福建省福州市第一中學(xué)2023年高二上數(shù)學(xué)期末檢測模擬試題含解析

福建省福州市第一中學(xué)2023年高二上數(shù)學(xué)期末檢測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．圓關(guān)于直線對稱圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.2．已知，數(shù)列，，，與，，，，都是等差數(shù)列，則的值是（）A. B.C. D.3．將正整數(shù)1，2，3，4，…按如圖所示的方式排成三角形數(shù)組，則第19行從左往右數(shù)第5個數(shù)是（）A.381 B.361C.329 D.4004．已知兩直線方程分別為l1：x＋y＝1，l2：ax＋2y＝0，若l1⊥l2，則a＝（）A2 B.－2C. D.5．已知點在拋物線上，則點到拋物線焦點的距離為（）A.1 B.2C.3 D.46．某學(xué)校高二級選擇“史政地”“史政生”和“史地生”組合的同學(xué)人數(shù)分別為240，120和60．現(xiàn)采用分層抽樣的方法選出14位同學(xué)進(jìn)行一項調(diào)查研究，則“史政生”組合中選出的人數(shù)為（）A.8 B.6C.4 D.37．展開式中第3項的二項式系數(shù)為（）A.6 B.C.24 D.8．已知，是球的球面上兩點，，為該球面上的動點，若三棱錐體積的最大值為36，則球的表面積為（）A. B.C. D.9．已知拋物線，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點，若線段AB的中點的橫坐標(biāo)為3，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B.C. D.10．（文科）已知點為曲線上的動點,為圓上的動點,則的最小值是A.3 B.5C. D.11．設(shè)集合，集合，當(dāng)有且僅有一個元素時，則r的取值范圍為（）A.或 B.或C.或 D.或12．設(shè)曲線在點處的切線與x軸、y軸分別交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，則的面積等于（）A.1 B.2C.4 D.6二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若滿足約束條件，則的最小值為________.14．若恒成立，則______.15．已知函數(shù)在點處的切線為直線l，則l與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為___________.16．若，滿足不等式組，則的最大值為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知各項均為正數(shù)的等差數(shù)列滿足，且，，構(gòu)成等比數(shù)列的前三項.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.18．（12分）設(shè)數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列，其前n項和為（1）若，，求數(shù)列的前n項和；（2）若，，成等差數(shù)列，求q的值并證明：存在互不相同的正整數(shù)m，n，p，使得，，成等差數(shù)列；（3）若存在正整數(shù)，使得數(shù)列，，…，在刪去以后按原來的順序所得到的數(shù)列是等差數(shù)列，求所有數(shù)對所構(gòu)成的集合，19．（12分）2021年國慶期間，某電器商場為了促銷，給出了兩種優(yōu)惠方案，顧客只能選擇其中的一種，方案一：每消費滿8千元，可減8百元.方案二：消費金額超過8千元（含8千元），可抽取小球三次，其規(guī)則是依次從裝有2個紅色小球、2個黃色小球的一號箱子，裝有2個紅色小球、2個黃色小球的二號箱子，裝有1個紅色小球、3個黃色小球的三號箱子各抽一個小球（這些小球除顏色外完全相同），其優(yōu)惠情況為：若抽出3個紅色小球則打6折；若抽出2個紅色小球則打7折；若抽出1個紅色小球則打8折；若沒有抽出紅色小球則不打折.（1）若有兩名顧客恰好消費8千元，他們都選中第二方案，求至少有一名顧客比選擇方案一更優(yōu)惠的概率；（2）若你朋友在該商場消費了1萬元，請用所學(xué)知識幫助你朋友分析一下應(yīng)選擇哪種付款方案.20．（12分）已知橢圓：過點，且離心率（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)的左、右焦點分別為，，過點作直線與橢圓交于，兩點，，求的面積21．（12分）如圖，三棱錐中，為等邊三角形，且面面，（1）求證：；（2）當(dāng)與平面BCD所成角為45°時，求二面角的余弦值22．（10分）已知圓C：（1）若點，求過點的圓的切線方程；（2）若點為圓的弦的中點，求直線的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】先根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得到圓的圓心和半徑，求出圓心關(guān)于直線的對稱點，進(jìn)而寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】因為圓的圓心為，半徑為，且關(guān)于直線對稱的點為，所以所求圓的圓心為、半徑為，即所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D.2、A【解析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，分別表示出，，整理即可得答案.【詳解】數(shù)列，，，和，，，，各自都成等差數(shù)列，，，，故選:A3、C【解析】觀察規(guī)律可知，從第一行起，每一行最后一個數(shù)是連續(xù)的完全平方數(shù)，據(jù)此容易得出答案.【詳解】由圖中數(shù)字排列規(guī)律可知：第1行從左往右最后1個數(shù)是，第2行從左往右最后1個數(shù)是，第3行從左往右最后1個數(shù)是，……第18行從左往右最后1個數(shù)為，第19行從左往右第5個數(shù)是故選：C.4、B【解析】直接利用直線垂直公式計算得到答案.【詳解】因為l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即-＝1，解得a＝－2.故選：【點睛】本題考查了根據(jù)直線垂直計算參數(shù)，屬于簡單題.5、B【解析】先求出拋物線方程，焦點坐標(biāo)，再用兩點間距離公式進(jìn)行求解.【詳解】將代入拋物線中得：，解得：，所以拋物線方程為，焦點坐標(biāo)為，所以點到拋物線焦點的距離為故選：B6、C【解析】根據(jù)題意求得抽樣比，再求“史政生”組合中抽取的人數(shù)即可.【詳解】根據(jù)題意，分層抽樣的抽樣比為，故從“史政生”組合120中，抽取的人數(shù)時人.故選：.7、A【解析】根據(jù)二項展開式的通項公式，即可求解.【詳解】由題意，二項式展開式中第3項，所以展開式中第3項的二項式系數(shù)為.故選：A.8、C【解析】當(dāng)平面時，三棱錐體積最大，根據(jù)棱長與球半徑關(guān)系即可求出球半徑，從而求出表面積.【詳解】當(dāng)平面時，三棱錐體積最大.又，則三棱錐體積，解得；故表面積.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查三棱錐與球的組合體的綜合問題，本題的關(guān)鍵是判斷當(dāng)平面時，三棱錐體積最大.9、B【解析】設(shè)，進(jìn)而根據(jù)題意，結(jié)合中點弦的問題得，進(jìn)而再求解準(zhǔn)線方程即可.【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)，所以①，②，所以，①②得：，即，因為直線AB的斜率為1，線段AB的中點的橫坐標(biāo)為3，所以，即，所以拋物線，準(zhǔn)線方程為.故選：B10、A【解析】數(shù)形結(jié)合分析可得,當(dāng)時能夠取得的最小值,根據(jù)點到圓心的距離減去半徑求解即可.【詳解】由對勾函數(shù)的性質(zhì),可知,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,結(jié)合圖象可知當(dāng)A點運動到時能使點到圓心的距離最小,最小為4,從而的最小值為.故選：A【點睛】本題考查兩動點間距離的最值問題,考查轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.11、B【解析】由已知得集合M表示以點圓心，以2半徑左半圓，與y軸的交點為，集合N表示以點為圓心，以r為半徑的圓，當(dāng)圓C與圓O相外切于點P，有且僅有一個元素時，圓C過點M時，有且有兩個元素，當(dāng)圓C過點N，有且僅有一個元素，由此可求得r的取值范圍.【詳解】解：由得，所以集合M表示以點圓心，以2半徑的左半圓，與y軸的交點為，集合表示以點為圓心，以r為半徑的圓，如下圖所示，當(dāng)圓C與圓O相外切于點P時，有且僅有一個元素時，此時，當(dāng)圓C過點M時，有兩個元素，此時，所以，當(dāng)圓C過點N時，有且僅有一個元素，此時，所以，所以當(dāng)有且僅有一個元素時，則r的取值范圍為或，故選：B.12、C【解析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值，寫出切線方程，分別求得切線在兩坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)，再由三角形面積公式求解【詳解】由，得，，又切線過點，曲線在點處的切線方程為，取，得，取，得的面積等于故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、5【解析】作出可行域，作直線，平移該直線可得最優(yōu)解【詳解】作出可行域，如圖內(nèi)部（含邊界），作直線，直線中是直線的縱截距，代入得，即平移直線，當(dāng)直線過點時取得最小值5故答案為：514、1【解析】利用導(dǎo)數(shù)研究的最小值為，再構(gòu)造研究其最值，即可確定參數(shù)a的值.【詳解】令，則且，當(dāng)時，遞減；當(dāng)時，遞增；所以，即在上恒成立，令，則，當(dāng)時，遞增；當(dāng)時，遞減；所以，綜上，.故答案為：115、【解析】先求出切線方程，分別得到直線與x、y軸交點，即可求出三角形的面積.【詳解】由函數(shù)可得：函數(shù)，所以，.所以切線l：，即.令，得到；令，得到；所以l與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為.故答案為：.16、10【解析】作出不等式區(qū)域,如圖所示:目標(biāo)最大值,即為平移直線的最大縱截距,當(dāng)直線經(jīng)過點時最大為10.故答案為10.點睛：本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬簡單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的最優(yōu)解對應(yīng)點（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過或最后通過的頂點就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），，；（2）.【解析】（1）由等差中項的性質(zhì)可求出，又，，構(gòu)成等比數(shù)列，設(shè)出公差，代入可求出，從而求出數(shù)列的通項公式，代入可求出，的值，從而求出數(shù)列的通項公式；（2）將通項公式代入，運用裂項相消的方法可求出前項和.【詳解】解析：（1）因為等差數(shù)列中，，所以，設(shè)數(shù)列公差為，因為，，構(gòu)成等比數(shù)列，則，即，解得或(舍)即，又等比數(shù)列中，，所以，；（2）∵，∴，∴【點睛】易錯點睛：（1）裂項相消時一定要注意分母的差，一般情況下分母的差是幾，則要在裂項前面乘以幾分之一；（2）裂項相消時要注意保留的項數(shù).18、（1）（2）,證明見解析.（3）不存在，【解析】（1）數(shù)列為首項為公差為的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的求和公式即可得出結(jié)果；（2），，成等差數(shù)列，則+=2，根據(jù)等比數(shù)列求和公式計算可解得，進(jìn)而計算可得，即可判斷結(jié)果；（3）由題意列出，，…，,,,,,…，在刪去以后,按原來的順序所得到的數(shù)列是等差數(shù)列,則，解方程組可得無解，則所有數(shù)對所構(gòu)成的集合為.【小問1詳解】，，數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列，，數(shù)列為，數(shù)列為首項為公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的前n項和.【小問2詳解】，，成等差數(shù)列，+=2，當(dāng)時,+=,2,不符題意舍去，當(dāng)時，.,即，，，（舍）或即，存在互不相同的正整數(shù)，使得，，成等差數(shù)列，，，.【小問3詳解】由題意列出，，…，,,,,,…，在刪去以后,按原來的順序所得到的數(shù)列是等差數(shù)列,則，,即，解得：方程組無解.即符合條件的不存在，所有數(shù)對所構(gòu)成的集合為.19、（1）（2）選擇方案二更劃算【解析】（1）要使方案二比方案一優(yōu)惠，則需要抽出至少一個紅球，求出沒有抽出紅色小球的概率，再根據(jù)對立事件的概率公式即可得出答案；（2）若選擇方案一，則需付款（元），若選擇方案二，設(shè)付款金額為元，則可取6000，7000，8000，10000，求出對應(yīng)概率，從而可求得的期望，在比較的期望與9200的大小即可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：根據(jù)題意得要使方案二比方案一優(yōu)惠，則需要抽出至少一個紅球，設(shè)沒有抽出紅色小球為事件，則，所以所求概率；【小問2詳解】解：若選擇方案一，則需付款（元），若選擇方案二，設(shè)付款金額為元，則可取6000，7000，8000，10000，，，，，故的分布列為X60007000800010000P所以（元），因為，所以選擇方案二更劃算.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）根據(jù)已知點，離心率以及列方程組，解方程組可得的值即可求解；（Ⅱ）設(shè)，，直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程消去，可得，，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示列方程可得的值，計算，利用面積公式計算即可求解.【詳解】（Ⅰ）將代入橢圓方程可得，即①因為離心率，即，②由①②解得，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（Ⅱ）由題意可得，，設(shè)直線的方程為將直線的方程代入中，得，設(shè)，，則，所以，，所以，由，解得，所以，，因此21、（1）證明見解析；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定條件證得平面即可推理作答.(2)由與平面BCD所成角確定正邊長與CD長的關(guān)系，再作出二面角的平面角，借助余弦定理計算作答.【小問1詳解】在三棱錐中，平面平面，平面平面，而，平面，因此有平面，又有平面，所以.【小問2詳解】取BC中點F，連接AF，DF，如圖，因為等邊三角形，則，而平面平面，平面平面，平面，于是得平面，是與平面BCD所成角，即，令，則，因，即有，由(1)知，，則有，過C作交AD于O，在平面內(nèi)過O作交BD于E，連CE，從而得是二面角的平面角，