2024屆上海市松江區(qū)統(tǒng)考高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

2024屆上海市松江區(qū)統(tǒng)考高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．命題“?x∈[1，2]，x2－a≤0”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（）A.a≥4 B.a≤4C.a≥5 D.a≤52．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是A. B.C. D.3．對(duì)于兩個(gè)平面、，“內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到的距離相等”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4．瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上．后人稱這條直線為歐拉線．已知△ABC的頂點(diǎn)，其歐拉線方程為，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）A.（） B.（）C.（） D.（）5．方程有兩個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）A. B.C. D.6．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，則直線和夾角余弦值為（）A. B.C. D.7．“”是“直線與直線垂直”的A.充分必要條件 B.充分非必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件8．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A. B.C. D.9．已知，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A.若，分別是直線，的方向向量，則直線，所成的角的余弦值是B.若，分別是直線l的方向向量與平面的法向量，則直線l與平面所成的角的正弦值是C.若，分別是平面，的法向量，則平面，所成的角的余弦值是D.若，分別是直線l的方向向量與平面的法向量，則直線l與平面所成的角的正弦值是10．中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還．”其意思為：有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請(qǐng)問第二天走了（）A.192

里 B.96

里C.48

里 D.24

里11．“楊輝三角”是中國古代重要的數(shù)學(xué)成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，記為圖中虛線上的數(shù)1，3，6，10，…構(gòu)成的數(shù)列的第n項(xiàng)，則的值為（）A.1225 B.1275C.1326 D.136212．某超市收銀臺(tái)排隊(duì)等候付款的人數(shù)及其相應(yīng)概率如下：排隊(duì)人數(shù)01234概率0.10.16030.30.10.04則至少有兩人排隊(duì)的概率為（）A.0.16 B.0.26C.0.56 D.0.74二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知某地區(qū)內(nèi)貓的壽命超過10歲的概率為0.9，超過12歲的概率為0.6，那么該地區(qū)內(nèi)，一只壽命超過10歲的貓的壽命超過12歲的概率為___________.14．已知為數(shù)列{}前n項(xiàng)和，若，且），則＝___15．設(shè)，復(fù)數(shù)，，若是純虛數(shù)，則的虛部為_________.16．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間；三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線C：，過點(diǎn)且斜率為k的直線與拋物線C相交于P，Q兩點(diǎn).（1）設(shè)點(diǎn)B在x軸上，分別記直線PB，QB的斜率為.若，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）過拋物線C的焦點(diǎn)F作直線PQ的平行線與拋物線C相交于M，N兩點(diǎn)，求的值.18．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在拋物線上.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線交拋物錢C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，記直線OA，OB的斜率分別，，求證：為定值.19．（12分）已知函數(shù)，從下列兩個(gè)條件中選擇一個(gè)使得數(shù)列{an}成等比數(shù)列.條件1：數(shù)列{f（an）}是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列；條件2：數(shù)列{f（an）}是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.20．（12分）如圖所示，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，左、右頂點(diǎn)分別為、，為橢圓上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，已知橢圓的離心率為，△的周長(zhǎng)為8（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為①當(dāng)，，成等差數(shù)列時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；②若直線、分別與直線交于點(diǎn)、，以為直徑的圓是否經(jīng)過某定點(diǎn)？若經(jīng)過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由21．（12分）某企業(yè)為了解下屬某部門對(duì)本企業(yè)職工的服務(wù)情況，隨機(jī)訪問50名職工，根據(jù)這50名職工對(duì)該部門的評(píng)分，繪制頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）估計(jì)該企業(yè)的職工對(duì)該部門評(píng)分不低于80的概率；（3）從評(píng)分在的受訪職工中，隨機(jī)抽取2人，求此2人評(píng)分都在的概率.22．（10分）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】先要找出命題為真命題的充要條件，從集合的角度充分不必要條件應(yīng)為的真子集，由選擇項(xiàng)不難得出答案【詳解】命題“?x∈[1，2]，x2－a≤0”為真命題，可化為?x∈[1，2]，恒成立即只需，即命題“?x∈[1，2]，x2－a≤0”為真命題的的充要條件為，而要找的一個(gè)充分不必要條件即為集合的真子集，由選擇項(xiàng)可知C符合題意.故選：C2、B【解析】因,故其共軛復(fù)數(shù).應(yīng)選B.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算.3、B【解析】根據(jù)平面的性質(zhì)分別判斷充分性和必要性.【詳解】充分性：若內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到的距離相等，當(dāng)這三個(gè)點(diǎn)不在一條直線上時(shí)，可得；當(dāng)這三個(gè)點(diǎn)在一條直線上時(shí)，則、平行或相交，故充分性不成立；必要性：若，則內(nèi)每個(gè)點(diǎn)到的距離相等，故必要性成立，所以“內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到的距離相等”是“”的必要不充分條件.故選：B.4、A【解析】根據(jù)題意，求得的外心，再根據(jù)外心的性質(zhì)，以及重心的坐標(biāo)，聯(lián)立方程組，即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，故的斜率，又的中點(diǎn)坐標(biāo)為，故的垂直平分線的方程為，即，故△的外心坐標(biāo)即為與的交點(diǎn)，即，不妨設(shè)點(diǎn)，則，即；又△的重心的坐標(biāo)為，其滿足，即，也即，將其代入，可得，，解得或，對(duì)應(yīng)或，即或，因?yàn)榕c點(diǎn)重合，故舍去.故點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：A.5、C【解析】轉(zhuǎn)化為圓心在原點(diǎn)半徑為1的上半圓和表示恒過定點(diǎn)的直線始終有兩個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合圖形可得答案.【詳解】令，平方得表示圓心在原點(diǎn)半徑為1的上半圓，表示恒過定點(diǎn)的直線，方程有兩個(gè)不同的解即半圓和直線要始終有兩個(gè)公共點(diǎn)，如圖圓心到直線的距離為，解得，當(dāng)直線經(jīng)過時(shí)由得，當(dāng)直線經(jīng)過時(shí)由得，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為.故選：C.6、D【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出的坐標(biāo)，由空間向量夾角公式即可求解.【詳解】如圖：以為原點(diǎn)，分別以，，所在的直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，所以，所以直線和夾角的余弦值為，故選：D.7、B【解析】先由兩直線垂直求出的值，再由充分條件與必要條件的概念，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€與直線垂直，則，即，解得或；因此由“”能推出“直線與直線垂直”，反之不能推出，所以“”是“直線與直線垂直”的充分非必要條件.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查命題充分不必要條件的判定，熟記充分條件與必要條件的概念，以及兩直線垂直的判定條件即可，屬于常考題型.8、C【解析】利用，把代入中，即可求出答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.故選：C.9、D【解析】利用空間角的意義結(jié)合空間向量求空間角的方法逐一分析各選項(xiàng)即可判斷作答.【詳解】對(duì)于A，因分別是直線的方向向量，且，直線所成的角為，則，A正確；對(duì)于B，D，因分別是直線l的方向向量與平面的法向量，且，直線l與平面所成的角為，則有，B正確，D錯(cuò)誤；對(duì)于C，因分別是平面的法向量，且，平面所成的角為，則不大于，，C正確.故選：D10、B【解析】由題可得此人每天走的步數(shù)等比數(shù)列，根據(jù)求和公式求出首項(xiàng)可得.【詳解】由題意可知此人每天走的步數(shù)構(gòu)成為公比的等比數(shù)列，由題意和等比數(shù)列的求和公式可得，解得，第此人第二天走里.故選：B11、B【解析】觀察前4項(xiàng)可得，從而可求得結(jié)果【詳解】由題意可得，……，觀察規(guī)律可得，所以，故選：B12、D【解析】利用互斥事件概率計(jì)算公式直接求解【詳解】由某超市收銀臺(tái)排隊(duì)等候付款的人數(shù)及其相應(yīng)概率表，得：至少有兩人排隊(duì)的概率為：故選：D【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法、互斥事件概率計(jì)算公式，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)條件概率公式求解即可.【詳解】設(shè)事件A：貓的壽命超過10歲，事件B：貓的壽命超過12歲.依題意有，，則一只壽命超過10歲貓的壽命超過12歲的概率.故答案為：14、2【解析】第一步找出數(shù)列周期，第二步利用周期性求和.【詳解】,,,，，，可知數(shù)列{}是周期為4的周期數(shù)列，所以故答案為:2.15、【解析】由復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則求出，又是純虛數(shù)，可求出，從而根據(jù)共軛復(fù)數(shù)及虛部的定義即可求解.【詳解】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)，，所以，又是純虛數(shù)，所以，所以，所以所以的虛部為，故答案：.16、（1）（2）詳見解析【解析】（1）分別求得和，從而得到切線方程；（2）求導(dǎo)后，令求得兩根，分別在、和三種情況下根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1），，，，又，在處的切線方程為.（2），令，解得：，.①當(dāng)時(shí)，若和時(shí)，；若時(shí)，；的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為；②當(dāng)時(shí)，在上恒成立，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；③當(dāng)時(shí)，若和時(shí)，；若時(shí)，；的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為；綜上所述：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解曲線在某一點(diǎn)處的切線方程、利用導(dǎo)數(shù)討論含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的問題，屬于?？碱}型.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）直線的方程為，其中，聯(lián)立直線與拋物線方程，由韋達(dá)定理結(jié)合已知條件可求得點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）直線的方程為，利用傾斜角定義知，，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用弦長(zhǎng)公式求得，進(jìn)而得解.小問1詳解】由題意，直線的方程為，其中.設(shè)，聯(lián)立，消去得..，，即.，即.，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.【小問2詳解】由題意，直線的方程為，其中，為傾斜角，則，設(shè).聯(lián)立，消去得...18、（1）（2）證明見解析【解析】（1）將點(diǎn)代入拋物線方程即可求解；（2）當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為，，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理即可求出的值;當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，由過點(diǎn)即可求出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo),即可求出的值.【小問1詳解】將點(diǎn)代入得，，∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為，，將聯(lián)立得，，由韋達(dá)定理得：，，，當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，由直線過點(diǎn),則，，，，綜上所述可知，為定值為.19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)所給的條件分別計(jì)算后即可判斷，再通過滿足題意的求出通項(xiàng)；（2）由（1）可得，再通過錯(cuò)位相減法求和即可.【小問1詳解】若選擇條件1，則有，可得，不滿足題意；若選擇條件2，則有，可得，滿足題意，故.【小問2詳解】由（1）可得，所以………①因此有……….②①②可得，即，化簡(jiǎn)得.20、（1）；（2）①或；②過定點(diǎn)、，理由見解析.【解析】（1）由焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)、離心率求橢圓參數(shù)，即可得橢圓方程.（2）①由（1）可得，結(jié)合橢圓的定義求，即可確定的坐標(biāo)；②由題設(shè)，求直線、的方程，進(jìn)而求、坐標(biāo)，即可得為直徑的圓的方程，令求橫坐標(biāo)，即可得定點(diǎn).【小問1詳解】由題設(shè)，易知：，可得，則，∴橢圓.【小問2詳解】①由（1）知：，令，則，∴，解得，故，此時(shí)或②由（1），，，∴可令直線：，直線：，∴將代入直線可得：，，則圓心且半徑為，∴為直徑的圓為，當(dāng)時(shí)，，又，∴，可得或.∴為直徑的圓過定點(diǎn)、.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，應(yīng)用點(diǎn)斜式寫出直線、的方程，再求、坐標(biāo)，根據(jù)定義求為直徑的圓的方程，最后令及在橢圓上求定點(diǎn).21、（1）0.006；（2）；（3）.【解析】（1）在頻率分布直方圖中，由頻率總和即所有矩形面積之和為，可求；（2）在頻率分布直方圖中先求出50名受訪職工評(píng)分不低于80的頻率為，由頻率與概率關(guān)系可得該部門評(píng)分不低于80的概率的估計(jì)值為；（3）受訪職工評(píng)分在[50，60)的有3人，記為，受訪職工評(píng)分在[40，50)的有2人，記為，列出從這5人中選出兩人所有基本事件，即可求相應(yīng)的概率.【詳解】（1）因?yàn)椋裕?）由所給頻率分布直方圖知，50名受訪職工評(píng)分不低于80的頻率為，所以該企業(yè)職工對(duì)該部門評(píng)分不低于80的概率的估計(jì)值為（3）受訪職工評(píng)分在[50，60)的有：50×0.006×10=3(人)，即為；受訪職工評(píng)分在[40，50)的有：50×0.004×10=2(人)，即為.從這5名受訪職工中隨機(jī)抽取2人，所有可能的結(jié)果共有10種，它們是又