福建省華安一中2023年數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考試題含解析

福建省華安一中2023年數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某地政府為落實(shí)疫情防控常態(tài)化，不定時(shí)從當(dāng)?shù)?80名公務(wù)員中，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取30人做核酸檢測．把這批公務(wù)員按001到780進(jìn)行編號，若018號被抽中，則下列編號也被抽中的是（）A.076 B.122C.390 D.5222．下列有關(guān)命題的表述中，正確的是（）A.命題“若是偶數(shù)，則，都是偶數(shù)”的否命題是假命題B.命題“若為正無理數(shù)，則也是無理數(shù)”的逆命題是真命題C.命題“若，則”的逆否命題為“若，則”D.若命題“”，“”均為假命題，則，均為假命題3．直線x－y＋1＝0被橢圓＋y2＝1所截得的弦長|AB|等于（）A. B.C. D.4．已知圓，則圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最小值為（）A.-1 B.C.+1 D.65．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與拋物線C：交于，兩點(diǎn)，若，則的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B.C. D.6．已知向量，則（）A. B.C. D.7．已知圓M的圓心在直線上，且點(diǎn)，在M上，則M的方程為（）A. B.C. D.8．如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在n時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米．水位下降1米后，水面寬為（）A. B.C. D.9．已知命題:，命題:則是的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分C.充分必要 D.既不充分也不必要10．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則下列說法正確的是（）A.是函數(shù)的極大值點(diǎn)B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C.是函數(shù)的最小值點(diǎn)D.曲線在處切線的斜率小于零11．?dāng)?shù)列，，，，…，的通項(xiàng)公式可能是（）A. B.C. D.12．已知，，若直線上存在點(diǎn)P，滿足，則l的傾斜角的取值范圍是（）A. B.C D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．容積為V圓柱形密封金屬飲料罐，它的高與底面半徑比值為___________時(shí)用料最省.14．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到x軸的距離為___________.15．某校對全校共1800名學(xué)生進(jìn)行健康調(diào)查，選用分層抽樣法抽取一個(gè)容量為200的樣本，已知女生比男生少抽了20人，則該校的女生人數(shù)應(yīng)是__________人.16．各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，，則___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等差數(shù)列}的公差為整數(shù)，為其前n項(xiàng)和，，（1）求{}的通項(xiàng)公式：（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求18．（12分）已知橢圓C：，右焦點(diǎn)為F(，0)，且離心率為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)M，N是橢圓C上不同的兩點(diǎn)，且直線MN與圓O：相切，若T為弦MN的中點(diǎn)，求|OT||MN|的取值范圍19．（12分）為了了解高一年級學(xué)生的體能情況，某校抽取部分學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖(如圖所示)，圖中從左到右各小長方形面積之比為2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小組的頻數(shù)為12（1）第二小組的頻率是多少？樣本量是多少？（2）若次數(shù)在110以上(含110次)為達(dá)標(biāo)，則該校全體高一年級學(xué)生的達(dá)標(biāo)率是多少？（3）樣本中不達(dá)標(biāo)的學(xué)生人數(shù)是多少？（4）第三組的頻數(shù)是多少？20．（12分）如圖，矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)位于x軸上，另兩個(gè)頂點(diǎn)位于拋物線在x軸上方的曲線上，求矩形面積最大時(shí)的邊長.21．（12分）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足（1）求及的值；（2）求在點(diǎn)處的切線方程22．（10分）某校從高三年級學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生的某次數(shù)學(xué)考試成績，將其成績分成，，，，的組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求圖中的值；（2）估計(jì)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；（3）若成績在內(nèi)的學(xué)生中男生占.現(xiàn)從成績在內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)抽取人進(jìn)行分析，求人中恰有名女生的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的特點(diǎn)，寫出組數(shù)與對應(yīng)抽取編號的關(guān)系式，即可判斷和選擇.【詳解】根據(jù)題意，780名公務(wù)員中，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取30人，則需要分為組，每組人；設(shè)第組抽取的編號為，故可設(shè)，又第一組抽中號，故可得，解得故，當(dāng)時(shí)，.故選：.2、C【解析】對于選項(xiàng)A：根據(jù)偶數(shù)性質(zhì)即可判斷；對于選項(xiàng)B：通過舉例即可判斷，對于選項(xiàng)C：利用逆否命題的概念即可判斷；對于選項(xiàng)D：根據(jù)且、或和非的關(guān)系即可判斷.【詳解】選項(xiàng)A：原命題的否命題為：若不是偶數(shù)，則，不都是偶數(shù)，若，都是偶數(shù)，則一定是偶數(shù)，從而原命題的否命題為真命題，故A錯誤；選項(xiàng)B：原命題的逆命題：若是無理數(shù)，則也為正無理數(shù)，當(dāng)，即為無理數(shù)，但是有理數(shù)，故B錯誤；選項(xiàng)C：由逆否命題的概念可知，C正確；選項(xiàng)D：由為假命題可知，，至少有一個(gè)為假命題，由為假命題可知，和均為假命題，故為假命題，為真命題，故D錯誤.故選：C.3、A【解析】聯(lián)立方程組，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求距離.【詳解】由得交點(diǎn)為(0,1)，，則|AB|＝＝.故選：A.4、A【解析】先求出圓心和半徑，求出圓心到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，從而求出圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最小值.【詳解】變形為，故圓心為，半徑為1，故圓心到原點(diǎn)的距離為，故圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離最小值為.故選：A5、B【解析】根據(jù)題中所給的條件，結(jié)合拋物線的對稱性，可知，從而可以確定出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入方程求得的值，進(jìn)而求得其焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€與拋物線交于兩點(diǎn)，且，根據(jù)拋物線的對稱性可以確定，所以，代入拋物線方程，求得，所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)圓錐曲線的問題，涉及到的知識點(diǎn)有直線與拋物線的交點(diǎn)，拋物線的對稱性，點(diǎn)在拋物線上的條件，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，屬于簡單題目.6、B【解析】根據(jù)向量加減法運(yùn)算的坐標(biāo)表示即可得到結(jié)果【詳解】故選：B.7、C【解析】由題設(shè)寫出的中垂線，求其與的交點(diǎn)即得圓心坐標(biāo)，再應(yīng)用兩點(diǎn)距離公式求半徑，即可得圓的方程.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，在M上，所以圓心在的中垂線上由，解得，即圓心為，則半徑，所以M的方程為故選：C8、D【解析】由題建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為，結(jié)合條件即求.【詳解】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系：設(shè)拋物線方程為，由題意知：在拋物線上，即，解得：，，當(dāng)水位下降1米后，即將代入，即，解得：，∴水面寬為米.故選：D.9、B【解析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】解：若，則或，即或，所以是的必要不充分條件故選：B10、B【解析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn)，即可判斷；【詳解】解：由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取得極小值即最小值，所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)與最小值點(diǎn)，因?yàn)?，所以曲線在處切線的斜率大于零，故選：B11、D【解析】利用數(shù)列前幾項(xiàng)排除A、B、C，即可得解；【詳解】解：由，排除A，C，由，排除B，分母為奇數(shù)列，分子為，故數(shù)列的通項(xiàng)公式可以為，故選：D12、A【解析】根據(jù)題意，求得直線恒過的定點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合只需求得線段與直線有交點(diǎn)時(shí)的斜率，結(jié)合斜率和傾斜角的關(guān)系即可求得結(jié)果.【詳解】對直線，變形為，故其恒過定點(diǎn)，若直線存在點(diǎn)P，滿足，只需直線與線段有交點(diǎn)即可.數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，其斜率取得最大值，此時(shí)，對應(yīng)傾斜角；當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，其斜率取得最小值，此時(shí)，對應(yīng)傾斜角為.根據(jù)斜率和傾斜角的關(guān)系，要滿足題意，直線的傾斜角的范圍為：.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，容積為，由，得到，進(jìn)而求得表面積，結(jié)合不等式，即可求解.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，容積為，則，即有，可得圓柱的表面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)最小，即用料最省，此時(shí)，可得.故答案為：.14、【解析】由空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)到軸的距離為計(jì)算可得【詳解】解：空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到軸的距離為故答案為：15、810【解析】分析：首先確定抽取的女生人數(shù)，然后由分層抽樣比即可確定女生的人數(shù).詳解：設(shè)抽取的女生人數(shù)為，則：，解得：，則抽取的女生人數(shù)為人，抽取的男生人數(shù)為人，據(jù)此可知該校女生人數(shù)應(yīng)是人.點(diǎn)睛：進(jìn)行分層抽樣的相關(guān)計(jì)算時(shí)，常利用以下關(guān)系式巧解：(1)；(2)總體中某兩層的個(gè)體數(shù)之比＝樣本中這兩層抽取的個(gè)體數(shù)之比16、【解析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，即可得到答案.【詳解】由題意各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列得：，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意利用等差數(shù)列的性質(zhì)列出方程，即可解得答案；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，求出的表達(dá)式，利用裂項(xiàng)求和的方法求得答案.小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列{}的公差為d，則,整理可得：，∵d是整數(shù)，解得，從而，所以數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為：;【小問2詳解】由（1）知，，所以18、（1）；（2）[，3].【解析】（1）由題可得，即求；（2）當(dāng)直線的斜率不存在或?yàn)?，易求，當(dāng)直線MN斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線MN的方程為：，利用直線與圓相切可得，再聯(lián)立橢圓方程并應(yīng)用韋達(dá)定理求得，然后利用基本不等式即得.【小問1詳解】由題可得，∴??=2，??=∴橢圓C的方程為：；小問2詳解】當(dāng)直線MN斜率為0時(shí)，不妨取直線MN為??=，則，此時(shí)，則；當(dāng)直線MN斜率不存在，不妨取直線MN為x=，則，此時(shí)，則；當(dāng)直線MN斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線MN的方程為：，，因?yàn)橹本€MN與圓相切，所以，即，又因?yàn)橹本€MN與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)：由，得，則，所以MN中點(diǎn)T坐標(biāo)為，則，，所以又，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號，∴|OT||MN|；綜上所述：|OT|?|MN|的取值范圍為[，3].19、（1）0.08，150；（2）88%；（3）18；（4）51.【解析】頻率分布直方圖以面積的形式反映數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率大小，所以計(jì)算面積之比即為所求小組的頻率.可用此方法計(jì)算（1），（2），由公式直接計(jì)算可得（1）中樣本容量；根據(jù)（2）問中的達(dá)標(biāo)率，可計(jì)算不達(dá)標(biāo)率，從而求出不達(dá)標(biāo)人數(shù)，可得（3）；單獨(dú)計(jì)算第三組的頻率，由公式計(jì)算頻數(shù)，可求出（4）.【小問1詳解】頻率分布直方圖以面積形式反映數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率大小，因此第二小組的頻率為＝0.08所以樣本容量＝＝150.【小問2詳解】由直方圖可估計(jì)該校高一年級學(xué)生的達(dá)標(biāo)率為×100%＝88%.【小問3詳解】由（1）（2）知達(dá)標(biāo)率為88%，樣本量為150，不達(dá)標(biāo)的學(xué)生頻率為1－0.88＝0.12所以樣本中不達(dá)標(biāo)的學(xué)生人數(shù)為150×0.12＝18(人)【小問4詳解】第三小組的頻率為＝0.34又因?yàn)闃颖玖繛?50，所以第三組的頻數(shù)為150×0.34＝5120、當(dāng)矩形面積最大時(shí)，矩形邊AB長，BC長【解析】先設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而表示出矩形的面積，通過求導(dǎo)可求出其最大面積.【詳解】設(shè)點(diǎn)，那么矩形面積，.令解得（負(fù)舍）.所以S在（0，）上單調(diào)遞增，在（，2）上單調(diào)遞；..所以當(dāng)時(shí)，S有最大值.此時(shí)答：當(dāng)矩形面積最大時(shí)，矩形邊AB長，BC長.21、（1）；；（2）.【解析】（1）由題可得，進(jìn)而可得，然后可得，即得；（2）由題可求，，再利用點(diǎn)斜式即得.【小問1詳解】∵，∴，，∴，，∴.【小問2詳解】∵，，∴，，∴在點(diǎn)處的切線方程為，即.22、（1）（2）77（3）【解析】(1)根據(jù)給定條件結(jié)合頻率分布直方圖中各小矩形面積和為1的特點(diǎn)列式計(jì)算即得.(2)利用