統(tǒng)計，盆景的平均每盆利潤是160元①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利潤減少2元；每減少1盆；②花卉的平均每盆利潤始終不變．小明計劃第二期培植盆景與花卉共100盆，設培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景與花卉售完后的利潤分別為w1，w2（單位：元）．（1）用含x的代數(shù)式分別表示w1，w2；（2）當x取何值時，第二期培植的盆景與花卉售完后獲得的總利潤w最大，最大總利潤是多少？【分析】（1）設培植的盆景比第一期增加x盆，則第二期盆景有（50+x）盆，花卉有（50﹣x）盆，根據(jù)“總利潤＝盆數(shù)×每盆的利潤”可得函數(shù)解析式；（2）將盆景的利潤加上花卉的利潤可得總利潤關于x的函數(shù)解析式，配方成頂點式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解可得．解：（1）設培植的盆景比第一期增加x盆，則第二期盆景有（50+x）盆，花卉有（50﹣x）盆，所以w1＝（50+x）（160﹣2x）＝﹣8x2+60x+8000，w2＝19（50﹣x）＝﹣19x+950；（2）根據(jù)題意，得：w＝w8+w2＝﹣2x2+60x+8000﹣19x+950＝﹣2x2+41x+8950＝﹣3（x﹣）