人教版八年級數(shù)學上冊 （最短路徑問題）軸對稱教育教學課件

課題學習最短路徑問題

講授新課牧人飲馬問題一“兩點的所有連線中，線段最短”“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱之為最短路徑問題.

現(xiàn)實生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑問題，本節(jié)將利用數(shù)學知識探究數(shù)學史的著名的“牧馬人飲馬問題”.AB①②③PlABCD已知：如圖，A，B在直線L的兩側(cè)，在L上求一點P，使得PA+PB最小。

連接AB,線段AB與直線L的交點P，就是所求ABlP為什么？問題1

相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學者，名叫海倫．有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：從圖中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地．到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？探索新知BAl精通數(shù)學、物理學的海倫稍加思索，利用軸對稱的知識回答了這個問題．這個問題后來被稱為“將軍飲馬問題”．你能將這個問題抽象為數(shù)學問題嗎？BAl

這是一個實際問題，你打算首先做什么？將A，B兩地抽象為兩個點，將河l抽象為一條直線．B··Al（1）從A地出發(fā)，到河邊l飲馬，然后到B地；

（2）在河邊飲馬的地點有無窮多處，把這些地點與A，B連接起來的兩條線段的長度之和，就是從A地到飲馬地點，再回到B地的路程之和；

追問2

你能用自己的語言說明這個問題的意思，并把它抽象為數(shù)學問題嗎？B··Al追問2

你能用自己的語言說明這個問題的意思，并把它抽象為數(shù)學問題嗎？（3）現(xiàn)在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最短的直線l上的點．設(shè)C為直線上的一個動點，上面的問題就轉(zhuǎn)化為：當點C在l的什么位置時，AC與CB的和最小（如圖）．

BAlC

你能利用軸對稱的有關(guān)知識，找到上問中符合條件的點B′嗎？

如圖，點A，B在直線l的同側(cè)，點C是直線上的一個動點，當點C在l的什么位置時，AC與CB的和最小？B·lA·作法：（1）作點B關(guān)于直線l的對稱點B′；（2）連接AB′，與直線l相交于點C．則點C即為所求．

如圖，點A，B在直線l的同側(cè)，點C是直線上的一個動點，當點C在l的什么位置時，AC與CB的和最?。緽·lA·B′C1、如圖,直線l表示一條河,點A、B表示兩個村莊,想在直線l上的某點P處修建一個水泵站向A、B兩個村莊供水.現(xiàn)有如圖所示的四種鋪設(shè)管道的方案(圖中實線表示鋪設(shè)的管道),則鋪設(shè)的管道最短的()課堂練習D2、如圖所示，M、N是△ABC邊AB與AC上兩定點，在BC邊上求作一點P，使△PMN的周長最小。M’P課堂課堂第一步：作點M關(guān)于直線BC的對稱點M'；第二步：連接M'N，與直線BC交于點P。第三步：連接MN、MP、NP。3.如圖，∠AOB=30°，∠AOB內(nèi)有一定點P，且OP=10．在OA上有一點Q