2024屆四川省內(nèi)江鐵路中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研模擬試題含解析

2024屆四川省內(nèi)江鐵路中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞增B.函數(shù)的遞減區(qū)間為C.函數(shù)在處取得極大值D.函數(shù)在處取得極小值2．已知函數(shù)，則下列判斷正確的是（）A.直線與曲線相切B.函數(shù)只有極大值，無極小值C.若與互為相反數(shù)，則的極值與的極值互為相反數(shù)D.若與互為倒數(shù)，則的極值與的極值互為倒數(shù)3．已知二次函數(shù)交軸于，兩點，交軸于點.若圓過，，三點，則圓的方程是（）A. B.C. D.4．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，則與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.5．若數(shù)列{an}滿足……，則稱數(shù)列{an}為“半差遞增”數(shù)列.已知“半差遞增”數(shù)列{cn}的前n項和Sn滿足，則實數(shù)t的取值范圍是（）A. B.（-∞，1）C. D.（1，+∞）6．已知M、N為橢圓上關(guān)于短軸對稱的兩點,A、B分別為橢圓的上下頂點,設(shè)、分別為直線的斜率,則的最小值為()A. B.C. D.7．已知函數(shù)有兩個極值點m，n，且，則的最大值為（）A. B.C. D.8．若方程表示焦點在y軸上的雙曲線，則k的取值范圍是（）A. B.C. D.9．若將一個橢圓繞其中心旋轉(zhuǎn)90°，所得橢圓短軸兩頂點恰好是旋轉(zhuǎn)前橢圓的兩焦點，這樣的橢圓稱為“對偶橢圓”，下列橢圓中是“對偶橢圓”的是（）A. B.C. D.10．1202年，意大利數(shù)學(xué)家斐波那契出版了他的《算盤全書》．他在書中收錄了一些有意思的問題，其中有一個關(guān)于兔子繁殖的問題：如果1對兔子每月生1對小兔子（一雌一雄），而每1對小兔子出生后的第3個月里，又能生1對小兔子，假定在不發(fā)生死亡的情況下，如果用Fn表示第n個月的兔子的總對數(shù)，則有(n＞2)，．設(shè)數(shù)列{an}滿足：an＝，則數(shù)列{an}的前36項和為（）A.11 B.12C.13 D.1811．下列結(jié)論中正確的有（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則12．如圖，O是坐標(biāo)原點，P是雙曲線右支上的一點，F(xiàn)是E的右焦點，延長PO，PF分別交E于Q，R兩點，已知QF⊥FR，且，則E的離心率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，已知與所在平面垂直，且，，，點P、Q分別在線段BD、CD上，沿直線PQ將向上翻折，使D與A重合．則直線AP與平面ACQ所成角的正弦值為______14．下列命題：①若，則；②“在中，若，則”逆命題是真命題；③命題“，”的否定是“，”；④“若，則”的否命題為“若，則”.則其中正確的是______.15．已知函數(shù)，若存在唯一零點，則的取值范圍是__________.16．用一個平面去截半徑為5cm的球，截面面積是則球心到截面的距離為_______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線：的焦點為，點在上，點在的內(nèi)側(cè)，且的最小值為.（1）求的方程；（2）為坐標(biāo)原點，點A在y軸正半軸上，點B，C為E上兩個不同的點，其中B點在第四象限，且AB，互相垂直平分，求四邊形AOBC的面積.18．（12分）已知橢圓與直線相切，點G為橢圓上任意一點，，，且的最大值為3（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與橢圓C交于不同兩點E，F(xiàn)，點O為坐標(biāo)原點，且，當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時，求的取值范圍19．（12分）已知數(shù)列的前n項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前n項和.20．（12分）設(shè)數(shù)列的前項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，數(shù)列的前項和為，求不等式的解集.21．（12分）已知梯形如圖甲所示，其中，，，四邊形是邊長為1正方形，沿將四邊形折起，使得平面平面，得到如圖乙所示的幾何體（1）求證：平面；（2）若點在線段上，且與平面所成角的正弦值為，求線段的長度.22．（10分）已知集合，．若，且“”是“”的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系及極值的定義結(jié)合圖像即可得出答案.【詳解】解：根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象可得，當(dāng)時，，故函數(shù)在和上遞減，當(dāng)時，，故函數(shù)在和上遞增，所以函數(shù)在和處取得極小值，在處取得極大值，故ABD錯誤，C正確.故選：C.2、C【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，通過在某點處的導(dǎo)數(shù)為該點處切線的斜率，求出切線方程，并且判斷出極值，通過結(jié)合與互為相反數(shù)，若與互為倒數(shù)，分別判斷的極值與的極值是否互為相反數(shù)，以及是否互為倒數(shù).【詳解】，，令，得，所以，因為，，所以曲線在點處的切線方程為，故A錯；當(dāng)時，存在使，且當(dāng)時，；當(dāng)時，，即有極小值，無極大值，故B錯誤；設(shè)為的極值點，則，且，所以，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，故C正確，D錯誤.3、C【解析】由已知求得點A、B、C的坐標(biāo)，則有AB的垂直平分線必過圓心，所以設(shè)圓的圓心為，由，可求得圓M的半徑和圓心，由此求得圓的方程.【詳解】解：由解得或，所以，又令，得，所以，因為圓過，，三點，所以AB的垂直平分線必過圓心，所以設(shè)圓的圓心為，所以，即，解得，所以圓心，半徑，所以圓的方程是，即，故選：C4、C【解析】取的中點，連接，易證平面，進(jìn)一步得到線面角，再解三角形即可.【詳解】如圖，取的中點，連接，三棱柱為直三棱柱，則平面，又平面，所以，又由題意可知為等腰直角三角形，且為斜邊的中點，從而，而平面，平面，且，所以平面，則為與平面所成的角.在直角中，.故選：C5、A【解析】根據(jù),利用遞推公式求得數(shù)列的通項公式.再根據(jù)新定義的意義,代入解不等式即可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為所以當(dāng)時,兩式相減可得,即,所以數(shù)列是以公比的等比數(shù)列當(dāng)時,所以，則由“差半遞增”數(shù)列的定義可知化簡可得解不等式可得即實數(shù)的取值范圍為故選：A.6、A【解析】利用為定值即可獲解.【詳解】設(shè)則又,所以所以當(dāng)且僅當(dāng),即,取等故選:A7、C【解析】對求導(dǎo)得，得到m，n是兩個根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得m，n的關(guān)系，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性，進(jìn)而得最值.【詳解】由得：m，n是兩個根，由根與系數(shù)的關(guān)系得：，故，令記，則，故在上單調(diào)遞減.故選：C8、B【解析】由條件可得，即可得到答案.【詳解】方程表示焦點在y軸上的雙曲線所以，即故選：B9、A【解析】由題意可得，所給的橢圓中的，的值求出的值，進(jìn)而判斷所給命題的真假【詳解】解：因為橢圓短的軸兩頂點恰好是旋轉(zhuǎn)前橢圓的兩焦點，即，即，中，，，所以，故，所以正確；中，，，所以，所以不正確；中，，，所以，所以不正確；中，，，所以，所以不正確；故選：10、B【解析】由奇數(shù)+奇數(shù)＝偶數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)＝奇數(shù)可知，數(shù)列{Fn}中F3，F(xiàn)6，F(xiàn)9，F(xiàn)12，，F(xiàn)3n為偶數(shù)，其余項都為奇數(shù)，再根據(jù)an＝，即可求出數(shù)列{an}的前36項和【詳解】由奇數(shù)+奇數(shù)＝偶數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)＝奇數(shù)可知，數(shù)列{Fn}中F3，F(xiàn)6，F(xiàn)9，F(xiàn)12，，F(xiàn)3n為偶數(shù)，其余項都為奇數(shù)，∴前36項共有12項為偶數(shù)，∴數(shù)列{an}的前36項和為12×1+24×0＝12.故選：B11、D【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和運算法則分別計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可判斷選項.【詳解】A.若，則，故A錯誤；B.若，則，故B錯誤；C.若，則，故C錯誤；D.若，則，故D正確.故選：D12、B【解析】令雙曲線E的左焦點為，連線即得，設(shè)，借助雙曲線定義及直角用a表示出|PF|，，再借助即可得解.【詳解】如圖，令雙曲線E的左焦點為，連接，由對稱性可知，點線段中點，則四邊形是平行四邊形，而QF⊥FR，于是有是矩形，設(shè)，則，，，在中，，解得或m＝0（舍去），從而有，中，，整理得，，所以雙曲線E的離心率為故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】取的中點，的中點，以所在直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)求出，再由空間向量的數(shù)量積即可求解.【詳解】取的中點，的中點，如圖以所在直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，，由，即，解得，所以，故，設(shè)為平面ACQ的一個法向量，因為，，由，即，所以，設(shè)直線AP與平面ACQ所成角為，則.故答案為：14、②③④【解析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，正弦定理與四種命題的概念，命題的否定，判斷各命題【詳解】①，滿足，但，①錯；②在中，由正弦定理，因此其逆命題也是真命題，②正確；③存在命題的否定是全稱命題，命題“，”的否定是“，”，③正確；④由否命題的概念，“若，則”的否命題為“若，則”，④正確故答案為：②③④15、【解析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到是的唯一零點，轉(zhuǎn)化為方程無實數(shù)根或只存在實數(shù)根，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為和的圖象至多有一個交點（且如果有交點，交點必須在處），利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最小值，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，因為存在唯一零點，所以是的唯一零點，則關(guān)于的方程無實數(shù)根或只存在實數(shù)根，所以函數(shù)和的圖象至多有一個交點（且如果有交點，交點必須在處），又由，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，所以，即即的取值范圍是.故答案為：.16、4cm【解析】根據(jù)圓面積公式算出截面圓的半徑，利用球的截面圓性質(zhì)與勾股定理算出球心到截面的距離【詳解】解：設(shè)截面圓的半徑為r，截面的面積是，，可得又球的半徑為5cm，根據(jù)球的截面圓性質(zhì)，可得截面到球心的距離為故答案為：4cm【點睛】本題主要考查了球的截面圓性質(zhì)、勾股定理等知識，考查了空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合拋物線定義，可求得，即得拋物線方程；（2）由題意推出四邊形AOBC是菱形.，設(shè)，根據(jù)拋物線的對稱性，可表示出B,C的坐標(biāo)，從而利用向量的坐標(biāo)運算，求得所設(shè)參數(shù)值，進(jìn)而求得答案.【小問1詳解】的準(zhǔn)線為：，作于R，根據(jù)拋物線的定義有，所以，因為在的內(nèi)側(cè)，所以當(dāng)P，Q，R三點共線時，取得最小值，此時，解得，所以的方程為.小問2詳解】因為AB，OC互相垂直平分，所以四邊形AOBC是菱形.由，得軸，設(shè)點，則，由拋物線的對稱性知，，，.由，得，解得,所以在菱形中，，邊上的高，所以菱形的面積.18、（1）（2）【解析】（1）設(shè)點，根據(jù)題意，得到，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，得到，根據(jù)其最小值，求出，即可得出橢圓方程；（2）設(shè)，，，聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理，由弦長公式，以及點到直線距離公式，求出的面積的最值，得到；得出點的軌跡為橢圓，且點為橢圓的左、右焦點，記，則，得到，根據(jù)對勾函數(shù)求出最值.【小問1詳解】設(shè)點，由題意知，所以：，則，當(dāng)時，取得最大值，即，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是【小問2詳解】設(shè)，，，則由得，，點O到直線l的距離，對用均值不等式，則：當(dāng)且僅當(dāng)即，①，S取得最大值．此時，，，即，代入①式整理得，即點M的軌跡為橢圓且點，為橢圓的左、右焦點，即記，則于是：，由對勾函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)時，，且，故的取值范圍為19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)與的關(guān)系，分和兩種情況，求出，再判斷是否合并；（2）利用錯位相減法求出數(shù)列的前n項和.【小問1詳解】，當(dāng)時，，當(dāng)時，，也滿足上式，數(shù)列的通項公式為：.【小問2詳解】由（1）可得，①②①②得，20、（1）（2）【解析】（1）利用與的關(guān)系求解即可；（2）首先利用裂項求和得到，從而得到，再解不等式即可.【小問1詳解】令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，也符合上式，即數(shù)列的通項