2023屆黔南市重點(diǎn)中學(xué)高三下學(xué)期5月階段驗(yàn)收-數(shù)學(xué)試題試卷

2023屆黔南市重點(diǎn)中學(xué)高三下學(xué)期5月階段驗(yàn)收-數(shù)學(xué)試題試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足約束條件，則的最小值為（）A．2 B．24 C．16 D．142．如圖，平面ABCD，ABCD為正方形，且，E，F(xiàn)分別是線(xiàn)段PA，CD的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)EF與BD所成角的余弦值為（）A． B． C． D．3．把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)的最小值是（）A． B． C． D．4．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．5．如圖，圓的半徑為，，是圓上的定點(diǎn)，，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，角的始邊為射線(xiàn)，終邊為射線(xiàn)，將表示為的函數(shù)，則在上的圖像大致為（）A． B． C． D．6．已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．7．如圖所示，正方體的棱，的中點(diǎn)分別為，，則直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．8．如圖，棱長(zhǎng)為的正方體中，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，分別為線(xiàn)段和棱上任意一點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．9．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則()A． B． C． D．10．閱讀下面的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，程序運(yùn)行輸出的結(jié)果是（）A．1．1 B．1 C．2．9 D．2．811．已知正方體的棱長(zhǎng)為，，，分別是棱，，的中點(diǎn)，給出下列四個(gè)命題:①;②直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角為;③過(guò)，，三點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面為六邊形;④三棱錐的體積為.其中，正確命題的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．12．我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有如下問(wèn)題：“今有器中米，不知其數(shù)，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗為十升).問(wèn)，米幾何？”下圖是解決該問(wèn)題的程序框圖，執(zhí)行該程序框圖，若輸出的S=15(單位：升)，則輸入的k的值為（）?A．45 B．60 C．75 D．100二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在數(shù)列中，已知，則數(shù)列的的前項(xiàng)和為_(kāi)_________.14．已知平面向量、的夾角為，且，則的最大值是_____．15．在中，為定長(zhǎng)，，若的面積的最大值為，則邊的長(zhǎng)為_(kāi)___________．16．已知，為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為_(kāi)_______________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知等差數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an；（2）設(shè)bn＝an?3n，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.18．（12分）如圖（1）五邊形中，,將沿折到的位置，得到四棱錐，如圖（2），點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，且平面.（1）求證：平面平面；（2）若直線(xiàn)與所成角的正切值為，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.19．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（異于左右頂點(diǎn)），面積的最大值為．（1）求橢圓的方程；（2）若直線(xiàn)與橢圓相交于點(diǎn)兩點(diǎn)，問(wèn)軸上是否存在點(diǎn)，使得是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．20．（12分）對(duì)于正整數(shù)，如果個(gè)整數(shù)滿(mǎn)足，且，則稱(chēng)數(shù)組為的一個(gè)“正整數(shù)分拆”.記均為偶數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個(gè)數(shù)為均為奇數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個(gè)數(shù)為.(Ⅰ)寫(xiě)出整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆”;(Ⅱ)對(duì)于給定的整數(shù)，設(shè)是的一個(gè)“正整數(shù)分拆”，且，求的最大值;(Ⅲ)對(duì)所有的正整數(shù)，證明:;并求出使得等號(hào)成立的的值.(注:對(duì)于的兩個(gè)“正整數(shù)分拆”與，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，稱(chēng)這兩個(gè)“正整數(shù)分拆”是相同的.)21．（12分）設(shè)橢圓，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線(xiàn)直線(xiàn)，且直線(xiàn)分別與橢圓相交于兩點(diǎn)和兩點(diǎn).(Ⅰ)若分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，且直線(xiàn)軸，求四邊形的面積;(Ⅱ)若直線(xiàn)的斜率存在且不為0，四邊形為平行四邊形，求證:;(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下，判斷四邊形能否為矩形，說(shuō)明理由.22．（10分）已知，如圖，曲線(xiàn)由曲線(xiàn)：和曲線(xiàn)：組成，其中點(diǎn)為曲線(xiàn)所在圓錐曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，點(diǎn)為曲線(xiàn)所在圓錐曲線(xiàn)的焦點(diǎn).（Ⅰ）若，求曲線(xiàn)的方程；（Ⅱ）如圖，作直線(xiàn)平行于曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)，交曲線(xiàn)于點(diǎn)，求證：弦的中點(diǎn)必在曲線(xiàn)的另一條漸近線(xiàn)上；（Ⅲ）對(duì)于（Ⅰ）中的曲線(xiàn)，若直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)交曲線(xiàn)于點(diǎn)，求面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

做出滿(mǎn)足條件的可行域，根據(jù)圖形即可求解.【詳解】做出滿(mǎn)足的可行域，如下圖陰影部分，根據(jù)圖象，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最小值，由，解得，即，所以的最小值為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查二元一次不等式組表示平面區(qū)域，利用數(shù)形結(jié)合求線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

分別以AB，AD，AP所在直線(xiàn)為x軸，y軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,再利用向量法求異面直線(xiàn)EF與BD所成角的余弦值.【詳解】由題可知，分別以AB，AD，AP所在直線(xiàn)為x軸，y軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè).則.故異面直線(xiàn)EF與BD所成角的余弦值為.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查空間向量和異面直線(xiàn)所成的角的向量求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.3、A【解析】

先求出的解析式，再求出的解析式，根據(jù)三角函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性可求實(shí)數(shù)滿(mǎn)足的等式，從而可求其最小值.【詳解】的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為，故.令，，解得，.因?yàn)闉榕己瘮?shù)，故直線(xiàn)為其圖象的對(duì)稱(chēng)軸，令，，故，，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象變換以及三角函數(shù)的圖象性質(zhì)，注意平移變換是對(duì)自變量做加減，比如把的圖象向右平移1個(gè)單位后，得到的圖象對(duì)應(yīng)的解析式為，另外，如果為正弦型函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸，則有，本題屬于中檔題．4、A【解析】

直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，求得的坐標(biāo)得出答案.【詳解】解：，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．5、B【解析】

根據(jù)圖象分析變化過(guò)程中在關(guān)鍵位置及部分區(qū)域，即可排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，得到函數(shù)圖象，即可求解.【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，P與A重合，則與B重合，所以,故排除C,D選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，由圖象可知選B.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，正確表示函數(shù)的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.6、A【解析】

解一元二次不等式化簡(jiǎn)集合的表示，求解函數(shù)的定義域化簡(jiǎn)集合的表示，根據(jù)可以得到集合、之間的關(guān)系，結(jié)合數(shù)軸進(jìn)行求解即可.【詳解】，.因?yàn)?，所以有，因此?故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了已知集合運(yùn)算的結(jié)果求參數(shù)取值范圍問(wèn)題，考查了解一元二次不等式，考查了函數(shù)的定義域，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.7、C【解析】

以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法求出直線(xiàn)EF與平面AA1D1D所成角的正弦值．【詳解】以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，則，，，取平面的法向量為，設(shè)直線(xiàn)EF與平面AA1D1D所成角為θ，則sinθ＝|，直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了線(xiàn)面角的正弦值的求法，也考查數(shù)形結(jié)合思想和向量法的應(yīng)用，屬于中檔題．8、D【解析】

取中點(diǎn)，過(guò)作面，可得為等腰直角三角形，由，可得，當(dāng)時(shí)，最小，由，故，即可求解.【詳解】取中點(diǎn)，過(guò)作面，如圖：則，故，而對(duì)固定的點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，最?。藭r(shí)由面，可知為等腰直角三角形，，故.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體中的線(xiàn)面垂直、考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題.9、C【解析】

根據(jù)已知條件判斷出數(shù)列是等比數(shù)列，求得其通項(xiàng)公式，由此求得.【詳解】由于，所以數(shù)列是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為，第二項(xiàng)為，所以公比為.所以，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列的證明，考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

根據(jù)程序框圖的模擬過(guò)程，寫(xiě)出每執(zhí)行一次的運(yùn)行結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題.【詳解】初始值，第一次循環(huán)：，；第二次循環(huán)：，；第三次循環(huán)：，；第四次循環(huán)：，；第五次循環(huán)：，；第六次循環(huán)：，；第七次循環(huán)：，；第九次循環(huán)：，；第十次循環(huán)：，；所以輸出.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的讀取以及運(yùn)行結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】

畫(huà)出幾何體的圖形，然后轉(zhuǎn)化判斷四個(gè)命題的真假即可．【詳解】如圖；連接相關(guān)點(diǎn)的線(xiàn)段，為的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，可知，，可知平面，即可證明，所以①正確；直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角就是直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角為；正確；過(guò)，，三點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面為五邊形；如圖：是五邊形．所以③不正確；如圖：三棱錐的體積為：由條件易知F是GM中點(diǎn)，所以,而，．所以三棱錐的體積為，④正確；故選：．【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用，涉及空間幾何體的體積，直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系的應(yīng)用，平面的基本性質(zhì)，是中檔題．12、B【解析】

根據(jù)程序框圖中程序的功能，可以列方程計(jì)算．【詳解】由題意，．故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖，讀懂程序的功能是解題關(guān)鍵．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由已知數(shù)列遞推式可得數(shù)列的所有奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列，求其通項(xiàng)公式，得到，再由求解．【詳解】解：由，得，，則數(shù)列的所有奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列．，．．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，訓(xùn)練了數(shù)列的分組求和，屬于中檔題．14、【解析】

建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，可得，進(jìn)而可得出，，由此將轉(zhuǎn)化為以為自變量的三角函數(shù)，利用三角恒等變換思想以及正弦函數(shù)的有界性可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)，，以、為鄰邊作平行四邊形，則，設(shè)，則，，且，在中，由正弦定理，得，即，在中，由正弦定理，得，即.，，則，當(dāng)時(shí)，取最大值.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積最值的計(jì)算，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)的最值問(wèn)題是解答的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于難題．15、【解析】

設(shè)，以為原點(diǎn)，為軸建系，則，，設(shè)，，，利用求向量模的公式，可得，根據(jù)三角形面積公式進(jìn)一步求出的值即為所求.【詳解】解：設(shè)，以為原點(diǎn)，為軸建系，則，，設(shè)，，則，即，由，可得.則.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查向量模的計(jì)算，建系是關(guān)鍵，屬于難題.16、【解析】

由，為正實(shí)數(shù)，且，可知，于是，可得，再利用基本不等式即可得出結(jié)果.【詳解】解：，為正實(shí)數(shù)，且，可知，，.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的性質(zhì)應(yīng)用，恰當(dāng)變形是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）.（2）【解析】

（1）先設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d（d＞0），然后根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及已知條件可列出關(guān)于d的方程，解出d的值，即可得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)an；（2）先根據(jù)第（1）題的結(jié)果計(jì)算出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，然后運(yùn)用錯(cuò)位相減法計(jì)算前n項(xiàng)和Tn.【詳解】（1）由題意，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d（d＞0），則a4a5＝（1+3d）（1+4d）＝11，整理，得12d2+7d﹣10＝0，解得d（舍去），或d，∴an＝1（n﹣1），n∈N*.（2）由（1）知，bn＝an?3n?3n＝（2n+1）?3n﹣1，∴Tn＝b1+b2+b3+…+bn＝3×1+5×31+7×32+…+（2n+1）?3n﹣1，∴3Tn＝3×31+5×32+…+（2n﹣1）?3n﹣1+（2n+1）?3n，兩式相減，可得：﹣2Tn＝3×1+2×31+2×32+…+2?3n﹣1﹣（2n+1）?3n＝3+2×（31+32+…+3n﹣1）﹣（2n+1）?3n＝3+2（2n+1）?3n＝﹣2n?3n，∴Tn＝n?3n.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算，以及運(yùn)用錯(cuò)位相減法計(jì)算前n項(xiàng)和.考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想，方程思想，錯(cuò)位相減法的運(yùn)用，以及邏輯思維能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.屬于中檔題.18、（1）見(jiàn)解析（2）【解析】試題分析:（1）根據(jù)已知條件由線(xiàn)線(xiàn)垂直得出線(xiàn)面垂直,再根據(jù)面面垂直的判定定理證得成立;（2）通過(guò)已知條件求出各邊長(zhǎng)度,建系如圖所示,求出平面的法向量,根據(jù)線(xiàn)面角公式代入坐標(biāo)求得結(jié)果.試題解析:（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，則，又，所以，則四邊形為平行四邊形，所以，又平面，∴平面，∴.由即及為的中點(diǎn)，可得為等邊三角形，∴，又，∴，∴，∴平面平面，∴平面平面.（2）解：，∴為直線(xiàn)與所成的角，由（1）可得，∴，∴，設(shè)，則，取的中點(diǎn)，連接，過(guò)作的平行線(xiàn)，可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，∴，所以，設(shè)為平面的法向量，則，即，取，則為平面的一個(gè)法向量，∵，則直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.點(diǎn)睛:判定直線(xiàn)和平面垂直的方法:①定義法．②利用判定定理：一條直線(xiàn)和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，則該直線(xiàn)和此平面垂直．③推論：如果在兩條平行直線(xiàn)中，有一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條直線(xiàn)也垂直于這個(gè)平面．平面與平面垂直的判定方法:①定義法．②利用判定定理：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線(xiàn)，則這兩個(gè)平面垂直．19、（1）；（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）由面積最大值可得，又，以及，解得，即可得到橢圓的方程，（2）假設(shè)軸上存在點(diǎn)，是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，設(shè)，，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，根據(jù)韋達(dá)定理求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)，，即可求出的值，可得點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）面積的最大值為，則：又，，解得：，橢圓的方程為：（2）假設(shè)軸上存在點(diǎn)，是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形設(shè)，，線(xiàn)段的中點(diǎn)為由，消去可得：，解得：∴，，依題意有，由可得：，可得：由可得：，代入上式化簡(jiǎn)可得：則：，解得：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)滿(mǎn)足題意故軸上存在點(diǎn)，使得是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的方程，直線(xiàn)和橢圓的位置關(guān)系，斜率公式，考查了運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.20、(Ⅰ)，，，，；(Ⅱ)為偶數(shù)時(shí)，，為奇數(shù)時(shí)，；(Ⅲ)證明見(jiàn)解析，，【解析】

(Ⅰ)根據(jù)題意直接寫(xiě)出答案.(Ⅱ)討論當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，最大為，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，最大為，得到答案.(Ⅲ)討論當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，至少存在一個(gè)全為1的拆分，故，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系得到，再計(jì)算，，得到答案.【詳解】(Ⅰ)整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆”為：，，，，.(Ⅱ)當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，時(shí)，最大為；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，時(shí)，最大為；綜上所述：為偶數(shù)，最大為，為奇數(shù)時(shí)，最大為.(Ⅲ)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，至少存在一個(gè)全為1的拆分，故；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)是每個(gè)數(shù)均為偶數(shù)的“正整數(shù)分拆”，則它至少對(duì)應(yīng)了和的均為奇數(shù)的“正整數(shù)分拆”，故.綜上所述：.當(dāng)時(shí)，偶數(shù)“正整數(shù)分拆”為，奇數(shù)“正整數(shù)分拆”為，；當(dāng)時(shí)，偶數(shù)“正整數(shù)分拆”為，，奇數(shù)“正整數(shù)分拆”為，故；當(dāng)時(shí)，對(duì)于偶數(shù)“正整數(shù)分拆”，除了各項(xiàng)不全為的奇數(shù)拆分外，至少多出一項(xiàng)各項(xiàng)均為的“正整數(shù)分拆”，故.綜上所述：使