2024屆云南省昆明市云南農(nóng)大附中數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

2024屆云南省昆明市云南農(nóng)大附中數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在的左支上，過點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為，則的最小值為（）A. B.C. D.2．曲線y=x3+11在點(diǎn)P（1，12）處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是（）A.﹣9 B.﹣3C.9 D.153．已知，是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上的一點(diǎn)，若以為直徑的圓過點(diǎn)P，且，則C的離心率為（）A. B.C. D.4．已知直線的一個(gè)方向向量為，則直線的傾斜角為（）A. B.C. D.5．已知雙曲線的一條漸近線方程是，它的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為()A. B.C. D.6．如圖，在直三棱柱中，且，點(diǎn)E為中點(diǎn)．若平面過點(diǎn)E，且平面與直線AB所成角和平面與平面所成銳二面角的大小均為30°，則這樣的平面有（）A.1個(gè) B.2個(gè)C.3個(gè) D.4個(gè)7．已知命題P：，，則命題P的否定為（）A.， B.，C.， D.，8．若直線先向右平移一個(gè)單位，再向下平移一個(gè)單位，然后與圓相切，則c的值為（）A.8或-2 B.6或-4C.4或-6 D.2或-89．過拋物線的焦點(diǎn)作互相垂直的弦，則的最小值為（）A.16 B.18C.32 D.6410．在中，B=30°，BC=2，AB=，則邊AC的長(zhǎng)等于（）A. B.1C. D.211．已知三維數(shù)組，，且，則實(shí)數(shù)（）A.-2 B.-9C. D.212．?dāng)?shù)列滿足，且，則的值為（）A.2 B.1C. D.-1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則___________.14．已知雙曲線中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，左右焦點(diǎn)分別為，漸近線分別為，過點(diǎn)且與垂直的直線分別交于兩點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為________15．已知滿足約束條件，則的最小值為___________16．已知直線在兩坐標(biāo)軸上的截距分別為，，則__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在直三棱柱中，，E、F分別是、的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）求證：平面18．（12分）已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，首項(xiàng)，且成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和19．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，遞增等比數(shù)列滿足，且.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和為.20．（12分）已知函數(shù)，求函數(shù)在上的最大值與最小值.21．（12分）已知等差數(shù)列滿足，（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，，求滿足的n的最大值22．（10分）已知圓心C的坐標(biāo)為，且是圓C上一點(diǎn)（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)為，求直線l的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】利用雙曲線定義可得到，將的最小值變?yōu)榈淖钚≈祮栴}，數(shù)形結(jié)合得解.【詳解】由題意得，故，如圖所示：到漸近線的距離,則，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，∴的最小值為.故選：D2、C【解析】y′＝3x2，則y′|x＝1＝3，所以曲線在P點(diǎn)處的切線方程為y－12＝3(x－1)即y＝3x＋9，它在y軸上的截距為9.3、B【解析】根據(jù)題意，在中，設(shè)，則，進(jìn)而根據(jù)橢圓定義得，進(jìn)而可得離心率.【詳解】在中，設(shè)，則，又由橢圓定義可知?jiǎng)t離心率，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率的計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)已知條件，結(jié)合橢圓的定義，在焦點(diǎn)三角形中根據(jù)邊角關(guān)系求解.4、A【解析】由直線斜率與方向向量的關(guān)系算出斜率，然后可得.【詳解】記直線的傾斜角為，由題知，又，所以，即.故選：A5、A【解析】根據(jù)雙曲線漸近線方程得a和b的關(guān)系，根據(jù)焦點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上得c的值，結(jié)合a、b、c關(guān)系即可求解.【詳解】∵雙曲線的一條漸近線方程是，∴，∵準(zhǔn)線方程是，∴，∵，∴，，∴雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故選：A.6、B【解析】構(gòu)造出長(zhǎng)方體，取中點(diǎn)連接然后利用臨界位置分情況討論即可.【詳解】如圖，構(gòu)造出長(zhǎng)方體，取中點(diǎn)，連接則所有過點(diǎn)與成角的平面，均與以為軸的圓錐相切，過點(diǎn)繞且與成角，當(dāng)與水平面垂直且在面的左側(cè)（在長(zhǎng)方體的外面）時(shí)，與面所成角為75°（與面成45°，與成30°），過點(diǎn)繞旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)一周，90°顯然最大，到了另一個(gè)邊界（在面與之間）為15度，即與面所成角從75°→90°→15°→90°→75°變化，此過程中，有兩次角為30

，綜上，這樣的平面α有2個(gè)，故選：B.7、B【解析】根據(jù)特稱命題的否定變換形式即可得出結(jié)果【詳解】命題：，，則命題的否定為，故選：B8、A【解析】求出平移后的直線方程，再利用直線與圓相切并借助點(diǎn)到直線距離公式列式計(jì)算作答.【詳解】將直線先向右平移一個(gè)單位，再向下平移一個(gè)單位所得直線方程為，因直線與圓相切，從而得，即，解得或，所以c的值為8或-2.故選：A9、B【解析】根據(jù)拋物線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，分別設(shè)出，所在直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)公式求得，，然后利用基本不等式求最值.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)直線的直線方程為，則直線的方程為.，，，.由，得，，同理可得..當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).所以的最小值為.故選：B10、B【解析】利用余弦定理即得【詳解】由余弦定理，得，解得AC=1故選：B.11、D【解析】由空間向量的數(shù)量積運(yùn)算即可求解【詳解】∵，，，，，，且，∴，解得故選：D12、D【解析】根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式，求得數(shù)列的周期性，結(jié)合周期性得到，即可求解.【詳解】解：由題意，數(shù)列滿足，且，可得，可得數(shù)列是以三項(xiàng)為周期的周期數(shù)列，所以.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、-1【解析】根據(jù)給定條件設(shè)出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，再借助“點(diǎn)差法”即可計(jì)算得解.【詳解】依題意，線段的中點(diǎn)在橢圓C內(nèi)，設(shè)，，由兩式相減得：，而，于是得，即，所以.故答案為：14、【解析】判斷出三角形的形狀，求得點(diǎn)坐標(biāo)，由此列方程求得，進(jìn)而求得雙曲線的離心率.【詳解】依題意設(shè)雙曲線方程為，雙曲線的漸近線方程為，右焦點(diǎn)，不妨設(shè).由于，所以是線段的中點(diǎn)，由于，所以是線段的垂直平均分，所以三角形是等腰三角形，則.直線的斜率為，則直線的斜率為，所以直線的方程為，由解得，則，即，化簡(jiǎn)得，所以雙曲線的離心率為.故答案為：15、【解析】根據(jù)題意，作出可行域，進(jìn)而根據(jù)幾何意義求解即可.【詳解】解：作出可行域如圖，將變形為，所以根據(jù)幾何意義，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，有最小值，所以聯(lián)立方程得，所以的最小值為故答案為：16、##【解析】根據(jù)截距定義，分別令，可得.【詳解】由直線，令得，即令，得，即，故.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）連接，交于點(diǎn)M，連接ME，則M為中點(diǎn)．根據(jù)三角形的中位線定理和平行四邊形的判斷和性質(zhì)可證得，再由線面平行的判定定理可得證；（2）由線面垂直的性質(zhì)和判定可得證.【詳解】證明：（1）連接，交于點(diǎn)M，連接ME，則M為中點(diǎn)因?yàn)镋、F分別是與的中點(diǎn)，所以，則，從而為平行四邊形，則又因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫妫?）由平面，因?yàn)槠矫妫远?，M為的中點(diǎn)，所以因?yàn)?，所以平面，由?）有，故平面18、（1）；（2）【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，根據(jù)等比中項(xiàng)的概念即可求出公差，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出答案；（2）由（1）得，再根據(jù)分組求和法即可求出答案【詳解】解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，由已知得，，即，解得或，又，∴，∴；（2）由（1）得，【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查數(shù)列的分組求和法，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題19、（1），（2）【解析】（1）先求，再由求出，設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由條件可得，解出結(jié)合條件可得答案.（2）由（1）可得，利用錯(cuò)位相減法可求【小問1詳解】，當(dāng)時(shí)，，也滿足上式，∴，則.設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由得，解得或.因?yàn)槭沁f增等比數(shù)列，所以，.【小問2詳解】①①①②：∴20、最大值為，最小值為【解析】利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性，進(jìn)而可得極值，比較極值和端點(diǎn)值的大小即可求解.【詳解】由可得：，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，又因?yàn)?，，所以，綜上所述：函數(shù)在上的最大值為，最小值為.21、（1）（2）10【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列公差為d，根據(jù)已知條件列關(guān)于和d的方程組即可求解；(2)設(shè)等比數(shù)列公比為q，根據(jù)已知條件求出和q，根據(jù)等比數(shù)列求和公式即可求出，再解關(guān)于n的不等式即可.【小問1詳解】由題意得，解得，∴【小問2詳解】∵，，又，∴，公比，∴，令，得，令，所以n的最大值為1022、（1）