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文檔簡介
安徽省合肥市肥東二中2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的,則輸人的()A. B.或C. D.或2.如圖,在正方體ABCD-EFGH中,P在棱BC上,BP=x,平行于BD的直線l在正方形EFGH內(nèi),點(diǎn)E到直線l的距離記為d,記二面角為A-l-P為θ,已知初始狀態(tài)下x=0,d=0,則()A.當(dāng)x增大時(shí),θ先增大后減小 B.當(dāng)x增大時(shí),θ先減小后增大C.當(dāng)d增大時(shí),θ先增大后減小 D.當(dāng)d增大時(shí),θ先減小后增大3.拋物線上有兩個(gè)點(diǎn),焦點(diǎn),已知,則線段的中點(diǎn)到軸的距離是()A.1 B.C.2 D.4.已知P是直線上的動(dòng)點(diǎn),PA,PB是圓的切線,A,B為切點(diǎn),C為圓心,那么四邊形PACB的面積的最小值是()A2 B.C.3 D.5.已知函數(shù).若數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且滿足,,則的最大值為()A.9 B.12C.20 D.6.已知命題:,命題:則是的()條件A.充分不必要 B.必要不充分C.充分必要 D.既不充分也不必要7.在四面體中,空間的一點(diǎn)滿足,若共面,則()A. B.C. D.8.焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.y2=-4x B.y2=4xC.x2=-4y D.x2=4y9.若復(fù)數(shù)滿足,則復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限10.直線的傾斜角為()A B.C. D.11.命題“”的一個(gè)充要條件是()A. B.C. D.12.已知直線,若圓C的圓心在軸上,且圓C與直線都相切,求圓C的半徑()A. B.C.或 D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.?dāng)?shù)列中,,則______14.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F,以F為圓心,以a為半徑的圓與雙曲線C的一條漸近線交于A,B兩點(diǎn).若(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則雙曲線C的離心率為___________.15.根據(jù)某市有關(guān)統(tǒng)計(jì)公報(bào)顯示,隨著“一帶一路”經(jīng)貿(mào)合作持續(xù)深化,該市對(duì)外貿(mào)易近幾年持續(xù)繁榮,2017年至2020年每年進(jìn)口總額(單位:千億元)和出口總額(單位:千億元)之間的一組數(shù)據(jù)如下:2017年2018年2019年2020年若每年的進(jìn)出口總額,滿足線性相關(guān)關(guān)系,則______;若計(jì)劃2022年出口總額達(dá)到千億元,預(yù)計(jì)該年進(jìn)口總額為______億元16.已知直線與之間的距離為,則__________三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)與橢圓M:=1的右焦點(diǎn)重合.(1)求拋物線C的方程;(2)直線y=x+m與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),當(dāng)m為何值時(shí),=0.18.(12分)如圖,在梯形中,,,四邊形為矩形,且平面,.(1)求證:平面;(2)點(diǎn)在線段含端點(diǎn)上運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)在什么位置時(shí),平面與平面所成銳二面角最大,并求此時(shí)二面角的余弦值.19.(12分)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊為a,b,c,其中,,且(1)求角B的值;(2)若,判斷△ABC的形狀20.(12分)如圖,在四棱錐中,平面,底面是直角梯形,其中,,,,為棱上的點(diǎn),且.(1)求證:平面;(2)求二面角的正弦值;(3)設(shè)為棱上的點(diǎn)(不與,重合),且直線與平面所成角的正弦值為,求的值.21.(12分)森林資源是全人類共有的寶貴財(cái)富,其在改善環(huán)境,保護(hù)生態(tài)可持續(xù)發(fā)展方面發(fā)揮著重要的作用.2020年12月12日,主席在全球氣候峰會(huì)上通過視頻發(fā)表題為《繼往開來,開啟全球應(yīng)對(duì)氣候變化的新征程》的重要講話,宣布“到2030年,我國森林蓄積量將比2005年增加60億立方米”.為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo),某地林業(yè)管理部門著手制定本地的森林蓄積量規(guī)劃.經(jīng)統(tǒng)計(jì),本地2020年底的森林蓄積量為120萬立方米,森林每年以25%的增長率自然生長,而為了保證森林通風(fēng)和發(fā)展經(jīng)濟(jì)的需要,每年冬天都要砍伐掉萬立方米的森林.設(shè)為自2021年開始,第年末的森林蓄積量.(1)請(qǐng)寫出一個(gè)遞推公式,表示二間的關(guān)系;(2)將(1)中的遞推公式表示成的形式,其中,為常數(shù);(3)為了實(shí)現(xiàn)本地森林蓄積量到2030年底翻兩番的目標(biāo),每年的砍伐量最大為多少萬立方米?(精確到1萬立方米)(可能用到的數(shù)據(jù):,,)22.(10分)二項(xiàng)式展開式中第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是第三項(xiàng)系數(shù)的4倍.求:(1);(2)展開式中的所有的有理項(xiàng).
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)題意可知該程序框圖顯示的算法函數(shù)為,分和兩種情況討論即可得解.【詳解】解:該程序框圖顯示得算法函數(shù)為,由,當(dāng)時(shí),,方程無解;當(dāng)時(shí),,解得,綜上,若輸出的,則輸入的.故選:A.2、C【解析】以F為坐標(biāo)原點(diǎn),F(xiàn)B,F(xiàn)G,F(xiàn)E所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長為2,則P(2,x,0),A(2,0,2),設(shè)直線l與EF,EH交于點(diǎn)M、N,,求得平面AMN的法向量為,平面PMN的法向量,由空間向量的夾角公式表示出,對(duì)于A,B選項(xiàng),令d=0,則,由函數(shù)的單調(diào)性可判斷;對(duì)于C,D,當(dāng)x=0時(shí),則,令,利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可判斷.【詳解】解:由題意,以F為坐標(biāo)原點(diǎn),F(xiàn)B,F(xiàn)G,F(xiàn)E所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,設(shè)正方體的棱長為2,則P(2,x,0),A(2,0,2),設(shè)直線l與EF,EH交于點(diǎn)M、N,則,所以,,設(shè)平面AMN的法向量為,則,即,令,則,設(shè)平面PMN的法向量為,則,即,令,則,,對(duì)于A,B選項(xiàng),令d=0,則,顯示函數(shù)在是為減函數(shù),即減小,則增大,故選項(xiàng)A,B錯(cuò)誤;對(duì)于C,D,對(duì)于給定的,如圖,過作,垂足為,過作,垂足為,過作,垂足為,當(dāng)在下方時(shí),,設(shè),則對(duì)于給定的,為定值,此時(shí)設(shè)二面角為,二面角為,則二面角為,且,故,而,故即,當(dāng)時(shí),為減函數(shù),故為增函數(shù),當(dāng)時(shí),為增函數(shù),故為減函數(shù),故先增后減,故D錯(cuò)誤.當(dāng)在上方時(shí),,則對(duì)于給定的,為定值,則有二面角為,且,因,故為增函數(shù),故為減函數(shù),綜上,對(duì)于給定的,隨的增大而減少,故選:C.3、B【解析】利用拋物線的定義,將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離,即可求出線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo),即得到答案.【詳解】由已知可得拋物線的準(zhǔn)線方程為,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和,由拋物線的定義得,即,線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,故線段的中點(diǎn)到軸的距離是.故選:.4、D【解析】由圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程可得圓心為(1,1),半徑為1,根據(jù)切線的性質(zhì)可得四邊形PACB面積等于,,故求解最小時(shí)即可確定四邊形PACB面積的最小值.【詳解】圓C:x2+y2-2x-2y+1=0即,表示以C(1,1)為圓心,以1為半徑的圓,由于四邊形PACB面積等于2×××=,而,故當(dāng)最小時(shí),四邊形PACB面積最小,又的最小值等于圓心C到直線l:的距離d,而,故四邊形PACB面積的最小值為,故選:D5、C【解析】先得到及遞推公式,要想最大,則分兩種情況,負(fù)數(shù)且最小或?yàn)檎龜?shù)且最大,進(jìn)而求出最大值.【詳解】①,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),②,所以①-②得:,整理得:,所以,或,當(dāng)是公差為2的等差數(shù)列,且時(shí),最小,最大,此時(shí),所以,此時(shí);當(dāng)且是公差為2的等差數(shù)列時(shí),最大,最大,此時(shí),所以,此時(shí)綜上:的最大值為20故選:C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:數(shù)列相關(guān)的最值求解,要結(jié)合題干條件,使用不等式放縮,函數(shù)單調(diào)性或?qū)Ш瘮?shù)等進(jìn)行求解.6、B【解析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】解:若,則或,即或,所以是的必要不充分條件故選:B7、D【解析】根據(jù)四點(diǎn)共面的向量表示,可得結(jié)果.【詳解】由共面知,故選:【點(diǎn)睛】本題主要考查空間中四點(diǎn)共面的向量表示,屬基礎(chǔ)題.8、B【解析】由題意設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0),結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)求得p,則答案可求【詳解】由題意可設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0),由焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),得,即p=2∴拋物的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=4x故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用,其中解答中熟記拋物線的幾何性質(zhì)是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題9、A【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則,求得,結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義,即可求解.【詳解】由題意,復(fù)數(shù)滿足,可得,所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,位于第一象限.故選:A.10、C【解析】設(shè)直線傾斜角為,則,再結(jié)合直線的斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為,則,∵,所以.故選:C11、D【解析】結(jié)合不等式的基本性質(zhì),利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】A.當(dāng)時(shí),滿足,推不出,故不充分;B.當(dāng)時(shí),滿足,推不出,故不充分;C.當(dāng)時(shí),推不出,故不必要;D.因?yàn)椋食湟?,故選:D12、C【解析】設(shè)出圓心坐標(biāo),利用圓心到直線的距離相等列方程,求得圓心坐標(biāo)并求得圓的半徑.【詳解】設(shè)圓心坐標(biāo)為,則或,所以圓的半徑為或.故選:C二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】根據(jù)可得,則,所以可得數(shù)列是以6為周期周期數(shù)列,再由計(jì)算出的值,再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求得結(jié)果【詳解】因?yàn)?,所以,所以,所以?shù)列是以6為周期的周期數(shù)列,因?yàn)?,,所以,所以,所以所以,故答案為?14、【解析】過F作,利用點(diǎn)到直線距離可求出,再根據(jù)勾股定理可得,,由可得,即可建立關(guān)系求解.【詳解】如圖,過F作,則E是AB中點(diǎn),設(shè)漸近線為,則,則在直角三角形OEF中,,在直角三角形BEF中,,,則,即,即,則,即,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的求解,解題的關(guān)鍵是分別表示出,,由建立關(guān)系.15、①.1.6②.3.65千##3650【解析】根據(jù)給定數(shù)表求出樣本中心點(diǎn),代入即可求得,取可求出該年進(jìn)口總額.【詳解】由數(shù)表得:,,因此,回歸直線過點(diǎn),由,解得,此時(shí),,當(dāng)時(shí),即,解得,所以,預(yù)計(jì)該年進(jìn)口總額為千億元.故答案為:1.6;3.65千16、或##或【解析】利用平行直線間距離公式構(gòu)造方程求解即可.【詳解】方程可化為:,由平行直線間距離公式得:,解得:或.故答案為:或.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)y2=4x(2)m=﹣4或m=0【解析】(1)由橢圓的右焦點(diǎn)得出的值,進(jìn)而得出拋物線C的方程;(2)聯(lián)立直線和拋物線方程,利用韋達(dá)定理結(jié)合數(shù)量積公式證明即可【小問1詳解】由題意,橢圓=1的右焦點(diǎn)為(1,0),拋物線y2=2px的焦點(diǎn)為(,0),所以,解得p=2,所以拋物線的方程為y2=4x;【小問2詳解】因?yàn)橹本€y=x+m與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立方程組,可得x2+2(m﹣2)x+m2=0,由Δ=4(m﹣2)2﹣4m2>0,解得m<1,所以x1+x2=﹣2m+4,x1x2=m2,又因?yàn)椋郑剑▁1,y1),=(x2,y2),可得x1x2+y1y2=x1x2+(x1+m)(x2+m)=2x1x2+m(x1+x2)+m2=m2+4m=0,解得m=﹣4<1或m=0<1,故m=﹣4或m=0.18、(1)證明見解析(2)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),二面角的余弦值為【解析】(1)先利用平面幾何知識(shí)和余弦定理得到及各邊長度,利用線面平行的性質(zhì)和判定定理得到線面垂直,再利用線線平行得到線面垂直;(2)建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),得到相關(guān)向量的坐標(biāo),利用平面的法向量夾角求出二面角的余弦值,再通過二次函數(shù)的最值進(jìn)行求解.【小問1詳解】證明:在梯形中,因?yàn)?,,又因?yàn)?,所?,所以,即,解得,,所以,即.因?yàn)槠矫妫矫?,所以,而平面平面,所以平?因?yàn)椋云矫?【小問2詳解】解:分別以直線為軸,軸,軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系(如圖所示),設(shè),則,所以,設(shè)為平面的一個(gè)法向量,由得,取,則,又是平面的一個(gè)法向量,設(shè)平面與平面所成銳二面角為,所以因?yàn)?,所以?dāng)時(shí),有最小值為,所以點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),平面與平面所成二面角最大,此時(shí)二面角的余弦值為.19、(1)(2)等邊三角形【解析】(1)把化為,然后由正弦定理化邊為角,利用兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式可求得;(2)由余弦定理及三角形面積公式可得,從而得出三角形為等邊三角形【小問1詳解】∵,∴由正弦定理得,∵,∴,∴,又,所以,可得;【小問2詳解】由(1)知余弦定理,①,②由①②可得:,又,所以,所以該三角形為等邊三角形20、(1)證明見解析;(2);(3).【解析】(1)由已知證得,,,以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示和線面垂直的判定定理可得證;(2)根據(jù)二面角的空間向量求解方法可得答案;(3)設(shè),表示點(diǎn)Q,再利用線面角的空間向量求解方法,建立方程解得,可得答案.【詳解】(1)因?yàn)槠矫?,平面,平面,所以,,又因?yàn)?,則以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,由已知可得,,,,,,所以,,,因?yàn)?,,所以,,又,平面,平面,所以平?(2)由(1)可知平面,可作為平面的法向量,設(shè)平面的法向量因?yàn)椋?所以,即,不妨設(shè),得.,又由圖示知二面角為銳角,所以二面角的正弦值為.(3)設(shè),即,,所以,即,因?yàn)橹本€與平面所成角的正弦值為,所以,即,解得,即.【點(diǎn)睛】本題考查利用空間向量求線面垂直、線面角、二面角的求法,向量法求二面角的步驟:建、設(shè)、求、算、?。?、建:建立空間直角坐標(biāo)系,以三條互相垂直的垂線的交點(diǎn)為原點(diǎn);2、設(shè):設(shè)所需點(diǎn)的坐標(biāo),并得出所需向量的坐標(biāo);3、求:求出兩個(gè)面的法向量;4、算:運(yùn)用向量的數(shù)量積運(yùn)算,求兩個(gè)法向量的夾角的
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