西藏自治區(qū)拉薩市城關(guān)區(qū)拉薩中學(xué)2023屆高三摸底測(cè)試數(shù)學(xué)試題_第1頁(yè)
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西藏自治區(qū)拉薩市城關(guān)區(qū)拉薩中學(xué)2023屆高三摸底測(cè)試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,則()A. B. C.7 D.22.已知為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)滿足,則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.設(shè)全集,集合,則=()A. B. C. D.4.已知i為虛數(shù)單位,則()A. B. C. D.5.某工廠只生產(chǎn)口罩、抽紙和棉簽,如圖是該工廠年至年各產(chǎn)量的百分比堆積圖(例如:年該工廠口罩、抽紙、棉簽產(chǎn)量分別占、、),根據(jù)該圖,以下結(jié)論一定正確的是()A.年該工廠的棉簽產(chǎn)量最少B.這三年中每年抽紙的產(chǎn)量相差不明顯C.三年累計(jì)下來產(chǎn)量最多的是口罩D.口罩的產(chǎn)量逐年增加6.若直線l不平行于平面α,且l?α,則()A.α內(nèi)所有直線與l異面B.α內(nèi)只存在有限條直線與l共面C.α內(nèi)存在唯一的直線與l平行D.α內(nèi)存在無數(shù)條直線與l相交7.集合的真子集的個(gè)數(shù)為()A.7 B.8 C.31 D.328.若集合,,則()A. B. C. D.9.泰山有“五岳之首”“天下第一山”之稱,登泰山的路線有四條:紅門盤道徒步線路,桃花峪登山線路,天外村汽車登山線路,天燭峰登山線路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的線路時(shí),發(fā)現(xiàn)三人走的線路均不同,且均沒有走天外村汽車登山線路,三人向其他旅友進(jìn)行如下陳述:甲:我走紅門盤道徒步線路,乙走桃花峪登山線路;乙:甲走桃花峪登山線路,丙走紅門盤道徒步線路;丙:甲走天燭峰登山線路,乙走紅門盤道徒步線路;事實(shí)上,甲、乙、丙三人的陳述都只對(duì)一半,根據(jù)以上信息,可判斷下面說法正確的是()A.甲走桃花峪登山線路 B.乙走紅門盤道徒步線路C.丙走桃花峪登山線路 D.甲走天燭峰登山線路10.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,則公比的值為()A. B.或 C. D.11.若集合,,則A. B. C. D.12.已知六棱錐各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球(記為球)的球面上,且底面為正六邊形,頂點(diǎn)在底面上的射影是正六邊形的中心,若,,則球的表面積為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù)()在區(qū)間上的值小于0恒成立,則的取值范圍是________.14.在邊長(zhǎng)為2的正三角形中,,則的取值范圍為______.15.在棱長(zhǎng)為的正方體中,是正方形的中心,為的中點(diǎn),過的平面與直線垂直,則平面截正方體所得的截面面積為______.16.若函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在和兩處取得極值,且,則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)(某工廠生產(chǎn)零件A,工人甲生產(chǎn)一件零件A,是一等品、二等品、三等品的概率分別為,工人乙生產(chǎn)一件零件A,是一等品、二等品、三等品的概率分別為.己知生產(chǎn)一件一等品、二等品、三等品零件A給工廠帶來的效益分別為10元、5元、2元.(1)試根據(jù)生產(chǎn)一件零件A給工廠帶來的效益的期望值判斷甲乙技術(shù)的好壞;(2)為鼓勵(lì)工人提高技術(shù),工廠進(jìn)行技術(shù)大賽,最后甲乙兩人進(jìn)入了決賽.決賽規(guī)則是:每一輪比賽,甲乙各生產(chǎn)一件零件A,如果一方生產(chǎn)的零件A品級(jí)優(yōu)干另一方生產(chǎn)的零件,則該方得分1分,另一方得分-1分,如果兩人生產(chǎn)的零件A品級(jí)一樣,則兩方都不得分,當(dāng)一方總分為4分時(shí),比賽結(jié)束,該方獲勝.Pi+4(i=4,3,2,…,4)表示甲總分為i時(shí),最終甲獲勝的概率.①寫出P0,P8的值;②求決賽甲獲勝的概率.18.(12分)如圖,在直三棱柱中,,,為的中點(diǎn),點(diǎn)在線段上,且平面.(1)求證:;(2)求平面與平面所成二面角的正弦值.19.(12分)設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,離心率是,動(dòng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng),當(dāng)軸時(shí),.(1)求橢圓的方程;(2)延長(zhǎng)分別交橢圓于點(diǎn)(不重合).設(shè),求的最小值.20.(12分)在四棱錐中,底面是邊長(zhǎng)為2的菱形,是的中點(diǎn).(1)證明:平面;(2)設(shè)是線段上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)到平面距離最大時(shí),求三棱錐的體積.21.(12分)已知函數(shù)存在一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn).(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若函數(shù)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)分別為和,且,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))22.(10分)在本題中,我們把具體如下性質(zhì)的函數(shù)叫做區(qū)間上的閉函數(shù):①的定義域和值域都是;②在上是增函數(shù)或者減函數(shù).(1)若在區(qū)間上是閉函數(shù),求常數(shù)的值;(2)找出所有形如的函數(shù)(都是常數(shù)),使其在區(qū)間上是閉函數(shù).

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)并結(jié)合已知可求出,再利用等差數(shù)列性質(zhì)可得,即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,所以,所以,所以,故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)及前項(xiàng)和公式,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

求出復(fù)數(shù),得出其對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),確定所在象限.【詳解】由題意,對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為,在第二象限.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義,考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】

先求得全集包含的元素,由此求得集合的補(bǔ)集.【詳解】由解得,故,所以,故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查補(bǔ)集的概念及運(yùn)算,考查一元二次不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算法則,即可求解.【詳解】.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題題.5、C【解析】

根據(jù)該廠每年產(chǎn)量未知可判斷A、B、D選項(xiàng)的正誤,根據(jù)每年口罩在該廠的產(chǎn)量中所占的比重最大可判斷C選項(xiàng)的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】由于該工廠年至年的產(chǎn)量未知,所以,從年至年棉簽產(chǎn)量、抽紙產(chǎn)量以及口罩產(chǎn)量的變化無法比較,故A、B、D選項(xiàng)錯(cuò)誤;由堆積圖可知,從年至年,該工廠生產(chǎn)的口罩占該工廠的總產(chǎn)量的比重是最大的,則三年累計(jì)下來產(chǎn)量最多的是口罩,C選項(xiàng)正確.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查堆積圖的應(yīng)用,考查數(shù)據(jù)處理能力,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

通過條件判斷直線l與平面α相交,于是可以判斷ABCD的正誤.【詳解】根據(jù)直線l不平行于平面α,且l?α可知直線l與平面α相交,于是ABC錯(cuò)誤,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與平面的位置關(guān)系,直線與直線的位置關(guān)系,難度不大.7、A【解析】

計(jì)算,再計(jì)算真子集個(gè)數(shù)得到答案.【詳解】,故真子集個(gè)數(shù)為:.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的真子集個(gè)數(shù),意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.8、A【解析】

用轉(zhuǎn)化的思想求出中不等式的解集,再利用并集的定義求解即可.【詳解】解:由集合,解得,則故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了并集及其運(yùn)算,分式不等式的解法,熟練掌握并集的定義是解本題的關(guān)鍵.屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

甲乙丙三人陳述中都提到了甲的路線,由題意知這三句中一定有一個(gè)是正確另外兩個(gè)錯(cuò)誤的,再分情況討論即可.【詳解】若甲走的紅門盤道徒步線路,則乙,丙描述中的甲的去向均錯(cuò)誤,又三人的陳述都只對(duì)一半,則乙丙的另外兩句話“丙走紅門盤道徒步線路”,“乙走紅門盤道徒步線路”正確,與“三人走的線路均不同”矛盾.故甲的另一句“乙走桃花峪登山線路”正確,故丙的“乙走紅門盤道徒步線路”錯(cuò)誤,“甲走天燭峰登山線路”正確.乙的話中“甲走桃花峪登山線路”錯(cuò)誤,“丙走紅門盤道徒步線路”正確.綜上所述,甲走天燭峰登山線路,乙走桃花峪登山線路,丙走紅門盤道徒步線路故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷與推理的問題,重點(diǎn)是找到三人中都提到的內(nèi)容進(jìn)行分類討論,屬于基礎(chǔ)題型.10、C【解析】

由可得,故可求的值.【詳解】因?yàn)?,所以,故,因?yàn)檎?xiàng)等比數(shù)列,故,所以,故選C.【點(diǎn)睛】一般地,如果為等比數(shù)列,為其前項(xiàng)和,則有性質(zhì):(1)若,則;(2)公比時(shí),則有,其中為常數(shù)且;(3)為等比數(shù)列()且公比為.11、C【解析】

解一元次二次不等式得或,利用集合的交集運(yùn)算求得.【詳解】因?yàn)榛?,,所以,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交運(yùn)算,屬于容易題.12、D【解析】

由題意,得出六棱錐為正六棱錐,求得,再結(jié)合球的性質(zhì),求得球的半徑,利用表面積公式,即可求解.【詳解】由題意,六棱錐底面為正六邊形,頂點(diǎn)在底面上的射影是正六邊形的中心,可得此六棱錐為正六棱錐,又由,所以,在直角中,因?yàn)椋?,設(shè)外接球的半徑為,在中,可得,即,解得,所以外接球的表面積為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正棱錐的幾何結(jié)構(gòu)特征,以及外接球的表面積的計(jì)算,其中解答中熟記幾何體的結(jié)構(gòu)特征,熟練應(yīng)用球的性質(zhì)求得球的半徑是解答的關(guān)鍵,著重考查了空間想象能力,以及推理與計(jì)算能力,屬于中檔試題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

首先根據(jù)的取值范圍,求得的取值范圍,由此求得函數(shù)的值域,結(jié)合區(qū)間上的值小于0恒成立列不等式組,解不等式組求得的取值范圍.【詳解】由于,所以,由于區(qū)間上的值小于0恒成立,所以().所以,由于,所以,由于,所以令得.所以的取值范圍是.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)值域的求法,考查三角函數(shù)值恒小于零的問題的求解,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.14、【解析】

建立直角坐標(biāo)系,依題意可求得,而,,,故可得,且,由此構(gòu)造函數(shù),,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得取值范圍.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則,,,設(shè),,,,根據(jù),即,,,則,,即,,,則,,所以,,,,,,且,故,設(shè),,易知二次函數(shù)的對(duì)稱軸為,故函數(shù)在,上的最大值為,最小值為,故的取值范圍為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意通過設(shè)元、消元,將問題轉(zhuǎn)化為元二次函數(shù)的值域問題.15、【解析】

確定平面即為平面,四邊形是菱形,計(jì)算面積得到答案.【詳解】如圖,在正方體中,記的中點(diǎn)為,連接,則平面即為平面.證明如下:由正方體的性質(zhì)可知,,則,四點(diǎn)共面,記的中點(diǎn)為,連接,易證.連接,則,所以平面,則.同理可證,,,則平面,所以平面即平面,且四邊形即平面截正方體所得的截面.因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為,易知四邊形是菱形,其對(duì)角線,,所以其面積.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了正方體的截面面積,意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.16、【解析】

先將函數(shù)在和兩處取得極值,轉(zhuǎn)化為方程有兩不等實(shí)根,且,再令,將問題轉(zhuǎn)化為直線與曲線有兩交點(diǎn),且橫坐標(biāo)滿足,用導(dǎo)數(shù)方法研究單調(diào)性,作出簡(jiǎn)圖,求出時(shí),的值,進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,所以,又函?shù)在和兩處取得極值,所以是方程的兩不等實(shí)根,且,即有兩不等實(shí)根,且,令,則直線與曲線有兩交點(diǎn),且交點(diǎn)橫坐標(biāo)滿足,又,由得,所以,當(dāng)時(shí),,即函數(shù)在上單調(diào)遞增;當(dāng),時(shí),,即函數(shù)在和上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),由得,此時(shí),因此,由得.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,已知函數(shù)極值點(diǎn)間的關(guān)系求參數(shù)的問題,通常需要將函數(shù)極值點(diǎn),轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)方程的根,再轉(zhuǎn)化為直線與曲線交點(diǎn)的問題來處理,屬于??碱}型.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)乙的技術(shù)更好,見解析(2)①,;②【解析】

(1)列出分布列,求出期望,比較大小即可;(2)①直接根據(jù)概率的意義可得P0,P8;②設(shè)每輪比賽甲得分為,求出每輪比賽甲得1分的概率,甲得0分的概率,甲得分的概率,可的,可推出是等差數(shù)列,根據(jù)可得答案.【詳解】(1)記甲乙各生產(chǎn)一件零件給工廠帶來的效益分別為元、元,隨機(jī)變量,的分布列分別為10521052所以,,所以,即乙的技術(shù)更好(2)①表示的是甲得分時(shí),甲最終獲勝的概率,所以,表示的是甲得4分時(shí),甲最終獲勝的概率,所以;②設(shè)每輪比賽甲得分為,則每輪比賽甲得1分的概率,甲得0分的概率,甲得分的概率,所以甲得時(shí),最終獲勝有以下三種情況:(1)下一輪得1分并最終獲勝,概率為;(2)下一輪得0分并最終獲勝,概率為;(3)下一輪得分并最終獲勝,概率為;所以,所以是等差數(shù)列,則,即決賽甲獲勝的概率是.【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望,考查數(shù)列遞推關(guān)系的應(yīng)用,是一道難度較大的題目.18、見解析【解析】

(1)如圖,連接,交于點(diǎn),連接,,則為的中點(diǎn),因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以,又,所以,從而,,,四點(diǎn)共面.因?yàn)槠矫?,平面,平面平面,所以.又,所以四邊形為平行四邊形,所以,所以?)因?yàn)?,為的中點(diǎn),所以,又三棱柱是直三棱柱,,所以,,互相垂直,分別以,,的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,因?yàn)椋?,所以,,,,所以,,.設(shè)平面的法向量為,則,即,令,可得,,所以平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面的法向量為,則,即,令,可得,,所以平面的一個(gè)法向量為,所以,所以平面與平面所成二面角的正弦值為.19、(1);(2)【解析】

(1)根據(jù)題意直接計(jì)算得到,,得到橢圓方程.(2)不妨設(shè),且,設(shè),代入數(shù)據(jù)化簡(jiǎn)得到,故,得到答案.【詳解】(1),所以,,化簡(jiǎn)得,所以,,所以方程為;(2)由題意得,不在軸上,不妨設(shè),且,設(shè),所以由,得,所以,由,得,代入,化簡(jiǎn)得:,由于,所以,同理可得,所以,所以當(dāng)時(shí),最小為【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程,橢圓中的向量運(yùn)算和最值,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.20、(1)見解析(2)【解析】

(1)連接與交于,連接,證明即可得證線面平行;(2)首先證明平面(只要取中點(diǎn),可證平面,從而得,同理得),因此點(diǎn)到直線的距離即為點(diǎn)到平面的距離,由平面幾何知識(shí)易得最大值,然后可計(jì)算體積.【詳解】(1)證明:連接與交于,連接,因?yàn)槭橇庑?,所以為的中點(diǎn),又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以,因?yàn)槠矫嫫矫?,所以平面.?)解:取中點(diǎn),連接,因?yàn)樗倪呅问橇庑?,,且,所以,又,所以平面,又平面,所以.同理可證:

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