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北京市一零一中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.雅言傳承文明,經(jīng)典浸潤人生.某市舉辦“中華經(jīng)典誦寫講大賽”,大賽分為四類:“誦讀中國”經(jīng)典誦讀大賽、“詩教中國”詩詞講解大賽、“筆墨中國”漢字書寫大賽、“印記中國”學(xué)生篆刻大賽.某人決定從這四類比賽中任選兩類參賽,則“誦讀中國”被選中的概率為()A. B.C. D.2.已知直線與直線垂直,則a=()A.3 B.1或﹣3C.﹣1 D.3或﹣13.已知是公差為3的等差數(shù)列.若,,成等比數(shù)列,則的前10項(xiàng)和()A.165 B.138C.60 D.304.設(shè)變量,滿足約束條件,則的最大值為()A.1 B.6C.10 D.135.橢圓上的一點(diǎn)M到其左焦點(diǎn)的距離為2,N是的中點(diǎn),則等于()A.1 B.2C.4 D.86.已知函數(shù),那么“”是“在上為增函數(shù)”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,,則()A. B.C.1025 D.20498.已知空間向量,,若,則實(shí)數(shù)的值是()A. B.0C.1 D.29.直線y=x+1與圓x2+y2=1的位置關(guān)系為A.相切B.相交但直線不過圓心C.直線過圓心D.相離10.已知直線方程為,則其傾斜角為()A.30° B.60°C.120° D.150°11.設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和,且,則=()A.26 B.19C.11 D.912.方程表示的圖形是A.兩個(gè)半圓 B.兩個(gè)圓C.圓 D.半圓二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,,且,則的最小值為______.14.若雙曲線的左、右焦點(diǎn)為,,直線與雙曲線交于兩點(diǎn),且,為坐標(biāo)原點(diǎn),又,則該雙曲線的離心率為__________.15.已知雙曲線,(,)的左右焦點(diǎn)分別為,過的直線與圓相切,與雙曲線在第四象限交于一點(diǎn),且有軸,則直線的斜率是___________,雙曲線的漸近線方程為___________.16.拋物線的準(zhǔn)線方程是___________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知的內(nèi)角的對邊分別為a,,若向量,且(1)求角的值;(2)已知的外接圓半徑為,求周長的最大值.18.(12分)新型冠狀病毒的傳染主要是人與人之間進(jìn)行傳播,感染人群年齡大多數(shù)是歲以上人群.該病毒進(jìn)入人體后有潛伏期.潛伏期是指病原體侵入人體至最早出現(xiàn)臨床癥狀的這段時(shí)間.潛伏期越長,感染到他人的可能性越高.現(xiàn)對個(gè)病例的潛伏期(單位:天)進(jìn)行調(diào)查,統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)潛伏期平均數(shù)為,方差為.如果認(rèn)為超過天的潛伏期屬于“長潛伏期”,按照年齡統(tǒng)計(jì)樣本,得到下面的列聯(lián)表:年齡/人數(shù)長期潛伏非長期潛伏50歲以上6022050歲及50歲以下4080(1)是否有的把握認(rèn)為“長期潛伏”與年齡有關(guān);(2)假設(shè)潛伏期服從正態(tài)分布,其中近似為樣本平均數(shù),近似為樣本方差.(i)現(xiàn)在很多省市對入境旅客一律要求隔離天,請用概率知識解釋其合理性;(ii)以題目中的樣本頻率估計(jì)概率,設(shè)個(gè)病例中恰有個(gè)屬于“長期潛伏”的概率是,當(dāng)為何值時(shí),取得最大值.附:0.10.050.0102.7063.8416.635若,則,,.19.(12分)已知拋物線,過點(diǎn)作直線(1)若直線的斜率存在,且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn),求直線的方程(2)若直線過拋物線的焦點(diǎn),且交拋物線于兩點(diǎn),求弦長20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線:,點(diǎn),過點(diǎn)的直線l與拋物線交于A,B兩點(diǎn):當(dāng)l與拋物線的對稱軸垂直時(shí),(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若點(diǎn)A在第一象限,記的面積為,的面積為,求的最小值21.(12分)已知橢圓:經(jīng)過點(diǎn)為,且.(1)求橢圓的方程;(2)若直線與橢圓相切于點(diǎn),與直線相交于點(diǎn).已知點(diǎn),且,求此時(shí)的值.22.(10分)已知數(shù)列中,,的前項(xiàng)和為,且數(shù)列是公差為-3的等差數(shù)列.(1)求;(2)若,數(shù)列前項(xiàng)和為.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】由已知條件得基本事件總數(shù)為種,符合條件的事件數(shù)為3中,由古典概型公式直接計(jì)算即可.【詳解】從四類比賽中選兩類參賽,共有種選擇,其中“誦讀中國”被選中的情況有3種,即“誦讀中國”和“詩教中國”,“誦讀中國”和“筆墨中國”,“誦讀中國”和“印記中國”,由古典概型公式可得,故選:.2、D【解析】根據(jù),得出關(guān)于的方程,即可求解實(shí)數(shù)的值.【詳解】直線與直線垂直,所以,解得或.故選:D.3、A【解析】由等差數(shù)列的定義與等比數(shù)列的性質(zhì)求得首項(xiàng),然后由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式計(jì)算【詳解】因?yàn)?,,成等比?shù)列,所以,所以,解得,所以故選:A4、C【解析】畫出約束條件表示的平面區(qū)域,將變形為,可得需要截距最小,觀察圖象,可得過點(diǎn)時(shí)截距最小,求出點(diǎn)A坐標(biāo),代入目標(biāo)式即可.【詳解】解:畫出約束條件表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分:又,即,要取最大值,則在軸上截距要最小,觀察圖象可得過點(diǎn)時(shí)截距最小,由,得,則.故選:C.5、C【解析】先利用橢圓定義得到,再利用中位線定理得即可.【詳解】由橢圓方程,得,由橢圓定義得,又,,又為的中點(diǎn),為的中點(diǎn),線段為中位線,∴.故選:C.6、A【解析】對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得,進(jìn)而得時(shí),,在上為增函數(shù),然后判斷充分性和必要性即可.【詳解】解:因?yàn)榈亩x域是,所以,當(dāng)時(shí),,在上為增函數(shù).所以在上為增函數(shù),是充分條件;反之,在上為增函數(shù)或,不是必要條件.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,屬于中檔題.7、B【解析】根據(jù)題意得,進(jìn)而根據(jù)得數(shù)列是等比數(shù)列,公比為,首項(xiàng)為,再根據(jù)等比數(shù)列求和公式求解即可.【詳解】解:因?yàn)閿?shù)列的前n項(xiàng)和為滿足,所以當(dāng)時(shí),,解得,當(dāng)時(shí),,即所以,解得或,因?yàn)?,所?所以,,所以當(dāng)時(shí),,所以,即所以數(shù)列是等比數(shù)列,公比為,首項(xiàng)為,所以故選:B8、C【解析】根據(jù)空間向量垂直的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?,所以,因此?故選:C9、B【解析】求出圓心到直線的距離d,與圓的半徑r比較大小即可判斷出直線與圓的位置關(guān)系,同時(shí)判斷圓心是否在直線上,即可得到正確答案解:由圓的方程得到圓心坐標(biāo)(0,0),半徑r=1則圓心(0,0)到直線y=x+1的距離d==<r=1,把(0,0)代入直線方程左右兩邊不相等,得到直線不過圓心所以直線與圓的位置關(guān)系是相交但直線不過圓心故選B考點(diǎn):直線與圓的位置關(guān)系10、D【解析】由直線方程可得斜率,根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系即可求傾斜角大小.【詳解】由題設(shè),直線斜率,若直線的傾斜角為,則,∵,∴.故選:D11、D【解析】先求得,然后求得.【詳解】依題意,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,,所以,所以.故選:D12、D【解析】其中,再兩邊同時(shí)平方,由此確定圖形【詳解】根據(jù)題意,,再兩邊同時(shí)平方,由此確定圖形為半圓.故選:D【點(diǎn)睛】幾何圖像中要注意與方程式是一一對應(yīng),故方程的中未知數(shù)的的取值范圍對應(yīng)到圖形中的坐標(biāo)的取值范圍二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、4【解析】利用“1”的妙用,運(yùn)用基本不等式即可求解.【詳解】∵,即,∴又∵,,∴,當(dāng)且僅當(dāng)且,即,時(shí),等號成立,則的最小值為4.故答案為:.14、【解析】根據(jù)直線和雙曲線的對稱性,結(jié)合圓的性質(zhì)、雙曲線的定義、三角形面積公式、雙曲線離心率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由直線與雙曲線的對稱性可知,點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱,在三角形中,,所以,是以為直徑的圓與雙曲線的交點(diǎn),不妨設(shè)在第一象限,,因?yàn)閳A是以為直徑,所以圓的半徑為,因?yàn)辄c(diǎn)在圓上,也在雙曲線上,所以有,聯(lián)立化簡可得,整理得,,所以,由所以,又因?yàn)?,?lián)立可得,,因?yàn)闉閳A的直徑,所以,即,,所以離心率.故答案為:【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:利用直線和雙曲線的對稱性,結(jié)合圓的性質(zhì)進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.15、①.②.【解析】由題意,不妨設(shè)直線與圓相切于點(diǎn),由可得,代入雙曲線方程,可得,因此,即得解【詳解】如圖所示,不妨設(shè)直線與圓相切于點(diǎn),,由于代入進(jìn)入,可得,漸近線方程為故答案為:,16、【解析】先根據(jù)拋物線方程求出,進(jìn)而求出準(zhǔn)線方程.【詳解】拋物線為,則,解得:,準(zhǔn)線方程為:.故答案為:三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)6【解析】(1)由可得,再利用正弦定理和三角函數(shù)恒等變換公可得,從而可求出角的值,(2)利用正弦定理求出,再利用余弦定理結(jié)合基本不等式可得的最大值為4,從而可求出三角形周長的最大值【小問1詳解】由,得
,由正弦定理,得,即.在中,由,得.又,所以.【小問2詳解】根據(jù)題意,得,由余弦定理,得,即,整理得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號,所以的最大值為所以.所以的周長的最大值為
.18、(1)有;(2)(i)答案見解析;(ii)250.【解析】(1)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),利用求得,與臨界表值對比下結(jié)論;(2)(ⅰ)根據(jù),利用小概率事件判斷;(ⅱ)易得一個(gè)患者屬于“長潛伏期”的概率是,進(jìn)而得到,然后判斷其單調(diào)性求解.【詳解】(1)依題意有,由于,故有的把握認(rèn)為“長期潛伏”與年齡有關(guān);(2)(ⅰ)若潛伏期,由,得知潛伏期超過天的概率很低,因此隔離天是合理的;(ⅱ)由于個(gè)病例中有個(gè)屬于長潛伏期,若以樣本頻率估計(jì)概率,一個(gè)患者屬于“長潛伏期”的概率是,于是,則,,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;∴,.故當(dāng)時(shí),取得最大值.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式可以簡化求概率的過程,但需要注意檢查該概率模型是否滿足公式的三個(gè)條件:(1)在一次試驗(yàn)中某事件A發(fā)生的概率是一個(gè)常數(shù)p;(2)n次試驗(yàn)不僅是在完全相同的情況下進(jìn)行的重復(fù)試驗(yàn),而且各次試驗(yàn)的結(jié)果是相互獨(dú)立的;(3)該公式表示n次試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生了k次的概率19、(1)或;(2)8【解析】(1)根據(jù)題意設(shè)直線的方程為,聯(lián)立,消去得,因?yàn)橹挥幸粋€(gè)公共點(diǎn),則求解.(2)拋物線的焦點(diǎn)為,設(shè)直線的方程為,聯(lián)立,消去得,再根據(jù)過拋物線焦點(diǎn)的弦長公式求解.【詳解】(1)設(shè)直線的方程為,聯(lián)立,消去得,則,解得或,∴直線的方程為:或(2)拋物線的焦點(diǎn)為,則直線的方程為,設(shè),聯(lián)立,消去得,∴,∴【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.20、(1).(2)8.【解析】(1)將點(diǎn)代入拋物線方程可解得基本量.(2)設(shè)直線AB為,代入聯(lián)立得關(guān)于的一元二次方程,運(yùn)用韋達(dá)定理,得到關(guān)于的函數(shù)關(guān)系,再求函數(shù)最值.【小問1詳解】當(dāng)l與拋物線的對稱軸垂直時(shí),,,則代入拋物線方程得,所以拋物線方程是【小問2詳解】設(shè)點(diǎn),,直線AB方程為,聯(lián)立拋物線整理得:,,∴,,有,由A在第一象限,則,即,∴,可得,又O到AB的距離,∴,而,∴,,當(dāng),,單調(diào)遞減;,,單調(diào)遞增;∴的最小值為,此時(shí),.21、(1);(2).【解析】(1)根據(jù)
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