2024屆四川省廣元市四川師范大學(xué)附屬萬(wàn)達(dá)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

2024屆四川省廣元市四川師范大學(xué)附屬萬(wàn)達(dá)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線(xiàn)條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在平行六面體中，，，，則（）A. B.5C. D.32．若，，則下列各式中正確的是（）A. B.C. D.3．若，則與的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.不能確定4．若雙曲線(xiàn)與橢圓有公共焦點(diǎn)，且離心率，則雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.5．“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充分必要條件 D.既不充分也不必要條件6．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A.20 B.30C.40 D.507．已知等差數(shù)列的公差，若，，則該數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值為（）A.30 B.35C.40 D.458．已知雙曲線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，則能使點(diǎn)P為線(xiàn)段AB中點(diǎn)的直線(xiàn)l的條數(shù)為()A.0 B.1C.2 D.39．直線(xiàn)的斜率是方程的兩根，則與的位置關(guān)系是（）A.平行 B.重合C.相交但不垂直 D.垂直10．直線(xiàn)分別與曲線(xiàn)，交于，兩點(diǎn)，則的最小值為（）A. B.1C. D.211．在中，角所對(duì)的邊分別為，，，則外接圓的面積是（）A. B.C. D.12．已知數(shù)列中，前項(xiàng)和為，且點(diǎn)在直線(xiàn)上，則=A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)處取極值，則___________14．橢圓上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和等于，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_____.15．已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)坐標(biāo)是，則該拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)__________16．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，則的公比為_(kāi)__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知兩動(dòng)圓：和：，把它們的公共點(diǎn)的軌跡記為曲線(xiàn)，若曲線(xiàn)與軸的正半軸的交點(diǎn)為，取曲線(xiàn)上的相異兩點(diǎn)、滿(mǎn)足：且點(diǎn)與點(diǎn)均不重合.（1）求曲線(xiàn)的方程；（2）證明直線(xiàn)恒經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)的坐標(biāo)；18．（12分）已知橢圓：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）的右頂點(diǎn)為，過(guò)右焦點(diǎn)的直線(xiàn)與交于不同的兩點(diǎn)，，求面積的最大值.19．（12分）已知函數(shù)（1）求關(guān)于x的不等式的解集；（2）若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍20．（12分）在中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，滿(mǎn)足.（1）求A；（2）若，求面積的最大值.21．（12分）三棱錐各棱長(zhǎng)為2，E為AC邊上中點(diǎn)（1）證明：面BDE；（2）求二面角的正弦值22．（10分）已知公差不為的等差數(shù)列的首項(xiàng)，且、、成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，求使成立的最大的正整數(shù).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】由，則結(jié)合已知條件及模長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】解：，所以，所以，故選：B.2、D【解析】根據(jù)題意，結(jié)合，，利用不等式的性質(zhì)可判斷，從而判斷，再利用不等式性質(zhì)得出正確答案.【詳解】，，，又，，兩邊同乘以負(fù)數(shù)，可知故選：D3、B【解析】由題知，進(jìn)而研究的符號(hào)即可得答案.詳解】解：，所以，即.故選：B4、A【解析】首先求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)可得雙曲線(xiàn)方程中的的值，然后可得答案.【詳解】橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)為所以雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在軸上，，因?yàn)?，所以，所以雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為故選：A5、A【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義直接判斷即可.【詳解】若，則，即或，推不出；反過(guò)來(lái)，若，可推出.故“”是“”的充分不必要條件故選：A.6、B【解析】根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以成等比數(shù)列，即成等比數(shù)列，顯然，故選：B7、D【解析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出公差以及首項(xiàng)，再由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】等差數(shù)列，由，有，又，公差，所以，，得，，，∴當(dāng)或10時(shí)，最大，，故選：D8、A【解析】先假設(shè)存在這樣的直線(xiàn)，分斜率存在和斜率不存在設(shè)出直線(xiàn)的方程，當(dāng)斜率k存在時(shí)，與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立，消去，得到關(guān)于的一元二次方程，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交于兩個(gè)不同點(diǎn)，則，，又根據(jù)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，則，由此求出與矛盾，故不存在這樣的直線(xiàn)滿(mǎn)足題意；當(dāng)斜率不存在時(shí)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)不滿(mǎn)足條件，故符合條件的直線(xiàn)不存在.詳解】設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)方程為或，①當(dāng)斜率存在時(shí)有，得(*)當(dāng)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交于兩個(gè)不同點(diǎn)，則必有：，即又方程(*)的兩個(gè)不同的根是兩交點(diǎn)、的橫坐標(biāo)，又為線(xiàn)段的中點(diǎn)，，即，，使但使，因此當(dāng)時(shí)，方程①無(wú)實(shí)數(shù)解故過(guò)點(diǎn)與雙曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)、且為線(xiàn)段中點(diǎn)的直線(xiàn)不存在②當(dāng)時(shí)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)不滿(mǎn)足條件.綜上，符合條件的直線(xiàn)不存在故選：A9、C【解析】由韋達(dá)定理可得方程的兩根之積為，從而可知直線(xiàn)、的斜率之積為，進(jìn)而可判斷兩直線(xiàn)的位置關(guān)系【詳解】設(shè)方程的兩根為、，則直線(xiàn)、的斜率，故與相交但不垂直故選：C10、B【解析】設(shè)，，，，得到，用導(dǎo)數(shù)法求解.【詳解】解：設(shè)，，，，則，，，令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，時(shí)，函數(shù)的最小值為1，故選：B11、B【解析】利用余弦定理可得，然后利用正弦定理可得，即求.【詳解】因?yàn)?，所以，由余弦定理得，，所以，設(shè)外接圓的半徑為，由正統(tǒng)定理得，，所以，所以外接圓的面積是.故選：B.12、C【解析】點(diǎn)在一次函數(shù)上的圖象上，，數(shù)列為等差數(shù)列，其中首項(xiàng)為，公差為，，數(shù)列的前項(xiàng)和，，故選C考點(diǎn)：1、等差數(shù)列；2、數(shù)列求和二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】=．因?yàn)閒（x）在1處取極值，所以1是f′（x）=0的根，將x=1代入得a=3．故答案為3.考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值14、【解析】根據(jù)橢圓定義求出其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，再結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)即可計(jì)算作答.【詳解】因橢圓上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和等于，則該橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，而半焦距，于是得短半軸長(zhǎng)b，有，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：15、【解析】根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)即可得到拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程【詳解】因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)坐標(biāo)是，所以，解得，拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為故答案為：16、3【解析】由題設(shè)知等比數(shù)列公比，根據(jù)已知條件及等比數(shù)列通項(xiàng)公式列方程求公比即可.【詳解】由題設(shè)，等比數(shù)列公比，且，所以，可得或（舍），故公比為3.故答案為：3三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見(jiàn)解析，.【解析】（1）設(shè)兩動(dòng)圓的公共點(diǎn)為，則有，運(yùn)用橢圓的定義，即可得到，，，進(jìn)而得到的軌跡方程；（2），設(shè)，，，，設(shè)出直線(xiàn)方程，聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理法及向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，即可得到定點(diǎn).【小問(wèn)1詳解】設(shè)兩動(dòng)圓的公共點(diǎn)為，則有由橢圓的定義可知的軌跡為橢圓，設(shè)方程為，則，，所以曲線(xiàn)的方程是：【小問(wèn)2詳解】由題意可知：，且直線(xiàn)斜率存在，設(shè)，，設(shè)直線(xiàn)：，聯(lián)立方程組，可得，，，因?yàn)椋杂?，把代入整理化?jiǎn)得，或舍，因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)均不重合，所以直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)18、（1）；（2）【解析】（1）利用已知條件，結(jié)合橢圓方程求出，即可得到橢圓方程（2）設(shè)出直線(xiàn)方程，聯(lián)立橢圓與直線(xiàn)方程，利用韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式，列出三角形的面積，再利用基本不等式轉(zhuǎn)化求解即可【詳解】（1）解：由題意解得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）點(diǎn)，右焦點(diǎn)，由題意知直線(xiàn)的斜率不為0，故設(shè)的方程為，，，聯(lián)立方程得消去，整理得，∴，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)：，所以面積的最大值為【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的性質(zhì)和方程的求法，考查聯(lián)立直線(xiàn)方程和橢圓方程消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)整理和運(yùn)算能力，屬于中檔題19、（1）答案見(jiàn)解析（2）【解析】（1）求出對(duì)應(yīng)方程的根，再根據(jù)根的大小進(jìn)行討論，即可得解；（2）對(duì)任意的，恒成立，即恒成立，結(jié)合基本不等式求出的最小值即可得解.【小問(wèn)1詳解】解：由已知易得即為：，令可得與，所以，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；【小問(wèn)2詳解】解：由可得，由，得，所以可得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，所以的取值范圍是.20、（1）（2）【解析】（1）由正弦定理得，再由范圍可得答案；（2）由余弦定理和基本不等式可得，再由面積公式可得答案.【小問(wèn)1詳解】∵，由正弦定理得，又，所以，又，則；【小問(wèn)2詳解】由余弦定理得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，取“=”，所以面積的最大值為21、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】(1)根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理即可證明；(2)建立如圖所示坐標(biāo)系，則，易知平面BCD的法向量，利用空間向量法求出面BDE的法向量，結(jié)合向量的數(shù)量積計(jì)算即可得出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】正四面體中各面分別是正三角形，E為AC邊上中點(diǎn)，，又平面，且，所以面BDE【小問(wèn)2詳解】建立如圖所示坐標(biāo)系，于是，，，，，易知平面BCD